第 一 章 統(tǒng)計案例 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 自主學(xué)習(xí)新知突破 1了解回歸分析的基本思想2會求線性回歸直線方程3了解殘差平方和、相關(guān)指數(shù)的概念4了解回歸分析的基本步驟 1在必修3中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個變量間的相關(guān)關(guān)系利用了什么方法對兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進行了研究？提示利用了回歸分析的方法對兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進行了研究2回歸分析的基本步驟是什么？提示畫出兩個變量的散點圖；求回歸直線方程；用回歸直線方程進行預(yù)報 線性回歸模型 2變量樣本點的中心：_，回歸直線過樣本點的中心 3線性回歸模型y_，其中_和_是模型的未知參數(shù)，_稱為隨機誤差自變量x又稱為_，因變量y又稱為_bxae a b解釋變量預(yù)報變量e ( ) 4隨機誤差產(chǎn)生的原因 刻畫回歸效果的方式殘差 樣本編號 身高數(shù)據(jù) 體重估計值 殘差平方和殘差平方和為_，殘差平方和_，模型擬合效果越好相關(guān)指數(shù)R2 R21_，R2表示_變量對_變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好越小 解釋 預(yù)報 2殘差圖的缺點(1)殘差e受許多條件的影響，也受我們所選用的線性模型的影響(2)作殘差圖有時不夠精確，也難于區(qū)分擬合效果的好壞，因此多數(shù)情況下，選用計算相關(guān)指數(shù)R2來說明擬合效果 因為由任何一組觀測值都可以求得一個回歸直線方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗其中正確說法的個數(shù)是()A1B2C3 D4解析：反映的正是最小二乘法思想，故正確反映的是畫散點圖的作用，也正確反映的是回歸模型ybxae，其中e為隨機誤差，故也正確是不正確的，在求回歸方程之前必須進行相關(guān)性檢驗，以確定兩變量的關(guān)系答案：C 合作探究課堂互動 線性回歸分析某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?1)畫出散點圖；(2)求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測他的物理成績學(xué)生學(xué)科A B C D E數(shù)學(xué)成績(x) 88 76 73 66 63物理成績(y) 78 65 71 64 61 思路點撥 (1)散點圖如圖 1.求線性回歸方程的基本步驟： 2需特別注意的是，只有在散點圖大致呈直線時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則求出的線性回歸方程毫無意義 1假設(shè)某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：試求：(1)y與x之間的回歸方程；(2)當(dāng)使用年限為10年時，估計維修費用是多少？x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 解析：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作散點圖，如圖所示： 殘差分析某運動員訓(xùn)練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：(1)作出散點圖；(2)求出回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計算相關(guān)指數(shù)R 2；(5)試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績次數(shù)(x) 30 33 35 37 39 44 46 50成績(y) 30 34 37 39 42 46 48 51 解析：(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖，如下圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系 (2)列表計算： (3)殘差分析作殘差圖如下圖所示，由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適 1.對于建立的回歸模型進行殘差分析，一般從以下幾方面進行：(1)殘差圖；(2)殘差平方和；(3)相關(guān)指數(shù)2相關(guān)指數(shù)R2的作用利用相關(guān)指數(shù)R2可以刻畫擬合效果的好壞在線性回歸模型中，R2的取值越接近1，說明殘差的平方和越小，即說明模型的擬合效果越好 2在比較兩個模型的擬合效果時，甲、乙兩個模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85，則擬合效果好的模型是_答案：甲 非線性回歸分析為了研究某種細菌繁殖個數(shù)y隨時間x的變化情況，收集數(shù)據(jù)如下： (1)用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出上述數(shù)據(jù)的散點圖；(2)試求出預(yù)報變量對解釋變量的回歸方程天數(shù)x/天1 2 3 4 5 6繁殖個數(shù)y/個6 12 25 49 95 190 (1)根據(jù)數(shù)據(jù)得散點圖，如下圖所示4分 (2)根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以發(fā)現(xiàn)樣本點不是分布在某一條直線附近，而是分布在一條曲線附近根據(jù)已學(xué)的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一指數(shù)型函數(shù)yc1ec2x(c10，c20)附近，則將函數(shù)兩邊取對數(shù)得ln yc2xln c1，則令uln y，得uc2xln c1，根據(jù)數(shù)據(jù)可得x和u的數(shù)據(jù)表：6分x 1 2 3 4 5 6u 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 求非線性回歸方程的步驟：確定變量，作出散點圖；根據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程；分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果；根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程 3某電容器充電后，電壓達到100 V，然后開始放電，由經(jīng)驗知道，此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0)表示，現(xiàn)測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表：試求：電壓U對時間t的回歸方程(提示：對公式兩邊取自然對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題)t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 解析：對UAebt兩邊取對數(shù)得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，則yabx，y與x的數(shù)據(jù)如下表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：試建立y與x之間的回歸方程x 0.25 0.5 1 2 4y 16 12 5 2 1 【錯解】由已知條件制成下表： t 4 2 1 0.5 0.25y 16 12 5 2 1