章末高效整合 知能整合提升 一、兩個(gè)基本思想1回歸分析的基本思想回歸分析包括線性回歸分析和非線性回歸分析兩種，而非線性回歸分析往往可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性回歸分析，因此，回歸分析的思想主要是指線性回歸分析的思想注意理解以下幾點(diǎn)： (1)確定線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系有兩層含義：一是具有相關(guān)關(guān)系，如廣告費(fèi)用與銷售量的關(guān)系等在一定條件下具有相關(guān)關(guān)系，而氣球的體積與半徑的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系；二是具有線性相關(guān)關(guān)系判斷是否線性相關(guān)的依據(jù)是觀察樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖(2)引起預(yù)報(bào)誤差的因素對(duì)于線性回歸模型ybxae，引起預(yù)報(bào)變量y的誤差的因素有兩個(gè)：一個(gè)是解釋變量x，另一個(gè)是隨機(jī)誤差e. (3)回歸方程的預(yù)報(bào)精度判斷回歸方程的預(yù)報(bào)精度是通過計(jì)算殘差平方和來進(jìn)行的，殘差平方和越小，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高簡(jiǎn)單來說，線性回歸分析就是通過建立回歸直線方程對(duì)變量進(jìn)行預(yù)報(bào)，用回歸方程預(yù)報(bào)時(shí)，需對(duì)函數(shù)值明確理解，它表示當(dāng)x取值時(shí)，真實(shí)值在函數(shù)值附近或平均值在函數(shù)值附近，不能認(rèn)為就是真實(shí)值 (4)回歸模型的擬合效果判斷回歸模型的擬合效果的過程也叫殘差分析，殘差分析的方法有兩種，一是通過殘差圖直觀判斷，二是通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)R 2的大小判斷 2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法要確認(rèn)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信程度，先假設(shè)兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，再計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值，最后由K2的觀測(cè)值很大在一定程度上說明兩個(gè)分類變量有關(guān)系進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)要注意理解以下三個(gè)問題： (1)獨(dú)立性檢驗(yàn)適用于兩個(gè)分類變量(2)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的直觀判斷：一是根據(jù)22列聯(lián)表計(jì)算|adbc|，值越大關(guān)系越強(qiáng)；二是觀察等高條形圖，兩個(gè)深色條的高度相差越大關(guān)系越強(qiáng)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論只能是有多大的把握確認(rèn)兩個(gè)分類變量有關(guān)系，而不能是兩個(gè)分類變量一定有關(guān)系或沒有關(guān)系 二、兩個(gè)重要參數(shù)1相關(guān)指數(shù)R2相關(guān)指數(shù)R2是用來刻畫回歸模型的回歸效果的，其值越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好2隨機(jī)變量K2隨機(jī)變量K2是用來判斷兩個(gè)分類變量在多大程度上相關(guān)的變量獨(dú)立性檢驗(yàn)即計(jì)算K2的觀測(cè)值，并與教材中所給表格中的數(shù)值進(jìn)行比較，從而得到兩個(gè)分類變量在多大程度上相關(guān) 三、兩種重要圖形1散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖是進(jìn)行線性回歸分析的主要手段，其作用如下：一是判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果樣本點(diǎn)呈條狀分布，則可以斷定兩個(gè)變量有較好的線性相關(guān)關(guān)系；二是判斷樣本中是否存在異常 2殘差圖殘差圖可以用來判斷模型的擬合效果，其作用如下：一是判斷模型的精度，殘差點(diǎn)所分布的帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高；二是確認(rèn)樣本點(diǎn)在采集中是否有人為的錯(cuò)誤 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 回歸方程的求解及相關(guān)性檢驗(yàn)【點(diǎn)撥】1.分析兩個(gè)變量線性相關(guān)的常用方法(1)散點(diǎn)圖法，該法主要是用來直觀地分析兩變量間是否存在相關(guān)關(guān)系(2)相關(guān)系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個(gè)變量間相互聯(lián)系的密切程度，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小其中相關(guān)系數(shù) 某餐飲部為研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中可看出氣溫與熱飲杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律是什么？(3)求線性回歸方程；(4)如果某天的氣溫為3 ，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)溫度/5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36熱飲杯數(shù)156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 思維點(diǎn)擊根據(jù)統(tǒng)計(jì)所得數(shù)據(jù)對(duì)照表畫出散點(diǎn)圖作初步判斷求出線性回歸方程后，再解答第(4)問 (1)以x軸表示溫度，以y軸表示熱飲杯數(shù)，作散點(diǎn)圖 (2)從圖中可看出，各散點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域里，氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少(3)從散點(diǎn)圖可看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，兩變量呈現(xiàn)近似的線性關(guān)系，因此利用計(jì)算器求得下列表中數(shù)據(jù). 1已知某連鎖經(jīng)營公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤額資料如表：商店名稱A B C D E銷售額x(千萬元) 3 5 6 7 9利潤額y(千萬元) 2 3 3 4 5 (1)畫出散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求利潤額y與銷售額x之間的線性回歸方程；(3)若該公司還有一個(gè)零售店某月銷售額為10千萬元，試估計(jì)它的利潤額是多少 解析：(1)散點(diǎn)圖 【點(diǎn)撥】回歸分析的基本步驟為：(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型；(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)；(5)檢查回歸模型的擬合程度，如分析殘差圖、求相關(guān)指數(shù)R 2等 線性回歸分析的應(yīng)用 一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此時(shí)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表：(1)畫出散點(diǎn)圖，并初步判斷是否線性相關(guān)；(2)若線性相關(guān)，求回歸直線方程；(3)求出相關(guān)指數(shù)；(4)作出殘差圖；(5)進(jìn)行殘差分析；(6)試制訂加工200個(gè)零件的用時(shí)規(guī)定零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100加工時(shí)間y(min) 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 思維點(diǎn)擊明確各相關(guān)概念求出回歸直線方程是解題關(guān)鍵注意正確使用公式和準(zhǔn)確計(jì)算 (1)散點(diǎn)圖，如圖所示由圖可知，x，y線性相關(guān) (3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù)： 2關(guān)于隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是()(1)用線性回歸模型來近似真實(shí)模型所引起的誤差(2)忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差(3)對(duì)樣本數(shù)據(jù)觀測(cè)時(shí)產(chǎn)生的誤差A(yù)(1)(2)B(1)(3)C(2)(3) D(1)(2)(3) 解析：理解線性回歸模型ybxae中隨機(jī)誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，可以發(fā)現(xiàn)上述三點(diǎn)都是隨機(jī)誤差e產(chǎn)生的原因答案：D 【點(diǎn)撥】1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)提出假設(shè)H0：和沒有關(guān)系；(2)根據(jù)22列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值；(3)根據(jù)K2的觀測(cè)值與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷獨(dú)立性檢驗(yàn) 2可以用反證法的原理來解釋獨(dú)立性檢驗(yàn)原理反證法原理獨(dú)立性檢驗(yàn)原理在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立在一個(gè)已知假設(shè)下，如果出現(xiàn)一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率 從上述對(duì)比中可以看出，假設(shè)檢驗(yàn)的原理和反證法原理類似不同之處：一是獨(dú)立性檢驗(yàn)中用有利于H0的小概率事件的發(fā)生代替了反證法中的矛盾；二是獨(dú)立性檢驗(yàn)中接受原假設(shè)的結(jié)論相當(dāng)于反證法中沒有找到矛盾把獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想具體化到獨(dú)立性檢驗(yàn)中，就可以通過隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值的大小來研究?jī)蓚€(gè)分類變量是否有相關(guān)關(guān)系 調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表，試問嬰兒的性別與出生的時(shí)間是否有關(guān)系？出生時(shí)間性別晚上白天總計(jì)男嬰15 31 46女嬰8 26 34總計(jì)23 57 80 3某些行為在運(yùn)動(dòng)員的比賽中往往被賦予很強(qiáng)的神秘色彩，如有一種說法認(rèn)為，在進(jìn)入某乒乓球場(chǎng)比賽前先邁入左腳的球員就會(huì)贏得比賽，某記者為此追蹤了某著名乒乓球運(yùn)動(dòng)員在該球場(chǎng)中的308場(chǎng)比賽，獲得數(shù)據(jù)如下表.勝負(fù)總計(jì)先邁入左腳178 27 205先邁入右腳84 19 103總計(jì)262 46 308 據(jù)此資料，你能夠在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為先邁入左腳與贏得比賽有關(guān)系嗎？為什么？ 1下列變量關(guān)系是線性相關(guān)關(guān)系的是()A人的身高與視力B角的大小與所對(duì)的圓弧長C收入水平與納稅水平D圓的半徑與面積解析：收入與納稅不是函數(shù)關(guān)系，但收入高，納稅多答案：C 4在兩個(gè)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)陌嗉?jí)實(shí)行某種教學(xué)措施的實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果見下表，則實(shí)驗(yàn)效果與教學(xué)措施()A.有關(guān)B無關(guān)C關(guān)系不明確D以上都不正確優(yōu)、良、中差總計(jì)實(shí)驗(yàn)班48 2 50對(duì)比班38 12 50總計(jì)86 14 100 5若由一個(gè)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得K24.073，那么在犯錯(cuò)誤的概率不超過_的前提下認(rèn)為兩變量有關(guān)系，已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.解析：查表可知K2的觀測(cè)值k4.0733.841，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為兩變量有關(guān)系答案：5% 7為了對(duì)新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行了試銷試驗(yàn)，以觀察需求量y(單位：千件)對(duì)于價(jià)格x(單位：千元)的反應(yīng)，得數(shù)據(jù)如下：若y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程：x 50 70 80 40 30 90 95 97y 100 80 60 120 135 55 50 48 8為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果是：患胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共260人，未患胃病者生活規(guī)律的共200人(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表；(2)判斷40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律是否有關(guān) 解析：(1)由已知可列22列聯(lián)表如下：患胃病未患胃病總計(jì)生活規(guī)律20 200 220生活不規(guī)律60 260 320總計(jì)80 460 540