第 二 講 直線與圓的位置關(guān)系 第一節(jié)圓周角定理 1了解圓周角、圓心角的概念；2理解并靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論，圓心角定理. 課 標(biāo) 定 位 1對(duì)圓周角定理的考查(重點(diǎn))2常與直角三角形的相關(guān)知識(shí)結(jié)合命題(難點(diǎn))3多以選擇題、填空題的形式考查. No.1 預(yù)習(xí)學(xué)案 1圓周角定理及其推論(1)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的_等于它所對(duì)的_的一半(2)推論1：_ 所對(duì)的圓周角相等；_ 中，相等的圓周角所對(duì)的_也相等(3)推論2：_ (或_)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是_ 2圓心角定理：圓心角的_等于它所對(duì)弧的_ 圓周角 圓心角同弧或等弧同圓或等圓弧 半圓直徑直徑度數(shù)度數(shù) 1下列命題中正確的是()A圓周角的頂點(diǎn)一定在圓上B頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角C圓周角的兩邊并不一定和圓相交D兩邊都和圓相交的角是圓周角 解析：A圓周角的頂點(diǎn)一定是在圓上的B頂點(diǎn)在圓上，但是若角的兩邊與圓沒有交點(diǎn)，也不是圓周角C圓周角的兩邊一定是與圓相交的D一個(gè)角的兩邊和圓相交，但若角的頂點(diǎn)不在圓上，也不是圓周角答案：A 解析：BACBDC，ACDABD，AEDBEC，AEBDEC，共有4對(duì)相等的角答案：C 3.如圖所示，已知 O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，則AE_.答案：9 4如圖，已知 O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，若CF AD，AB2，求CD的長(zhǎng) No.2 課堂學(xué)案 (2010遼寧高考)如圖，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.與圓周角定理相關(guān)的證明 規(guī)律方法利用圓周角定理證明等量關(guān)系是一類重要的數(shù)學(xué)問題，在解決此題問題時(shí)，主要分析圓周角、圓心角、弧之間的關(guān)系，經(jīng)常與三角形聯(lián)系在一起進(jìn)行考查 1.本例中，已知不變求證：BE2AEDE. 如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在 O上，若 C34，求 AOB和 ADB的度數(shù)圓中相關(guān)角度數(shù)的求解 2.如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D、E都在 O上，若 A14， E12，求 DOB的度數(shù) 有關(guān)圓弧的問題 規(guī)律方法(1)證明與弧有關(guān)問題的解題步驟根據(jù)題意作出輔助線；證明兩個(gè)圓心角、兩個(gè)圓周角，或兩條弧所在的弦相等；利用圓周角定理的相關(guān)推論作出結(jié)論(2)注意事項(xiàng)在圓中，只要有弧，就存在著弧所對(duì)的圓周角因此，若要判斷兩弧相等，可以通過(guò)判斷兩條弧所對(duì)的圓周角相等其實(shí)圓心角、兩條弦、兩條弧中任何一組相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各個(gè)量也相等 3.下列命題，是真命題的是()A相等的圓周角所對(duì)的弧相等B圓周角的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)的一半C90的圓周角所對(duì)的弦是直徑D長(zhǎng)度相等的弧所對(duì)的圓周角相等解析：在半徑不同的圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧長(zhǎng)不相等，因此A錯(cuò)誤；根據(jù)圓周角定理可知，只有對(duì)應(yīng)的是同一條弧才成立，因此B錯(cuò)誤；根據(jù)圓周角定理的推論2，可得C正確；在半徑不同的圓中，長(zhǎng)度相等的弧所對(duì)的圓周角不相等，因此D錯(cuò)誤；故選C答案：C 如圖，已知AB為 O的直徑，弦CD AB，垂足為H.(1)求證：AHABAC2；(2)若過(guò)A的直線與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與 O相交于點(diǎn)F，求證：AEAFAC2；(3)若過(guò)A的直線與直線CD相交于點(diǎn)P，與 O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQAC 2是否成立(不必證明) 直徑所對(duì)的圓周角 思路點(diǎn)撥要證AHABAC2及AEAFAC2只需證明三角形相似，利用直徑的性質(zhì) 規(guī)律方法在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對(duì)的圓周角是直角，所對(duì)的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角大小、線段長(zhǎng)度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等 4.如圖，AB是 O的直徑，AB2 cm，點(diǎn)C在圓周上，且 BAC30， ABD120，CD BD于D求BD的長(zhǎng) 解析：連接BC，AB為O的直徑，ACB90A30，AB2 cm，BC1(cm )，ABD120，DBC1206060，CDBD，BCD906030，BD0.5 cm . 思路點(diǎn)撥要證等腰三角形，可分別用弧的度數(shù)表示APQ與AQP，然后根據(jù)等腰三角形的定義作出判斷圓周角定理和圓心角定理的綜合應(yīng)用 規(guī)律方法如何應(yīng)用圓周角和圓心角定理解題？觀察圖形，尋找相應(yīng)弦及所對(duì)的?。焕脠A周角定理和圓心角定理求出相關(guān)的角；進(jìn)行適當(dāng)變形；得出結(jié)論 5.如圖，已知A、B、C、D是 O上的四個(gè)點(diǎn)，ABBC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD、AD(1)求證：DB平分 ADC(2)若BE3，ED6，求AB的長(zhǎng) 1解題時(shí)如何將圓中的直徑與90的圓周角聯(lián)系在一起？一般地，若題目中有直徑，往往要作出直徑所對(duì)的圓周角，從而得到兩直線互相垂直；而要說(shuō)明某一條弦為直徑時(shí)，也往往先得出該弦所對(duì)的圓心角為90.2方法提示和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計(jì)算，不僅可以通過(guò)計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來(lái)求相關(guān)的角、線段，有時(shí)，還可以通過(guò)比例線段，相似比來(lái)計(jì)算 3利用圓中角的關(guān)系證明應(yīng)注意哪些問題？(1)分析已知和所求，找出所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁；(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時(shí)，要注意尋找直徑所對(duì)的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問題4圓心角定理及其推論中的注意事項(xiàng)(1)圓心角定理中，圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)，與圓的半徑?jīng)]有關(guān)系，相同度數(shù)的圓心角所對(duì)的弧的度數(shù)相等；弧的度數(shù)相等，它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)也相等 (2)在同圓或等圓中，相同度數(shù)的圓心角不但所對(duì)的弧的度數(shù)相等，而且弧長(zhǎng)、所含的弦長(zhǎng)也是相等的，若兩圓的半徑不相等，雖然圓心角相等，其所對(duì)的弧的度數(shù)也相等，但此時(shí)相應(yīng)的弧長(zhǎng)、所含的弦長(zhǎng)并不相等(3)在推論1中，要理解“等弧”的概念所謂“等弧”，就是兩弧的度數(shù)和長(zhǎng)度都相等，其實(shí)“等弧”所在的圓的半徑也是相等的(4)推論2的作用是把90的角與直徑聯(lián)系起來(lái)，這就架起了圓與代數(shù)運(yùn)算的橋梁，在幾何證明中要注意直徑的運(yùn)用