第四節(jié)弦切角的性質(zhì) 1掌握并會運(yùn)用弦切角定理2理解數(shù)學(xué)的化歸思想(重點(diǎn))課 標(biāo) 定 位 1弦切角的性質(zhì)定理的應(yīng)用(重點(diǎn))2與相似三角形、四邊形中的邊角聯(lián)系密切(難點(diǎn)) No.1 預(yù)習(xí)學(xué)案 1弦切角的定義_的角叫做弦切角，如圖所示，在圖中_就是一個弦切角頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切 CAB 2對弦切角的理解弦切角需具備的三個條件_在圓上(頂點(diǎn)為切線的切點(diǎn))；一邊和圓_(一邊所在的直線為圓的切線)；一邊和圓_(一邊為圓的過切點(diǎn)的弦)對于上述三個條件缺一不可，一個圓的弦切角不止一個，可有無數(shù)多個，只要滿足上述三個條件就是弦切角頂點(diǎn)相切相交 3弦切角定理(1)文字語言敘述弦切角等于它_所對的圓周角(2)圖形語言敘述如圖，AB與 O切于A點(diǎn)，則 BAC_所夾的弧 D 4與弦切角定理有關(guān)的結(jié)論(1)弦切角的度數(shù)等于它_(2)弦切角的度數(shù)等于它_ _(3)如果兩個弦切角所夾的_，那么這兩個_所夾的弧的度數(shù)的一半所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半弧相等弦切角也相等 CEM ADM 1如圖，經(jīng)過 O上的點(diǎn)A的切線和弦BC的延長線相交于點(diǎn)P，若 CAP40， ACP100，則 BAC所對的弧的度數(shù)為()A40B100C120 D30 解析：AP是O的切線，ABCCAP40，又ACP100，BACACPABC60，即BAC所對的弧為120.答案：C 2已知在 O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是 O的直徑， BCD120，過D點(diǎn)的切線PD與BA的延長線交于P點(diǎn)，則 APD的度數(shù)是()A15 B30C45 D60解析：連結(jié)BD，則ADB90，又BADC180，BAD60，ABD30，PDAABD30，APDBADPDA30.答案：B 答案：451354590 解析：(1)證明：如圖，連接BC直線CD與O相切于點(diǎn)C，DCABAC平分DAB，DACCABADCACBAB為O的直徑，ACB90.ADC90，即ADCD No.2 課堂學(xué)案 如圖甲，在ABC中， B90，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，直線ED交BC的延長線于F.若AD AE2 1，求tan F.利 用 弦 切 角 解 決 與 角 有 關(guān) 的 問 題 思路點(diǎn)撥 規(guī)律方法(1)利用弦切角解決與角有關(guān)的問題的步驟根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關(guān)的弦切角；利用弦切角定理找出與其相等的角；綜合運(yùn)用相關(guān)的知識，進(jìn)行角的求解(2)注意事項(xiàng)要注意觀察圖形，不要憑想當(dāng)然圖形是最好的指導(dǎo)，要學(xué)會讓圖形“說話”，尋找解題的突破口，要特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、相似三角形、射影定理等知識的綜合應(yīng)用 如圖甲，AB是 O的直徑，AC切 O于A，CB交 O于D，DE切 O于D，BE DE于E，BD10，DE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個根(DEBE)求AC的長 利 用 弦 切 角 解 決 與 長 度 有 關(guān) 的 問 題 思路點(diǎn)撥利用韋達(dá)定理和勾股定理，求出DE、BE的長，然后兩次借助弦切角定理，判斷出三角形相似，利用對應(yīng)的長度比值分別求出AD、AC的長度解題過程如圖乙所示，連接ADDE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個根，DEBE2(m2)，DEBE2m2m3.又DE2BE2102，2(m2)22(2m2m3)100，解得m5， 規(guī)律方法(1)弦切角是與圓相交的角其主要功能是協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關(guān)的各種直線位置關(guān)系的橋梁(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理(3)弦切角定理有時還與圓周角定理等知識綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn) 2.如圖，ABD的邊AB為直徑，作 O交AD于C，過點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E.證明：ABBD 運(yùn) 用 弦 切 角 定 理 證 明 比 例 式 或 乘 積 式 規(guī)律方法證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時需要添加輔助線創(chuàng)造條件 3.如圖，AD是ABC的角平分線，經(jīng)過點(diǎn)A、D的 O和BC切于D，且AB、AC與 O相交于點(diǎn)E、F，連接DF.(1)求證：EF BC；(2)求證：DF2AFBE.證明：(1)O切BC于D，CADCDF.AD是ABC的角平分線，BADCAD，又BADEFD，EFDCDF，EF BC 如下圖所示，CF是 O的直徑，CB是 O的弦，CB的延長線與過點(diǎn)F的 O的切線交于點(diǎn)P. 弦 切 角 的 綜 合 應(yīng) 用 解題過程(1)PF是切線，PCF是直角三角形，P45，PFCF，2rPF10，r5，O的半徑為5. 規(guī)律方法利用弦切角定理進(jìn)行計算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角 4.如圖，已知ABC內(nèi)接于 O，AE切 O于點(diǎn)A，BC AE，(1)求證：ABC是等腰三角形；(2)設(shè)AB10 cm，BC8 cm，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，問這樣的點(diǎn)有幾個？并求AP的長 1圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別 2.如何從運(yùn)動變化思想理解弦切角？弦切角可以理解為是移動圓周角的一條邊而產(chǎn)生的，過程為：保持一邊不動，移動圓周角的另一邊，當(dāng)運(yùn)動移至與圓相切位置時，停止移動，此時便形成了弦切角3弦切角定理的證明體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？分類討論、完全歸納法、從特殊到一般4運(yùn)用弦切角定理解題時，一般怎樣添加輔助線？添加輔助線構(gòu)成弦切角所夾的弧對應(yīng)合適的圓周角，為解題提供條件.