本章整合 專題一 專題二 專題三 專題四專題一含絕對值不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x);|f(x)|g(x)-g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3.零點(diǎn)分段法含有兩個(gè)以上絕對值符號的不等式,可先求出使每個(gè)含絕對值符號的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值,將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來,它們把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間,討論每一個(gè)絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個(gè)區(qū)間上的符號,轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解. 專題一 專題二 專題三 專題四應(yīng)用1解下列關(guān)于x的不等式:(1)|x-x2-2|x2-3x-4;(2)|x-2|-|2x+5|2x.提示:根據(jù)絕對值的意義,先去掉絕對值符號,再解不等式.解:(1)解法一:原不等式等價(jià)于x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-3.解法二: |x-x 2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,原不等式等價(jià)于x2-x+2x2-3x-4,解得x-3.故原不等式的解集為x|x-3. 專題一 專題二 專題三 專題四 專題一 專題二 專題三 專題四求f(x)=f1(x)對所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件(用p1,p2表示).解:f(x)=f1(x)恒成立f1(x)f2(x) |x-p1|-|x-p2|log32. (*)若p 1=p2,則(*)式0log32,顯然成立;若p1p2,記g(x)=|x-p1|-|x-p2|.當(dāng)p1p2時(shí), 專題一 專題二 專題三 專題四所以g(x)max=p1-p2,故只需p1-p2log32.當(dāng)p1p2時(shí),所以g(x) max=p2-p1,故只需p2-p1log32.綜上所述,f(x)=f1(x)對所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件是|p1-p2|log32. 專題一 專題二 專題三 專題四專題二基本不等式的應(yīng)用利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型:(1)和為定值時(shí),積有最大值;(2)積為定值時(shí),和有最小值.在具體應(yīng)用基本不等式解題時(shí),一定要注意適用的范圍和條件:“一正、二定、三相等”.應(yīng)用1(1)已知0 xa.(1)當(dāng)a=1時(shí),解此不等式;(2)當(dāng)a為何值時(shí),此不等式的解集是R?提示:對于(1),根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為絕對值不等式求解.(2)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),lg(|x+3|+|x-7|)1,|x+3|+|x-7|10,x7或x-3.所以不等式的解集為x|x7. 專題一 專題二 專題三 專題四(2)設(shè)f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)|(x+3)-(x-7)|=10,當(dāng)且僅當(dāng)(x+3)(x-7)0,即-3x7時(shí),f(x)取得最小值10,即lg(|x+3|+|x-7|)1.故要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集為R,只要a0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即證2abcdb 2c2+a2d2.即證(bc-ad)20.因?yàn)閍,b,c,d R,所以上式恒成立.故原不等式成立.綜合(1)(2)可知,原不等式成立. 專題一 專題二 專題三 專題四證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2.證法三: (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20, (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2, 專題一 專題二 專題三 專題四 專題一 專題二 專題三 專題四(2)當(dāng)a2+b2=0時(shí),原不等式顯然成立.綜合(1)(2)可知,原不等式成立. 專題一 專題二 專題三 專題四應(yīng)用2用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半.證明:如圖所示,在ABC中, CAB90,D是BC的中點(diǎn). 專題一 專題二 專題三 專題四 1 2 3 4 5 6 71(江西高考)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不等式|x-2|-1|1的解集為.解析:原不等式等價(jià)于-1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0 x4.答案:0,4 1 2 3 4 5 6 72(重慶高考)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|a無解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.域?yàn)?,+),因?yàn)樵坏仁綗o解,所以只需a8,故a的取值范圍是(-,8.方法二:由絕對值不等式,得|x-5|+|x+3|(x-5)-(x+3)|=8,故不等式|x-5|+|x+3|1.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集為x|1x2,求a的值.當(dāng)x2時(shí),由f(x)4-|x-4|,得-2x+64,解得x1;當(dāng)2x4時(shí),f(x)4-|x-4|無解;當(dāng)x4時(shí),由f(x)4-|x-4|,得2x-64,解得x5;所以f(x)4-|x-4|的解集為x|x1或x5. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.(2)因?yàn)閨x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0,即-1x2時(shí)等號成立.所以f(x)的最小值為3. 1 2 3 4 5 6 76(課標(biāo)全國高考)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;解:(1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-30.設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其圖象如圖所示.從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x (0,2)時(shí),y0. 所以原不等式的解集是x|0 x2. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 77(課標(biāo)全國高考)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: 證明:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.