,第十一章 算法初步、推理證明、復(fù)數(shù),第四節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用,考情展望 1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題,固本源 練基礎(chǔ) 理清教材,基礎(chǔ)梳理,1判斷正誤，正確的打“”，錯誤的打“×” (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)n1時結(jié)論成立( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項( ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應(yīng)為122223.( ) (6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n03.( ),基礎(chǔ)訓(xùn)練,答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5) (6),解析：因為假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時命題成立，故下一個偶數(shù)為k2.,解析：從n到n2共有n2n1個數(shù)，所以f(n)中共有n2n1項,4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_.,解析：易得f(k1)f(k).,答案：,答案：2k,精研析 巧運用 全面攻克,考點一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式自主練透型,1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是幾； 2由nk到nk1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明,自我感悟解題規(guī)律,考點二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式自主練透型,1用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明 2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時成立得nk1時成立，主要方法有放縮法；利用均值不等式法；作差比較法等,自我感悟解題規(guī)律,調(diào)研3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數(shù) 思路點撥 當(dāng)nk1時，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵,考點三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 師生共研型,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，P(k)P(k1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,名師歸納類題練熟,已知n為正整數(shù)，aZ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除,好題研習(xí),證明：當(dāng)n1時，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除 假設(shè)nk時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當(dāng)nk1時， ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除 即當(dāng)nk1時命題也成立 根據(jù)可知，對于任意nN，an1(a1)2n1能被a2a1整除,思路點撥 關(guān)鍵是搞清nk到nk1時對角線增加的條數(shù)，看頂點的變化可知對角線的變化從而可解,考點四 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題自主練透型,(2)平面上有n個圓，每兩圓交于兩點，每三圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2n2個部分 證明 當(dāng)n1時，n2n21122，而一個圓把平面分成兩部分，所以n1命題成立 設(shè)nk時，k個圓分平面為k2k2個部分，則nk1時，第k1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點分第k1個圓為2k段，每一段都將原來所在的平面一分為二，故增加了2k個平面塊，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2個部分 對nk1也成立 由可知，這n個圓分割平面為n2n2個部分,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧,自我感悟解題規(guī)律,學(xué)方法 提能力 啟智培優(yōu),審題視角 (1)將n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)利用分析法，結(jié)合x0，y0，xy1，利用基本不等式可證,規(guī)范答題 歸納、猜想、證明,答題模板 第一步：尋找特例a1，a2，a3等 第二步：猜想an的公式 第三步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an1的關(guān)系 第四步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an. 驗證遞推公式中的第一個自然數(shù)n2. 推證ak1的表達式為k1. 補驗n1，說明對于nN*成立 第五步：分析法證明,名師指導(dǎo),