第 三 講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 一平行射影二平面與圓柱面的截線三平面與圓錐面的截線 1了解平行射影的含義，體會平行射影；2會證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情況是圓)；3體會并會用Dandlin雙球證明定理1、定理2.課 標(biāo) 定 位 1對平行投影的概念的考查(重點(diǎn))2常與立體幾何、平面幾何結(jié)合命題(難點(diǎn)). No.1 預(yù)習(xí)學(xué)案 1正射影的概念給定一個(gè)平面，從一點(diǎn)A_，稱_為點(diǎn)A在平面上的正射影一個(gè)圖形上_所組成的圖形，稱為這個(gè)圖形在平面上的正射影作平面的垂線，垂足為A點(diǎn)A各點(diǎn)在平面上的正射影 2平行射影設(shè)直線l與平面相交，稱_為投影方向，過點(diǎn)A作_的直線(稱為投影線)必交于一點(diǎn)A，稱_為A沿l的方向在平面上的平行射影一個(gè)圖形上_所組成的圖形，叫做這個(gè)圖形的平行射影3橢圓的定義平面上_的軌跡叫做橢圓直線l的方向平行于l點(diǎn)A各點(diǎn)在平面上的平行投影到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn) 4兩個(gè)定理定理1：圓柱形物體的斜截口是_定理2：在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于O點(diǎn)，夾角為，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為(當(dāng)與l平行時(shí)，記0)，則(1)，平面與圓錐的交線為_；(2)，平面與圓錐的交線為_；(3)，平面與圓錐的交線為_ 橢圓橢圓拋物線雙曲線 1若一直線與平面的一條斜線在此平面上的射影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關(guān)系是()A垂直D異面C相交 D不能確定解析：若該直線在平面內(nèi)，則A成立，若該直線是平面的垂線，則B或C成立，因此D正確答案：D 2圓錐的頂角為50，圓錐的截面與軸線所成的角為30，則截線是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案：B 3一平面截半徑為3的圓柱面得橢圓，若橢圓的Dandelin雙球的球心距離為10，則截面與圓柱面母線夾角的余弦值為_. 4如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，畫出空間四邊形AEFG在該正方體的面DCC1D1上的正投影 解析：如圖(1)，點(diǎn)A落在D點(diǎn)上，點(diǎn)G落在CC1的中點(diǎn)G上，點(diǎn)F在面DCC1D1上的正射影仍為點(diǎn)F，點(diǎn)E落在DD1的中點(diǎn)E上，擦去命名點(diǎn)，其圖形如圖(2)所示 No.2 課堂學(xué)案 如圖所示，在三棱錐PABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，ABC和PEF都是正三角形，且PF AB求證：點(diǎn)C在平面PAB內(nèi)的正射影為點(diǎn)P.正射影的應(yīng)用 思路點(diǎn)撥 規(guī)律方法(1)如何確定一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)正射影的位置？過該點(diǎn)作平面的垂線，則垂足是該點(diǎn)在平面內(nèi)的正射影垂足位置的確定：利用立體幾何知識及相關(guān)結(jié)論，通過論證確定經(jīng)常與線、面垂直的判定定理、性質(zhì)定理相結(jié)合(2)平面圖形在一個(gè)平面內(nèi)的正射影由該圖形上各點(diǎn)在平面內(nèi)的正射影組成 1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是BB1、BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為下列各圖中的() 答案：A 如圖所示，一球與圓錐面相切，設(shè)切點(diǎn)組成的小圓所在的平面為，現(xiàn)有一條直線l平行于圓錐面的母線，且與球相切于F點(diǎn)，與圓錐面的交點(diǎn)為G，與平面的交點(diǎn)為K，求證：GFGK. 平面與圓錐面的截線性質(zhì)的應(yīng)用 解題過程證明：設(shè)直線l與球心O確定的平面為，則平面與球、圓錐面及平面的相交情況如答圖所示l PB，AGKAPBPAPB，GAGK.又GAGF，GKGF. 2.如圖，上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為圓S，記圓S所在的平面為，設(shè)與的交線為m，在橢圓上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PF1，在中過P作m的垂線，垂足為A，過P作的垂線，垂足為B，則AB是AP在上的射影若RtABP中， APB為定角 一個(gè)頂角為60的圓錐面被一個(gè)平面所截，如圖所示Dandlin雙球均在頂點(diǎn)S的下方，且一個(gè)半徑為1，另一個(gè)半徑為5，則截線的形狀是什么曲線？其離心率是多少？ 利用Dandlin雙球研究圓錐曲線問題 思路點(diǎn)撥判斷出截線為橢圓求出切線長求出兩圓心距O1O2求出a、c進(jìn)一步得離心率e 規(guī)律方法解決此類問題可先把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用曲線的定義及性質(zhì)來解決 3.已知一圓錐的母線與軸的夾角為30，一平面截圓錐得一雙曲線，截面的兩焦球的半徑分別為1和3，求截線雙曲線的實(shí)軸長和離心率 三種圓錐曲線的性質(zhì)討論 規(guī)律方法平面直角坐標(biāo)系也是解決幾何問題的重要工具通過平面直角坐標(biāo)系可對幾何元素進(jìn)行確定的量的分析 4.在平面內(nèi)，兩個(gè)定點(diǎn)的距離為8，動點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為10，求動點(diǎn)M的軌跡方程 1正射影與平行射影的聯(lián)系與區(qū)別是怎樣的？正射影與平行射影的投影光線與投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光線與投影面垂直而平行射影的投影光線與投影面斜交平面圖形的正射影與原投影面積大小相等而一般平行射影的面積要小于原投影圖形的面積 2點(diǎn)的射影與圖形的射影間的聯(lián)系與區(qū)別是怎樣的？圖形是由點(diǎn)組成的集合，因而圖形的射影是被投影圖形上各點(diǎn)在平面上的射影的集合所以，要找到一個(gè)圖形的射影只需找到組成這個(gè)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的射影即可3如何作出一個(gè)幾何體的射影圖形？(1)直觀觀察幾何體，形成平面“圖像”；(2)找到表示平面圖像的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)作出各關(guān)鍵點(diǎn)的射影；(4)連點(diǎn)成圖 4一個(gè)圓面在平面上的正射影是什么圖形？其大小與圓面的大小是怎樣的關(guān)系？(1)若圓面所在的平面與平面平行，則其正射影是一個(gè)圓面，其大小與圓面的大小相等(2)當(dāng)圓面所在的平面與平面斜交時(shí)，其正射影是一個(gè)橢圓其大小比圓面的大小要小(3)當(dāng)圓面所在的平面與平面垂直時(shí)，其正射影是一條線段，沒有面積 5幾何圖形的正射影與原圖相比有什么變化？可能變，也可能不變例如，一個(gè)圓所在平面與平面平行時(shí)，該圓在上的正射影是與原來大小相同的圓；若與不平行時(shí)，圓在上的正射影不再是圓，而是橢圓或線段(與垂直時(shí)) 6如何判斷平面圖形的射影的形狀？(1)當(dāng)投影線與平面垂直時(shí)，平面圖形在上形成的射影是正射影因此，當(dāng)投影線與平面圖形所在的平面也垂直時(shí)，該平面圖形的正射影與其自身完全相同；(2)當(dāng)投影線與平面斜交時(shí)，平面圖形在上形成的射影是平行射影其射影的形狀，一般會發(fā)生變化，要看投影線與平面圖形所在平面的夾角的大小來確定(3)畫圖或模型演示是解決此類問題的較好手段.