章末高效整合 知能整合提升 一、合情推理和演繹推理1歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理 2從推理所得結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得合情推理可以為演繹推理提供方向和思路 二、直接證明和間接證明1直接證明包括綜合法和分析法(1)綜合法是“由因?qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，用綜合法證明命題的邏輯關系是：A B1 B2 Bn B(A為已經(jīng)證明過的命題，B為要證的命題)它的常見書面表達是“， ”或“ ” (2)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學過的定義、定理、公理、公式、法則等)，用分析法證明命題的邏輯關系是：B B1 B2 A，它的常見書面表達是“要證只需”或“ ” 2間接證明主要是反證法反證法：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫作反證法，反證法是間接證明的一種方法反證法主要適用于以下兩種情形：(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形 熱點考點例析 合情推理的應用【點撥】對合情推理的認識合情推理包括歸納推理和類比推理歸納推理是由部分特殊的對象特征得到一般性的結(jié)論的推理方法它在數(shù)學研究或數(shù)學學習中具有十分重要的意義，通過歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新知識，探索新結(jié)論，探索解題思路，預測答案等類比推理是從特殊到特殊的一種推理方法，它以比較為基礎，類比法有助于啟迪思維，觸類旁通，拓寬知識面，發(fā)現(xiàn)命題等，著名哲學家康德說：“每當理智缺乏可靠論證思路時，類比法往往能指明前進的方向” 特別提醒：(1)歸納推理是由部分到整體，個體到一般的推理，其結(jié)論正確與否，有待于嚴格證明(2)進行類比推理時，要合理確定類比對象，不能亂比，要對兩類對象的共同特點進行對比 1如圖，第n個圖形是由正n2邊形“擴展”而來(n1,2,3，)，則第n2個圖形中共有_個頂點 解析：設第n個圖形中有an個頂點，則a1333，a2444，annnn，an2(n2)2n2n23n2.答案：n23n2 【點撥】數(shù)學中考查演繹推理的試題的比例比較大，即有選擇、填空，也有解答、證明，立體幾何是考查演繹推理的最好素材演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理，是一種由一般到特殊的推理數(shù)學中的證明主要是通過演繹推理進行的，演繹推理的一般模式是“三段論”，包括：大前提、小前提和結(jié)論在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，則結(jié)論必定是正確的演繹推理的應用 思維點擊 2如圖所示，在四邊形ABCD中，ABCD，BCAD，求證：四邊形ABCD為平行四邊形，寫出三段論形式的演繹推理 (3)由全等三角形的定義可知：全等三角形的對應角相等，大前提ABC和CDA全等， 小前提則它們的對應角相等 結(jié)論用符號表示，就是ABCCDA12且34且BD. (4)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行， 大前提直線AB，DC被直線AC所截，內(nèi)錯角12， 小前提(已證)則ABDC. 結(jié)論同理有：BCAD. (5)如果四邊形中兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形， 大前提四邊形ABCD中，兩組對邊分別平行， 小前提則四邊形ABCD是平行四邊形 結(jié)論用符號表示為：ABDC且ADBC四邊形ABCD為平行四邊形 【點撥】(1)綜合法和分析法是直接證明中兩種最基本的證明方法但這兩種方法證明思路完全相反綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”(2)一般情況下是用分析法尋找解題思路，然后用綜合法證明問題，它們相互轉(zhuǎn)換、相互滲透，要充分利用這一辯證關系在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑綜合法與分析法 3設a，b是兩個正實數(shù)，且ab，求證：a3b3a2bab2.證明：要證a3b3a2bab2成立，只需證(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需證a2abb2ab成立只需證a22abb20成立，即需證(ab)20成立而由已知條件可知，ab，ab0，(ab)20顯然成立即a 3b3a2bab2. 【點撥】對反證法的認識(1)反證法是一種間接證明的方法，它的理論基礎是互為逆否命題的兩個命題為等價命題，它反映了“正難則反”的思想(2)反證法著眼于命題的轉(zhuǎn)換，改變了研究的角度和方向，使論證的目標更為明確，由于增加了推理的前提原結(jié)論的否定，更易于開拓思路因此對于直接論證較為困難的時候，往往采用反證法證明所以反證法在數(shù)學證明中有著廣泛的應用反證法 特別提醒：適宜用反證法證明的命題有：結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的命題關于唯一性、存在性的命題結(jié)論是以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題 1用演繹推理證明函數(shù)yx3是增函數(shù)時的大前提是() A增函數(shù)的定義B函數(shù)yx3滿足增函數(shù)的定義C若x1x2，則f(x1)x2，則f(x1)f(x2) 解析：根據(jù)演繹推理的特點知，演繹推理是一種由一般到特殊的推理，所以函數(shù)yx3是增函數(shù)的大前提應是單調(diào)增函數(shù)的定義答案：A 2已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一排：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)則第66個“整數(shù)對”是()A(7,5)B(5,7)C(2,10) D(11,1) 答案：D 4與“三個實數(shù)a，b，c不全為0”等價的是()Aa，b，c都不是0Ba，b，c中至多有一個為0Ca，b，c中只有一個是0Da，b，c中至少有一個不是0解析：“不全為0”即“至少有一個不是0”，故選D.答案：D 5如圖所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD，BCDA.又因為ABC和CDA的三邊對應相等，所以ABCCDA.上述推理的兩個步驟中應用的推理形式是_答案：三段論 6如圖所示是一個有n層(n2，n N*)的六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第1層，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，第n層每邊有n個點，則這個點陣共有_個點 8已知a1a2a3a4100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.證明：假設a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4100矛盾，故假設錯誤所以a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.