萬 有 引 力 定 律 應(yīng) 用 一 、 萬 有 引 力 定 律 1.萬 有 引 力 定 律 的 內(nèi) 容 和 公 式 宇 宙 間 的 一 切 物 體 都 是 互 相 吸 引 的 .兩 個(gè) 物 體 間 的引 力 的 大 小 ， 跟 它 們 的 質(zhì) 量 的 乘 積 成 正 比 ， 跟 它 們 的距 離 的 平 方 成 反 比 . 公 式 ： F=Gm1m2/r2,其 中 G=6.67 10-11Nm /kg ， 叫 引 力 常 量 . 公 式 適 用 于 質(zhì) 點(diǎn) 間 的 相 互 作 用 .當(dāng) 兩 個(gè) 物 體 間 的距 離 遠(yuǎn) 遠(yuǎn) 大 于 物 體 本 身 的 大 小 時(shí) .物 體 可 視 為 質(zhì) 點(diǎn) .均勻 的 球 體 也 可 以 視 為 質(zhì) 點(diǎn) ， r是 兩 球 心 間 的 距 離 .2.適 用 條 件 ： 一 、 引 力 常 量 的 測(cè) 量 卡 文 迪 許 實(shí) 驗(yàn) 一 、 引 力 常 量 的 測(cè) 量 卡 文 迪 許 實(shí) 驗(yàn)1、 卡 文 迪 許 實(shí) 驗(yàn) 的 精 巧 之 處 ： 用 兩 個(gè) 字 概 括 就 是 “ 放 大 ” 。 采 用 兩 端 各 固 定 一 個(gè) 小 球 的 T形 架 ， 可 使 物 體 微 小 的 萬 有 引 力 產(chǎn) 生 較 大 的 力 矩 。 T形 架 用 石 英 絲 懸 掛 ， 較 小 的 力 矩 能 使 石 英 絲 產(chǎn) 生 較 大 的 扭 轉(zhuǎn) 角 。 在 T形 架 的 豎 直 桿 上 裝 一 個(gè) 小 平 面 鏡 ， 在 入 射 光 線 不 變 的 情 況 下 平 面 鏡 因 石 英 絲 扭 轉(zhuǎn) 而 偏 轉(zhuǎn) 角 ， 反 射 光 線 偏 轉(zhuǎn) 2角 ， 使 反 射 點(diǎn) 在 標(biāo) 尺 上有 較 大 的 移 動(dòng) 。 2、 卡 文 迪 許 實(shí) 驗(yàn) 的 意 義 ： 標(biāo) 志 著 力 學(xué) 實(shí) 驗(yàn) 精 密 程 度 的 提 高 ， 開 創(chuàng) 了 測(cè) 量 弱 力 的 新 時(shí) 代 。 通 過 改 變 質(zhì) 量 和 距 離 ， 證 實(shí) 了 萬 有 引 力 定 律 的 正 確 性 。 第 一 次 測(cè) 出 了 引 力 常 量 的 數(shù) 值 ， 為 萬 有 引 力 定 律 的 定 量 計(jì) 算 提 供 了 保 障 ， 使 萬 有 引 力 定 律 有 了 真 正 的 實(shí) 用 價(jià) 值 。 任 何 規(guī) 律 的 發(fā) 現(xiàn) ， 總 是 經(jīng) 過 理 論 上 和 實(shí) 驗(yàn) 上 的 大 量 工 作 和 多 次 反 復(fù) 才 能 完 成 的 。 例 1 對(duì) 于 質(zhì) 量 為 的 兩 個(gè) 物 體 間 的 萬 有 引 力 的 表 達(dá) 式 ，下 列 說 法 正 確 的 是 （ ）A、 公 式 中 的 G是 引 力 常 量 ， 它 是 由 實(shí) 驗(yàn) 得 出 的 ， 而 不 是 人 為 規(guī) 定 的B、 當(dāng) 兩 物 體 間 的 距 離 r趨 于 零 時(shí) ， 萬 有 引 力 趨 于 無 窮 大C、 所 受 引 力 大 小 總 是 相 等 的D、 兩 個(gè) 物 體 間 的 引 力 總 是 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 的 ， 是 一 對(duì) 平 衡 力 二 、 重 力 與 萬 有 引 力 的 關(guān) 系 可 見 ， 重 力只 是 物 體 所 受 萬有 引 力 的 一 個(gè) 分力 ， 只 是 由 于 另一 個(gè) 分 力 F向 特別 小 ， 所 以 一 般近 似 認(rèn) 為 地 球 表面 （ 附 近 ） 上 的物 體 ， 所 受 重 力等 于 萬 有 引 力 重 力 是 物 體 在 地 球 表 面 附 近 所 受 到 的地 球 對(duì) 它 的 萬 有 引 力 . 由 GmM地 /R地 2 =mg GM地 /R2 =g （ 稱 為 黃 金 代 換 ） 例 1： 如 果 到 某 一 天 ， 因 某 種 原 因 地 球 自 轉(zhuǎn) 加 快 ，則 地 球 上 物 體 重 量 將 發(fā) 生 怎 樣 的 變 化 ？當(dāng) 角 速 度 等 于 多 少 時(shí) ， 赤 道 上 的 物 體 重 量 為 零 ？思 考 :地 球 上 的 物 體 在 什 么 地 方 時(shí) ， 重 力 和 萬 有 引力 大 小 最 接 近 ？ 在 什 么 地 方 ， 重 力 和 萬 有 引 力 大小 相 差 最 多 ？ 例 2、 蕩 秋 千 是 大 家 喜 愛 的 一 項(xiàng) 體 育 活 動(dòng) 。 隨 著 科技 的 迅 速 發(fā) 展 ， 將 來 的 某 一 天 ， 同 學(xué) 們 也 許 會(huì)在 其 它 星 球 上 享 受 蕩 秋 千 的 樂 趣 。 假 設(shè) 你 當(dāng) 時(shí)所 在 星 球 的 質(zhì) 量 是 M、 半 徑 為 R,可 將 人 視 為 質(zhì) 點(diǎn) ，秋 千 質(zhì) 量 不 計(jì) 、 擺 長 L不 變 、 擺 角 小 于 90 ， 萬有 引 力 常 量 為 G。 那 么 ，（ 1） 該 星 球 表 面 附 近 的 重 力 加 速 度 g星 等 于 多少 ？（ 2） 若 經(jīng) 過 最 低 位 置 的 速 度 為 v0,秋 千 收 到 的 拉力 多 大 ？ 例 3 離 地 面 某 一 高 度 h處 的 重 力 加 速 度 是 地 球表 面 重 力 加 速 度 的 二 分 之 一 ， 則 高 度 h是 地 球 半徑 的 倍 。練 習(xí) .地 球 表 面 重 力 加 速 度 g0=9.8 m/s2， 忽 略 地 球自 轉(zhuǎn) 的 影 響 ， 在 距 離 地 面 高 度 h=1.0 103m的 空 中重 力 加 速 度 g與 g0的 差 值 多 大 ？取 地 球 半 徑 R=6.37 106 m. 例 4 物 體 在 一 行 星 表 面 自 由 落 下 ， 第 1s內(nèi) 下 落 了9.8m， 若 該 行 星 的 半 徑 為 地 球 半 徑 的 一 半 ， 那 么 它 的質(zhì) 量 是 地 球 的 倍 .1/2例 5 一 物 體 在 地 球 表 面 重 16N， 它 在 以 5m/s2的 加速 度 加 速 上 升 的 火 箭 中 的 視 重 為 9N， 則 此 火 箭 離 開地 球 表 面 的 距 離 是 地 球 半 徑 的 （ ） A 1倍 B 2倍 C 3倍 D 4倍 C 思 路 ： 只 能 應(yīng) 用 天 體 的 受 力 特 點(diǎn) 及 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 求 解 。問 題 的 提 出 ： 天 體 那 么 大 ， 怎 么 測(cè) 量 天 體 的 質(zhì) 量 ？ 一 .地 球 質(zhì) 量 的 “ 稱 量 ”馬 克 土 溫 的 感 動(dòng) ： 科 學(xué) 真 是 迷 人 ， 根 據(jù) 零 星 的事 實(shí) ， 增 加 一 點(diǎn) 猜 想 ， 竟 能 有 那 么 多 收 獲 ！ 卡 文 迪 許 名 言 ： 俺 的 實(shí) 驗(yàn) 室 能 稱 地 球 重 量地 球 質(zhì) 量 如 何 測(cè) 得 ?依 據(jù) 什 么 模 型 ?利 用 什 么 數(shù) 據(jù) ?大 家 一 起 解 決 這 個(gè) 問 題 . 設(shè) 地 面 附 近 的 重 力 加 速 度 g=9.8m/s2， 地 球 半 徑R =6.4 106m， 引 力 常 量 G=6.67 10-11 Nm2/kg2，試 估 算 地 球 的 質(zhì) 量 。 設(shè) 地 面 附 近 的 重 力 加 速 度 g=9.8m/s2， 地 球 半 徑R =6.4 106m， 引 力 常 量 G=6.67 10-11 Nm2/kg2，月 球 軌 道 半 徑 約 為 地 球 半 徑 60倍 ， 月 球 繞 地 球 周 期27.3天 。 試 估 算 地 球 的 質(zhì) 量 。還 有 其 他 方 法 ？ 能 否 利 用 月 球 來 計(jì) 算 ？ 二 、 天 體 質(zhì) 量 的 測(cè) 量 閱 讀 教 材 “ 天 體 質(zhì) 量 的 計(jì) 算 ” 部 分 的 內(nèi) 容 ， 同 時(shí)考 慮 下 列 問 題 ：1、 應(yīng) 用 萬 有 引 力 定 律 求 解 天 體 質(zhì) 量 的 基 本 思 路 是 什 么 ?2、 求 解 天 體 質(zhì) 量 的 方 程 依 據(jù) 是 什 么 ? 1、 應(yīng) 用 萬 有 引 力 定 律 求 解 天 體 質(zhì) 量 的 基 本 思 路 是 ： 根 據(jù) 環(huán) 繞 天 體 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況 ， 求 出 其 向 心 加 速 度 ，然 后 根 據(jù) 萬 有 引 力 充 當(dāng) 向 心 力 ， 進(jìn) 而 列 方 程 求 解 .2、 從 前 面 的 學(xué) 習(xí) 知 道 ， 天 體 之 間 存 在 著 相 互 作 用 的 萬 有 引 力 ， 而 行 星 （ 或 衛(wèi) 星 ） 都 在 繞 恒星 （ 或 行 星 ） 做 近 似 圓 周 的 運(yùn) 動(dòng) ， 而 物 體 做 圓周 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 合 力 充 當(dāng) 向 心 力 ， 故 對(duì) 于 天 體 所 做 的 圓周 運(yùn) 動(dòng) 的 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 只 能 是 萬 有 引 力 充 當(dāng) 向 心 力 ，這 也 是 求 解 中 心 天 體 質(zhì) 量 時(shí) 列 方 程 的 根 源 所 在 . 1.天 體 實(shí) 際 做 何 運(yùn) 動(dòng) ?而 我 們 通 常 可 認(rèn) 為 做 什 么 運(yùn) 動(dòng) ?2.描 述 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 物 理 量 有 哪 些 ?3.根 據(jù) 環(huán) 繞 天 體 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況 求 解 其 向 心 加 速 度 有 幾 種 求 法 ?4.應(yīng) 用 天 體 運(yùn) 動(dòng) 的 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 萬 有 引 力 充 當(dāng) 向 心 力求 出 的 天 體 質(zhì) 量 有 幾 種 表 達(dá) 式 ?各 是 什 么 ?各 有 什 么 特 點(diǎn) ?5.應(yīng) 用 此 方 法 能 否 求 出 環(huán) 繞 天 體 的 質(zhì) 量 ? 1.天 體 實(shí) 際 做 何 運(yùn) 動(dòng) ?而 我 們 通 常 可 認(rèn) 為 做 什 么 運(yùn) 動(dòng) ? 天 體 實(shí) 際 運(yùn) 動(dòng) 是 沿 橢 圓 軌 道 運(yùn) 動(dòng) 的 ， 而 我 們 通常 情 況 下 可 以 把 它 的 運(yùn) 動(dòng) 近 似 處 理 為 圓 形 軌 道 ，即 認(rèn) 為 天 體 在 做 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) .2.描 述 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 物 理 量 有 哪 些 ? 在 研 究 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 為 了 描 述 其 運(yùn) 動(dòng) 特 征 ，我 們 引 進(jìn) 了 線 速 度 v， 角 速 度 ， 周 期 T三 個(gè) 物 理 量 .3.根 據(jù) 環(huán) 繞 天 體 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況 求 解 其 向 心 加 速 度 有 幾種 求 法 ? 根 據(jù) 環(huán) 繞 天 體 的 運(yùn) 動(dòng) 狀 況 ， 求 解 向 心 加 速 度 有 三種 求 法 .即 ：rv2 1.天 體 實(shí) 際 做 何 運(yùn) 動(dòng) ?而 我 們 通 常 可 認(rèn) 為 做 什 么 運(yùn) 動(dòng) ?2.描 述 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 物 理 量 有 哪 些 ?3.根 據(jù) 環(huán) 繞 天 體 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況 求 解 其 向 心 加 速 度 有 幾 種 求 法 ?4.應(yīng) 用 天 體 運(yùn) 動(dòng) 的 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 萬 有 引 力 充 當(dāng) 向 心 力求 出 的 天 體 質(zhì) 量 有 幾 種 表 達(dá) 式 ?各 是 什 么 ?各 有 什 么 特 點(diǎn) ? 應(yīng) 用 天 體 運(yùn) 動(dòng) 的 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 萬 有 引 力 充 當(dāng)向 心 力 ， 結(jié) 合 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 向 心 加 速 度 的 三 種 表 述 方式 可 得 三 種 形 式 的 方 程 ， 即 從 上 述 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 的 三 種 表 述 中 ， 可 得 到 相 應(yīng) 的天 體 質(zhì) 量 的 三 種 表 達(dá) 形 式 ： M=v 2r/G M=2r3/G M=42r3/GT2. rnmrTmrvmrmrMmG 222222 )2(4 把 地 球 繞 太 陽 公 轉(zhuǎn) 看 做 是 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) ， 平 均半 徑 為 1.5 1011 m， 已 知 引 力 常 量 為 ：G=6.67 10-11 Nm2/kg2， 則 可 估 算 出 太 陽 的 質(zhì) 量大 約 是 多 少 千 克 ?（ 結(jié) 果 取 一 位 有 效 數(shù) 字 ） 測(cè) 出 某 行 星 的 公 轉(zhuǎn) 周 期 T、 軌 道 半 徑 r由 此 求 出 太 陽 的 質(zhì) 量 M條 件 ：1.將 行 星 的 運(yùn) 動(dòng) 看 成 是 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) .2.萬 有 引 力 提 供 向 心 力 F引 =Fn.rTmrMmG 22 2 只能求出中心天體的質(zhì)量！不能求出轉(zhuǎn)動(dòng)天體的質(zhì)量！M=2.0 1030kg思 考 ： 不 同 行 星 與 太 陽 的 距 離 r和 繞 太 陽 公 轉(zhuǎn) 的 周 期 T都 是 不 同 的 但 是 由 不 同 行 星 的 r、 T計(jì) 算 出 來 的 太 陽 質(zhì)量 必 須 是 一 樣 的 ！ 上 面 這 個(gè) 公 式 能 保 證 這 一 點(diǎn) 嗎 ？2 324 rM GT 2、 行 星 （ 或 衛(wèi) 星 ） 做 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 所 需 的 萬 有引 力 提 供 向 心 力計(jì) 算 天 體 質(zhì) 量 的 兩 條 基 本 思 路2 2 22 2( )Mm vG m a m m r m rr r T 向 3 2rM G 2 324 rM GT2v rM G只能求出中心天體的質(zhì)量！ 1、 物 體 在 天 體 表 面 時(shí) 受 到 的 重 力 等 于 萬 有 引 力 二 、 天 體 密 度 的 計(jì) 算 343v R 2gM GR 34 gRG MV 32 33G rRT 23GT 當(dāng) r R時(shí) 二 、 天 體 密 度 的 計(jì) 算 343v R 2 324 rM GT MV 計(jì) 算 某 天 體 質(zhì) 量 (或 估 算 其 密 度 ), 應(yīng) 該 將此 天 體 作 為 中 心 天 體 ,尋 找 其 某 一 環(huán) 繞 天 體 的環(huán) 繞 運(yùn) 動(dòng) 數(shù) 據(jù) (周 期 ,半 徑 ,線 速 度 ,角 速 度 等 )列 式 求 解 . 小 結(jié) : 例 ： 1789年 英 國 著 名 物 理 學(xué) 家 卡 文 迪 許 首 先 估 算 了地 球 的 平 均 密 度 ， 根 據(jù) 你 所 學(xué) 過 的 物 理 知 識(shí) ， 能否 知 道 地 球 密 度 的 大 小 ？例 2： 一 艘 宇 宙 飛 船 飛 近 某 一 個(gè) 不 知 名 的 行 星 ，并 進(jìn) 入 靠 近 該 行 星 表 面 的 圓 形 軌 道 ， 宇 航 員 進(jìn) 行預(yù) 定 的 考 察 工 作 。 宇 航 員 能 不 能 僅 用 一 只 表 通 過測(cè) 定 時(shí) 間 來 測(cè) 定 該 行 星 的 密 度 ？ 說 明 理 由 及 推 導(dǎo)過 程 。 四 .發(fā) 現(xiàn) 未 知 天 體萬 有 引 力 定 律 計(jì) 算 軌 道 以 上 兩 種 結(jié) 果 并 不 嚴(yán) 格 相 符 ,什 么 原 因 ? 思 考 : 還 有 第 10顆 ,第 11顆 行 星 嗎 ?用 同 樣 的 方 法 ,預(yù) 言 和 觀 測(cè) 到 冥 王 星 .由 亞 當(dāng) 斯 和 勒 維 耶 提 出 ,被 伽 勒 觀 測(cè) 到 : 海 王 星實(shí) 際 天 文 觀 測(cè) 軌 道 諾 貝 爾 獎(jiǎng) 得 主 ,物 理 學(xué) 家 馮 .勞 厄 :對(duì) 此 歷 史 事 件 的 高 度 評(píng) 價(jià) :物 理 學(xué) 法 則 的 普 適 性 和 簡 潔 性 深 深 地 打 動(dòng) 了 我 !李 政 道 :沒 有 任 何 東 西 像 牛 頓 引 力 理 論 對(duì) 行 星 軌道 的 計(jì) 算 那 樣 ,如 此 樹 立 起 人 們 對(duì) 年 輕 的物 理 學(xué) 的 尊 敬 .從 此 以 后 ,這 門 自 然 科 學(xué)成 了 巨 大 的 精 神 王 國 . 中 心 天 體 M轉(zhuǎn) 動(dòng) 天 體 m軌 道 半 經(jīng) r 天 體 半 經(jīng) R 練習(xí)：1.利 用 下 列 哪 組 數(shù) 據(jù) 可 以 計(jì) 算 出 地 球 的 質(zhì) 量 （ ）A. 地 球 半 徑 R和 地 球 表 面 的 重 力 加 速 度 gB. 衛(wèi) 星 繞 地 球 運(yùn) 動(dòng) 的 軌 道 半 徑 r和 周 期 TC. 衛(wèi) 星 繞 地 球 運(yùn) 動(dòng) 的 軌 道 半 徑 r和 角 速 度D. 衛(wèi) 星 繞 地 球 運(yùn) 動(dòng) 的 線 速 度 V和 周 期 TABCD