,第6節(jié) 離散型隨機變量的分布列及均值與方差,基 礎(chǔ) 梳 理,1離散型隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為 ，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量,隨機變量,2離散型隨機變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率為P(Xxi)pi，則表 稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了簡單起見，也用等式_ _表示X的分布列,P(Xxi)pi，,i1，2，n,pi0，i1,2，n,超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)_，(k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*)，稱分布列為超幾何分布列如果隨機變量X的分布列具有下表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.,3均值與方差 (1)均值 稱E(X)_為隨機變量X的均值或_它反映了離散型隨機變量取值的_ (2)方差 稱D(X)_ 為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的_，稱其算術(shù)平方根為_隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,x1p1x2p2xipixnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,平均偏離程度,(3)均值與方差的性質(zhì) E(aXb) . D(aXb) (a，b為常數(shù)),aE(X)b,a2D(X),質(zhì)疑探究：隨機變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本的均值、方差是一個隨機變量，隨著試驗次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值與方差,考 點 突 破,例1 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量X的分布列； (3)計分介于20分到40分之間的概率,離散型隨機變量的分布列,思維導(dǎo)引 (1)用組合數(shù)分別求出任取3個小球及3個小球數(shù)字各不相同的取法，然后利用古典概型的公式求值；(2)先依據(jù)題意確定X的取值，然后分別求出每個取值所對應(yīng)事件的概率，列成表格的形式即可；(3)確定計分介于20分到40分之間所對應(yīng)的X的取值，利用互斥事件的加法公式求解,求解離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)實際情況確定離散型隨機變量的取值，然后利用排列、組合與概率知識求出每個變量取值所對應(yīng)事件的概率，最后以表格的形式給出,即時突破1 一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列,例2 (2013年高考天津卷)一個盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同) (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號的最大值設(shè)為X, 求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望,離散型隨機變量的期望與方差,思維導(dǎo)引 (1)利用組合的知識分別求出任取4張卡片以及含有編號為3的取法種數(shù)，然后代入古典概型公式中求解；(2)先確定X的取值，求出相應(yīng)的分布列，然后代入期望的公式求解,求離散型隨機變量的均值與方差的方法 (1)理解的意義，寫出可能取的全部值； (2)求取每個值的概率； (3)寫出的分布列； (4)由均值的定義求E()； (5)由方差的定義求D(),即時突破2 (2014河北省衡水中學(xué)高三第八次模擬)為了響應(yīng)學(xué)?！皩W(xué)科文化節(jié)”活動，數(shù)學(xué)組舉辦了一場數(shù)學(xué)知識比賽，共分為甲、乙兩組其中甲組得滿分的有1個女生和3個男生，乙組得滿分的有2個女生和4個男生現(xiàn)從得滿分的學(xué)生中，每組各任選2個學(xué)生，作為數(shù)學(xué)組的活動代言人 (1)求選出的4個學(xué)生中恰有1個女生的概率； (2)設(shè)X為選出的4個學(xué)生中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,例3 (2014山西省太原市第五中學(xué)高三月考)近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機的對入院的50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：,超幾何分布,思維導(dǎo)引 (1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個數(shù)據(jù)；(2)利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進行判斷；(3)先確定的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個取值所對應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計算公式求解,對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)，隨機變量取值的概率實質(zhì)上是古典概型,即時突破3 某校高一年級共有學(xué)生320人為調(diào)查高一年級學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進行學(xué)習(xí)的時間)情況，學(xué)校采用隨機抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進行問卷調(diào)查 根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：0,10)，10，20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60，70，得到頻率分布直方圖如圖已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間低于20分鐘的有4人,(1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表) (3)問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,解：(1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×(0.020.06)4，解得n50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p10.02，p20.06，p30.3，p40.4，p50.12，p60.08，p70.02，,離散型隨機變量的分布列、期望與方差 典例 (12分)(2013年高考湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,