第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 引言 2.2 微分方程的建立與求解2.3 起始點(diǎn)的跳變 2.4 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) 2.6 卷積 2.7 卷積的性質(zhì) 2.8 用算子符號表示微分方程 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 引言系統(tǒng)在時域中數(shù)學(xué)模型的建立微分方程：輸入-輸出法高階微分方程 系統(tǒng)分析的任務(wù)是對給定的系統(tǒng)模型和輸入信號求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)系統(tǒng)分析的方法：時域分析方法 頻域分析方法 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 本章主要內(nèi)容：系統(tǒng)時域分析法：1、微分方程的求解 直接求解微分方程；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念和求解。2、根據(jù)單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng)；卷積積分。3、算子符號表示法。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立例2-1 圖2-1所示為RLC并聯(lián)電路的，求并聯(lián)電路的端電壓v(t)與激勵源iS(t)間的關(guān)系i S(t) iR iC iLR L C +-v(t) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tL dvLti 1 tvRtiR 1 tvdtdCti C 電阻：電感：電容： titititi SCLR tidtdtvLtvdtdRtvdtdC S 1122 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 i S (t) i C (t) u 1 (t) i L (t) R 2 R 1 L 例：輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tiRdttdiLtvtiR tititi LLCC SLC 21 tiRdttdiL diiCtitiR LL t LSLS 21 1 tiLCdttdiLRtiLCtidtdLRRdt tid SSLLL 11 12122 iS(t) iC(t) u1(t) iL(t) R2R1 L 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tiRdttdiLtvtu titiRtu LLC SL 21 11 11211111 1 RtutiRdt RtutidLdRuCtu SSt dttdiLRRdt tidRtuLCdttduLRRdt tud SS 212211121212 1 iS(t) iC(t) u1(t) iL(t) R2R1 L 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 dttdiLRRdt tidRtuLCdttduLRRdt tud SS 212211121212 1 tiLCdttdiLRtiLCtidtdLRRdt tid SSLLL 11 12122 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 iS(t) i1(t) i2(t) u O (t)2 3 1 F 1 H 例：如圖所示電路，試分別列出電流 i1(t)、電流i2(t)和電壓uO (t)的數(shù)學(xué)模型。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 titutiti So 221 to ditu 2 tidttdidt tidtidttdidt tid SSS 212527 2211212 tudt titidti oS 113 iS(t)i1(t) i2(t) uO(t)2 3 1 F 1 H 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 titutiti So 221 to ditu 2 dttditidttdidt tid S32527 22222 t ditidttditi 2221 213 tiditidttdi St 32527 222 titudttdudt tud Sooo 3252722 iS(t)i1(t) i2(t) uO(t)2 3 1 F1 H 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tidttdidt tidtidttdidt tid SSS 212527 2211212 dttditidttdidt tid S32527 22222 titudttdudt tud Sooo 3252722 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.3 用時域經(jīng)典法求解微分方程 設(shè)激勵信號為e(t)，系統(tǒng)響應(yīng)為r(t)，則可以用一高階的微分方程表示復(fù)雜的系統(tǒng)。)()()()( )()()()( 11110 11110 teEtedtdEtedtdEtedtdE trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC mmmmmm nnnnnn 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 完全解由齊次解與特解組成。齊次解：齊次方程的解。齊次方程：0)()()()( 11110 trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC nnnnnn 齊次解的形式是形如 的線性組合。tAe 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 01110 nnnn CCCC 微分方程的特征方程特征方程的n個根 ， ， 稱為微分方程的特征根 1 2 n 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1、在特征根各不相同(無重根)的情況下，微分方程的齊次解： ni titntth in eAeAeAeAtr 121 21 2、若特征方程有重根， 為k階重根，則相應(yīng)于 的微分方程的齊次解將有k 項(xiàng)，為：11 tk i ikitkkk ietAeAtAtA 12211 1 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2-3 求解微分方程的齊次解。解：特征方程：特征根：齊次解： tetrtrdtdtrdtdtrdtd 12167 2233 012167 23 2,3 321 tth eAtAeAtr 23231 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1、 求微分方程的齊次解。2、 求微分方程的齊次解。 tetrdttdrdt trd 2322 tetr dttdrdt trd 222 tth eAeAtr 221 答案： th eAtAtr 21答案： 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3、 求微分方程的齊次解。 tetrdttdrdt trd 2222 tAtAet sincos 21 答案： tjtCtjtCet sincossincos 21 jtjtth eCeCetr 21 tjtjh eCeCtr 1211 tCCjtCCet sincos 2121 tAtAet sincos 21 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 4、 求微分方程的齊次解。 tetrdt trd 22 tAtAtr h sincos 21 答案： 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 特解：特解的函數(shù)形式與激勵的函數(shù)形式有關(guān)。自由項(xiàng)：將激勵代入微分方程右端，化簡后的函數(shù)式 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 注意：1、表中的B、D是待定系統(tǒng)。2、若自由項(xiàng)由幾種函數(shù)組合，則特解也為其相應(yīng)的組合。3、若表中所列特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：t倍乘表中特解。若這種重復(fù)形式有k次，則依次增加倍乘t， t2， tk諸項(xiàng)。 例如：齊次解： 激勵： 特解： 2 31 2t tAe Ae 2te 21 2( ) tc ct e 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2-4 給定微分方程如果已知：(1) e(t)= t2 ；(2)e(t)=et，分別求兩種情況下此方程的特解。解：(1) 將e(t)=t2代入方程右端，得自由項(xiàng)t2+2t 特解rp(t)=B1 t2+B2t+B3 將特解代入原微分方程，得： tetedtdtrtrdtdtrdtd 3222 ttBBBtBBtB 2322343 23212121 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 等式兩端各對應(yīng)冪次的系統(tǒng)相等，可得：特解為： 0322 234 13 321 211 BBB BBB 2710,92,31 321 BBB 27109231 2 tttr p 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2) 將e(t)=et代入方程右端，得自由項(xiàng)2et 特解rp(t)=Bet 將特解代入原微分方程，得： Bet+2Bet+3Bet=2Bet 特解為： tp etr 3131B 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1、 求微分方程的特解。2、 求微分方程的特解。 tetrdttdrdt trd 2322 tetr dttdrdt trd 222 tp tetr 答案： tp ettr 221答案： tete tete 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3、 求微分方程的特解。 tetrdttdrdt trd 2222答案： tp etr 221 tete 2 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 treAtrtrtr pni tiph i 1 完全解=齊次解+特解邊界條件：在(0+t)內(nèi)任一時刻t0(通常為0+)時r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高為n-1階)的值。即由此可確定A i，得到完全解。 01102200 , trdtdtrdtdtrdtdtr nn 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解法：1、通過特征方程寫出齊次解(含待定系數(shù))；2、通過自由項(xiàng)寫的特解，并代入原方程中確定特解的待定系數(shù)；3、完全解=齊次解(含待定系數(shù))+特解，根據(jù)邊界條件列方程組，求齊次解中的系數(shù)。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 特征方程的根 稱為系統(tǒng) 的“固有頻率”，決定齊次解的形式。齊次解自由響應(yīng)。特解強(qiáng)迫響應(yīng)i 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.4 起始點(diǎn)的跳變從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)變系統(tǒng)加入激勵之前的狀態(tài)： 起始狀態(tài)(0-狀態(tài))系統(tǒng)加入激勵之后的狀態(tài)： 初始條件(0 +狀態(tài)，導(dǎo)出的起始狀態(tài)) 0,0,0,00 1122 rdtdrdtdrdtdrr nnk 0,0,0,00 1122 rdtdrdtdrdtdrr nnk 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 對于一個具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況，即電容上的起始電壓和電感中的起始電流。當(dāng)電路中沒有沖激電流(或階躍電壓)強(qiáng)迫作用于電容以及沒有沖激電壓(或階躍電流)強(qiáng)迫作用于電感，則換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2-6 如圖所示RC一階電路，電路中無儲能，起始電壓和電流都為0，激勵信號e(t)=u(t)，求t0系統(tǒng)的響應(yīng)電阻兩端電壓解：根據(jù)KVL和元件特性寫出微分方程 當(dāng)輸入端激勵信號發(fā)生跳變時，電容二端電壓保持連續(xù)值，仍等于0，而電阻兩端電壓將產(chǎn)生跳變， 即 特征根： 齊次解： 特解：0 代入起始條件： 完全解： ( )Rv t1( ) ( ) ( )( ) 1 ( )( )t R RR Re t v d v tRCdv t de tv tdt RC dt (0 ) 1Rv 1RC tRCAe0(0 ) 1RCRv Ae A ( ) ( 0)tRCRv t e t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含 及其各階導(dǎo)數(shù)。它的原理是根據(jù)t=0時刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。 t t ttrtr dtd 3 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解法二：用匹配法 將 代入 得 （2-1） 為保持方程左右兩端各階奇異函數(shù)平衡，可以判斷，等式左端最高階項(xiàng)應(yīng)包含 ，所以 在0點(diǎn)發(fā)生跳變。 將（2-1）兩端同時做積分得 ( ) ( )e t u t ( ) 1 ( )( )R Rdv t de tv tdt RC dt ( ) 1 ( ) ( )R Rdv t v t tdt RC ( )t ( )Rv t0 0 00 0 0( ) 1 ( ) ( )R Rdv t dt v t dt t dtdt RC 0 00 01(0 ) (0 ) ( ) ( )R R Rv v v t dt t dtRC (0 ) (0 ) 1(0 ) (0 ) 1 1R RR Rv vv v 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2-7 電路如圖，在激勵信號電流源 的作用下，求電感支路電流 。激勵信號接入之前系統(tǒng)中無儲能，各支路電流 解：根據(jù)KCL和電路元件約束性得 左端二階導(dǎo)數(shù)含有 項(xiàng)，則一階導(dǎo)數(shù)在0點(diǎn)發(fā)生跳變， 在0點(diǎn)沒有跳變。兩端做積分得 ( ) ( )Si t t( )Li t(0 ) (0 ) (0 )R C Li i i 、和都為零2 22 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1+ ( ) ( )L L L SL L Ld i t di tLLC i t i tdt R dtd i t di t i t tdt RC dt LC LC 整理后得到1 ( )tLC ( )Li t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 20 0 020 0 0 0 0 ( ) ( )1 1 1( ) ( )(0 ) (0 ) 1 1 1(0 ) (0 ) ( )1 1(0 ) (0 )(0 ) (0 ) 0 (0 ) 0+ (0 )=0L L LL L L L LL LL L L Ld i t di tdt dt i t t dtdt RC dt LC LCdi di i i i t dtdt dt RC LC LCi iLC LCi i i i 得 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)的特征方程：由于 在t0 +時刻之后為零，因而特解為零，完全解為齊次解，利用初始條件代入式子 求得系數(shù) )(t ttL eAeAti 21 21)( LCRCRCLCRC 12 121 011 22,12 212211 2211 21 11,11 1)0( 0)0( LCALCA LCAAi AAiLL 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 為簡化一下推導(dǎo)，引入符號考慮到電路耗能與儲能的不同相對條件，分成以下幾種情況給出的表達(dá)式（1）電阻 等幅正弦振蕩 dd jRCRCRC RCRCLC LC 212 121 2 12 111 2022,1 22020 )(tiLR tti L 00sin)( 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 （2）產(chǎn)生衰減振蕩，電阻R越大衰減越慢，R較小時，衰減很快，以致不能產(chǎn)生振蕩，即以下兩種情況（3） （4） 021 RC teti dRCtdL sin)( 220 021 RC RCtL teti RC221 )( 21 teti RC dRCtdL sinh)(21 2200 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程齊次解Ae t(系數(shù)A待定)求特解已定系數(shù)的完全解-系統(tǒng)之響應(yīng)完全解=齊次解+特解(系數(shù)A待定) 0-狀態(tài)0+狀態(tài) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.5 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)的分解：1、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)2、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態(tài)(起始時刻系統(tǒng)儲能)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記作rzi(t)零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用(起始狀態(tài)等于零)，由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。記作r zs(t) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)方程：零輸入響應(yīng)： ，無特解。 r(k)(0+)=r(k)(0-) 零狀態(tài)響應(yīng)： ni tzikzi ieAtr 1 tBeAtr ni tzskzs i 1 )()()()( )()()()( 11110 11110 teEtedtdEtedtdEtedtdE trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC mmmmmm nnnnnn 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tBeA tBeAeA trtrtr ni ti ni tzskni tzsk zszi i ii 1 11 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例2-8 已知系統(tǒng)方程式 若起始狀態(tài)為激勵信號 ，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及完全響應(yīng)。解：方程式的齊次解是： ，由激勵信號 求出特解是1。則完全響應(yīng)表達(dá)式為 由方程式兩端奇異函數(shù)平衡條件判斷出 在起始點(diǎn)無跳變， 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) )(3)(3)( tetrdttdr 23)0( r)()( tute tAe 3 )(tu1)( 3 tAetr )(tr 121)(21 23)0()0( 3 tetrA rr所以完全解為：求出 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 求零輸入響應(yīng)齊次解為： 初始條件 則：于是：求零狀態(tài)響應(yīng) 先求出 對 兩邊求積分得 r(t)的一階導(dǎo)數(shù)有跳變， r(t)為連續(xù)，所以 代入 得：A=-1，tAe 3 23)0()0( rr 23Atzi etr 323)( )0( r )(3)(3)( tetrdttdr 00 0000 )(3)(3)( tudttrdtdttdr 0)0()0( rr1)( 3 tAetr 13 tzs er 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 將123)()()( 33 ttzszi eetrtrtr合并為完全響應(yīng)：與123)( 33 tt eetr自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性的擴(kuò)展：1、響應(yīng)的可分解性： 系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。2、在LTI系統(tǒng)中，重點(diǎn)研究零狀態(tài)響應(yīng)3、為求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以利用卷積方法求解4、零狀態(tài)線性： 當(dāng)起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于外加激勵信號呈線性，稱為零狀態(tài)線性。5、零輸入線性： 當(dāng)外加激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。6、把激勵信號與起始狀態(tài)都視為系統(tǒng)的外施作用，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)對兩種外施作用也呈線性。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tetedtdtrtrdtdtrdtd 32322 tuete t3例：給定系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)的激勵為 ，起始狀態(tài)為 ，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)各分量。 20,10 rr 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解：1) 求齊次解 0232 特征方程為： 2,1 21 特征根為： 齊次解為： tth eAeAtr 221 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2) 求特解 tuetetue ttt 333 33 自由項(xiàng)為： 0特解為： t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3) 求完全解 tt eAeAtr 221 完全解為： 利用沖激函數(shù)匹配法判斷跳變： 3100 100 rr rr 為連續(xù)點(diǎn)有跳變，在項(xiàng)，則二階導(dǎo)數(shù)中有)(0)()( 10)0()0(3)0()0( )()(2)(3)( 00 0000 00 trtrt rrrr tdttrdttrdttr 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 320 10 21 21 AAr AAr 45 21AA完全響應(yīng)為： tt eetr 245 自由響應(yīng)為： tth eetr 245 強(qiáng)迫響應(yīng)為：0 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 4) 求零輸入響應(yīng) tzitzizi eAeAtr 221 200,100 rrrr zizi 220 10 21 21 zizizi zizizi AAr AAr 3421ziziAA ttzi eetr 234 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 5) 求零狀態(tài)響應(yīng) tzstzstzstzszs eAeAtBeAeAtr 221221 利用沖激函數(shù)匹配法判斷跳變： 10 00 00,0)0(rr rr zs 為連續(xù)點(diǎn)有跳變，在項(xiàng)，則二階導(dǎo)數(shù)中有)(0)()( 10)0()0(3)0()0( )()(2)(3)( 00 0000 00 trtrt rrrr tdttrdttrdttr 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 120 00 21 21 zszszs zszszs AAr AAr 11 21zszsAA ttzs eetr 2 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.6 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)：系統(tǒng)在單位沖激信號(t)的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)：系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。 t dhtg tgdtdth 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )()()()( )()()()( 11110 11110 teEtedtdEtedtdEtedtdE trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC mmmmmm nnnnnn )()()()( )()()()( 11110 11110 tEtdtdEtdtdEtdtdE thCthdtdCthdtdCthdtdC mmmmmm nnnnnn 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tueAth ni tk i 1)( nm時)()()()( )()()()( 11110 11110 tEtdtdEtdtdEtdtdE thCthdtdCthdtdCthdtdC mmmmmm nnnnnn nm時，表達(dá)式還將含有(t)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)(m-n)(t)、 (m-n-1)(t)、 (t)。系數(shù)可以通過沖激函數(shù)匹配法求出 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )()()()( )()()()( 11110 11110 teEtedtdEtedtdEtedtdE trCtrdtdCtrdtdCtrdtdC mmmmmm nnnnnn )()()()( )()()()( 11110 11110 tuEtudtdEtudtdEtudtdE tgCtgdtdCtgdtdCtgdtdC mmmmmm nnnnnn )()(常數(shù)特解齊次解tg 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.6 卷積 卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)f(t)。 這個關(guān)系表示為 dtfftftftf )()()()()( 2121做變量代換可得 tftfdtfftf 1212 *)()()( 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 dtete )()()(線性時不變系統(tǒng)中，(t) 作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為h(t)則(t-)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為h(t-)e()(t-)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為e()h(t-) dtete )()()( dthetrzs )()()(作用于系統(tǒng)時，響應(yīng)為 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )()( )()( thte dthetr 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 卷積的運(yùn)算：0 121 1 t e 0 t2 tht dthethtetr )()()()( 1 h 2 h 2 h -21、改換圖形中的橫坐標(biāo)；2、把其中的一個信號反褶； 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 e h3、把反褶后的信號做位移，移位量是t，t0圖形右移； t0圖形左移； dthethtetr )()()()( th t4、兩信號重疊總分相乘 ； )()( the5、完成相乘后圖形的積分。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 e th tt-2 21 1 t 1 21 2 t 0* thte 16144 211* 221 tt dtthte t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 e th tt-2 231 3 t 3 23 4 t 16343211* 121 tdtthte 4324211* 21 2 ttdtthte t t3 5 0* thte 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 323 4324 231 16343 121 16144 321 0* 22 ttt tt ttt ttthte或 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.7 卷積的性質(zhì)(一) 卷積代數(shù)1. 交換律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)證： dtff dftf dtfftftf )()( )()( )()()()( 12 21 2121 t令 令例 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2. 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 證 )()()()( )()()()( )()()()()()( 3121 3121 321321 tftftftf dtffdtff dtftfftftftf 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 trtr thtethte ththte thtetr 21 21 21* 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3. 結(jié)合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) 證 tftftf dtftff ddxxtfxff ddtfff dtfdff tftftf 321 321 321 321 321 321 * * 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 thte ththte ththtetr 21 21 * 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (二) 卷積的微分與積分 與信號的運(yùn)算相似， 卷積也有微分、 積分性質(zhì)， 但與信號的微分、 積分運(yùn)算有所區(qū)別。 (1) 微分dttdftftfdttdftftfdtd )(*)()()()()( 212121 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 證 dttdftf ddttdff dtffdtd 21 21 21 由卷積的第二種形式， 同理可證 dttdftftftfdtd 1212 * 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2) 積分 dftfdftf dff ttt )()()()( )()( 1221 21 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 證 t tttt dftf ddff ddff ddffdff 21 21 21 2121同理可證 dftfdff tt )()()()( 1221 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 應(yīng)用類似的推導(dǎo)， 可導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)和多重積分的運(yùn)算規(guī)律。若 s(t)=f1(t)*f2(t) 則 s(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t) 其中, i、 j取正整數(shù)時為導(dǎo)數(shù)的階次； i、 j取負(fù)整數(shù)時為重積分的階次。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 dfdttdf dfdttdftftfty tt )()( )()()()()( 12 2121 例 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (三)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積 (1) f(t)*(t)=f(t) 證 dtftf dtf dtfttf )()(1 從f(t)與(t)卷積結(jié)果可知(t)是卷積的單位元。 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2) f(t)*(t-t0)=f(t-t0) 證 )( 0 000 ttf dttf dttftttf 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (3) )()( tutf )()( ttf ttf tf(4) dft )( 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tfttf kk 00 ttftttf kk Next 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 t 0 t2 th te 10 11 te 21t1t 0 2 h1 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 21t1t 0 2 h1 21 1 t 1 21 2 t 0* thte 1614421* 2210 ttdthte t 231 3 t 1634321* 211 tdthte tt 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 21t1t0 2 h1 323 4 t 0* thte 432421* 221 ttdthte t 3 5 t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 323 4324 231 16343 121 16144 321 0* 22 ttt tt ttt ttthte或 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 t te 0 t2 th1 thtetr * t dhtedtd * t dhtg 設(shè) 121 tttedtd 121 tutute 2242 tututut 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 121 tgtg tgtt *121 tgttgt *1*21 t dgdttdetr * 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 121 1 t te 0 t2 th10 1 21 1 t tedtd 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 16144421 22 ttt 1634341421 22 ttt 4324411 22 ttt 421 2 t 41 2 t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.8 用算子符號表示微分方程dtdp t dp 1 teEtpeEtepEtepE trCtprCtrpCtrpC nnmm nnnn 1110 1110 teEpEpEpE trCpCpCpC mmmm nnnn 1110 1110 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 nnnn CpCpCpCpD 1110 mmmm EpEpEpEpN 1110 tepNtrpD 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (一) 算子符號基本規(guī)則兩條基本規(guī)則:1、對算子多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解，但不能進(jìn)行公因子相消。 xppxpp 6523 2 6523 2 pppp即 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 pypx yx？ydtdxdtd cyx 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2、算子的乘除順序不可隨意顛倒。pxpxpp 11 即xpp1 txddtd xpxp1 t xddd xxtx 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 （二）用算子符號建立微分方程i(t) iL(t)e(t) C=1F HL 41 23 2R11R 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tidtdLtv LL 電感： tLpiL t CC diCtv 1電容： tiCp C1 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 i(t) iL(t)e(t) pLp 41 23 2R11R pCp 11 011 11 21 tiCpRLptiCp tetiCptiCpR LL 012341 111 tipptip tetiptip LL 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 012341 111 tipptip tetiptip LL ppp pp pp pteti 12341 111 12340 1 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 21123411 1234 pppp teppti 21123411 1234 pppppp teppp 107 4622 pp tepp tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd 46107 2222 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 （三）傳輸算子概念 tepNtrpD tepHtepD pNtr pD pNpH 傳輸算子 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 i1(t) vo(t)e(t) 1F 12 1H 2H +-+- i2(t) tediidttditi t 2111 1112 0112 1222 t diidttditi dttditvo 22 2-1(a) (1)(2)(3) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tedtdtititidtdtidtd 211122 2 02 122222 tititidtdtidtd titidtdtidtdti 222221 2 tidtdtidtdtidtdtidtd 22222331 2 tidtdtidtdtidtdtidtd 222233244122 2 對方程(1)求微分對方程(2)求微分由上式可得 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 dttditv o 22 tedtdtidtdtidtdtidtdtidtd 2222233244 3552 tedtdtvtvdtdtvdtdtvdtd oooo 232525 2233 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 20,10 rr 02222 trtrdtdtrdtd2-4 已知系統(tǒng)相應(yīng)的齊次方程及其對應(yīng)的0+狀態(tài)條件，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(1)給定：解：特征方程：022 2 特征根：jj 1,1 21 方法一： tAtAetr t sincos 21 齊次解： 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 20 10 211 AAr Ar ttetr t sin3cos tAtAetr t sincos 21 tAAtAAe tAtAetAtAetr t tt sincos cossinsincos 2121 2121 31 21AA 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 特征根jj 1,1 21 齊次解： tjtj eAeAtr 1211 2110 10 2121 AjAjr AAr 3121 21 jAA AA jA jA 3121 312121 tjtj ejejtr 11 31213121 jtjtt ejeje 313121 tte t sin3cos tjtj eAjeAjtr 1211 11 方法二： 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 20,10 rr 0222 trtrdtdtrdtd(2)給定：解：特征方程：0122 特征根：1 21 齊次解： teAtAtr 21 20 10 212 AAr Ar tettr 13 1321AA ttt eAAtAeAtAeAtr 211211 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 10,000 rrr 02 2233 trdtdtrdtdtrdtd(3)給定：解：特征方程：02 23 特征根：0,1 321 齊次解： 321 AeAtAtr t 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 120 00 00 21 21 32 AAr AAr AAr 11 tettr 111321AAA ttt eAAtAeAtAeAtr 211211 ttt eAAtAeAAtAeAtr 2112111 2 321 AeAtAtr t