1.1.2 一 元 一 次 不 等 式 和 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 1.熟練掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法.2.能借助于一元一次(二次)不等式(組)求解有關問題. 1.一 元 一 (二 )次 不 等 式 的 概 念(1)含有一個未知數并且未知數最高次數是一次的不等式,叫做一元一次不等式.(2)含有一個未知數并且未知數最高次數是二次的不等式,叫做一元二次不等式.【 做 一 做 1】 +m2-10一定可以看作()A.關于x的一次不等式B.關于m的一元二次不等式C.一次或二次不等式D.不是不等式解 析 :若m為參數,x為變量,當m=0時不是一元一次不等式;若x為參數,m為變量,則必為一元二次不等式.答 案 :B 2.一 元 一 次 不 等 式 的 解 法關于x的不等式axb,(3)當a=0時,若b0或ax2+bx+c0,x1,x2為一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根,且x1x2,=b2-4ac為其判別式,具體如下表: 【 做 一 做 3-1】 不等式x2-x-20,方程x2-x-2=0的兩根為-1和2,所以不等式x2-x-20的解集為x|-1x2.答 案 :x|-1x0的解集為.解 析 :由-x2+2x-30,得x2-2x+30.因為0,所以方程x2-2x+3=0無實根.所以不等式x2-2x+30.通過這兩個結論可以解出a,b間的關系,進而可求(a-3b)x+(b-2a)0的解集. 題型一 題型二 題型三 題型四解得a=2b0,b0,不等式(a-3b)x+(b-2a)0等價于-bx-3b0,即-bx3b, x-3.故所求不等式的解集為x|x0;(2)x(3-x)x(x+2)-1;(3)x2-2x+30.分 析 :解一元二次不等式的一般步驟是:化為標準形式.確定判別式=b2-4ac的符號.若0,則求出該不等式對應的二次方程的根;若0,則對應的二次方程無根;若=0,則對應的二次方程有兩個相等的實根.聯系對應的二次函數的圖象得出不等式的解集.特別地,若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式,則可立即寫出不等式的解集. 題型一 題型二 題型四題型三解 :(1)原不等式變形為2x2-3x-20. (2x+1)(x-2)0.(3) =(-2)2-43=-80.分 析 :原不等式可變形為(x-a)(x-a2)0,所以需比較(x-a)(x-a2)=0的兩根a與a2的大小,從而確定對a進行分類的標準.解 :原不等式可變形為(x-a)(x-a2)0.程(x-a)(x-a2)=0的兩個根為x1=a,x2=a2.而a-a2=0a1=0,a2=1,于是對a可以分為“a0,0a1和a=0,a=1”五種情況進行分類討論.當a0時,有aa 2,原不等式的解集為x|xa2;當0a1時,有a2a,原不等式的解集為x|xa; 題型一 題型二 題型三 題型四當a1時,有aa2,原不等式的解集為x|xa2;當a=0時,有x0,原不等式的解集為x|x R,且x0;當a=1時,有x1,原不等式的解集為x|x R,且x1.反 思若借助于因式分解法可求得相應的二次方程的兩根,我們可通過討論兩根的大小關系,從而得到不等式的解集. 題型一 題型二 題型三 題型四【 例 4】 解關于x的不等式:3x2-mx-m0.分 析 :通過討論方程3x2-mx-m=0的根的情況得到不等式的解集.解 :=m2+12m=m(m+12).(3)當0,即-12m0時,方程3x 2-mx-m=0沒有實根,此時原不等式的解集為R.反 思當與二次不等式相對應的二次方程不能應用因式分解的方法求出根時,我們可通過討論判別式來解不等式. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :因 忽 視 對 二 次 項 系 數 的 討 論 而 致 錯 .【 例 5】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40對一切x R恒成立,求a的取值范圍.錯 因 分 析 :不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-40在a-2=0時不是二次不等式,故求解錯誤. 題型一 題型二 題型三 題型四正 解 :當a-2=0,即a=2時,不等式為-40,對一切x R恒成立.當a-20,即a2時,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40對一切x R恒成立,綜上所述,a的取值范圍應為(-2,2. 1 2 3 4 51不等式(1-2x)(3x+1)0時,f(x)=x-2,那么不等式 1 2 3 4 5答 案 :D 1 2 3 4 5答 案 :-3,1 1 2 3 4 55解關于x的不等式:x2+(1-a)x-a0.解 :x2+(1-a)x-a=0的根為x1=-1,x2=a.函數y=x2+(1-a)x-a的圖象開口向上,當a-1時,原不等式的解集為x|ax-1時,原不等式的解集為x|-1xa.