第3講導數及其應用專題二 函數與導數 欄目索引 高考真題體驗1 熱點分類突破2 高考押題精練3 高考真題體驗1.(2016四川改編)已知a為函數f(x)x312x的極小值點，則a_.2解析 f(x)x312x， f (x)3x212，令f (x)0，則x12，x22.當x (，2)，(2， )時，f (x)0，則f(x)單調遞增；當x (2,2)時，f (x)0是f(x)為增函數的充分不必要條件，如函數f(x)x3在(， )上單調遞增，但f (x) 0.2.f (x) 0是f(x)為增函數的必要不充分條件，當函數在某個區(qū)間內恒有f (x)0時，則f(x)為常函數，函數不具有單調性. 解析答案 例2已知函數f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；解f (x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4， yf(x)在(0，f(0)處的切線方程為y4x4， f (0)ab44，f(0)b4， a4，b4. 思維升華 (2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值.解 由(1)知f (x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)x (，2)2 (ln ， )f (x)00f(x) 極大值極小值1( 2,ln )2 1ln 2f(x) 極大值f(2)44e2.解析答案 利用導數研究函數單調性的一般步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導函數f (x)；(3)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只要在函數定義域內解(或證明)不等式f (x)0或f (x)0，右側f (x)0，則f(x0)為函數f(x)的極大值；若在x0附近左側f (x)0，則f(x0)為函數f(x)的極小值.2.設函數yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內可導，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得. 解析答案 根據題意由f (x)0，得x2.于是可得下表：x 2 (2,3) 3f (x) 0 f(x) 13ln 2 2 23 ， f(x)minf(2)13ln 2. 思維升華 (2)若函數f(x)在區(qū)間(0， )上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.由題意可得方程ax23x20有兩個不等的正實根，不妨設這兩個根為x1，x2，并令h(x)ax23x2， 解析答案 (1)求函數f(x)的極值，則先求方程f (x)0的根，再檢查f (x)在方程根的左右函數值的符號.(2)若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f (x)0根的大小或存在情況來求解.(3)求函數f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值.思維升華 解析答案 跟蹤演練3已知函數f(x)ln xaxa2x2(a 0).(1)若x1是函數yf(x)的極值點，求a的值；因為x1是函數yf(x)的極值點，所以f (1)1a2a20，經檢驗，當a1時，x1是函數yf(x)的極值點，所以a1. 解析答案返回 解當a0時，f(x)ln x，顯然在定義域內不滿足f(x)0恒成立；所以x，f (x)，f(x)的變化情況如下表：(2)若f(x)0在定義域內恒成立，求實數a的取值范圍.x ( ， )f (x)0f(x)極大值1(0 )2， 1a 1a綜上可得，a的取值范圍是(1， ). 押題依據曲線的切線問題是導數幾何意義的應用，是高考考查的熱點，對于“過某一點的切線”問題，也是易錯易混點. 押題依據 高考押題精練 解析答案 1.設函數yf(x)的導函數為f (x)，若yf(x)的圖象在點P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f (1)_.4解析依題意有f (1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f (1)4. 押題依據函數的極值是單調性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學好導數的關鍵.極值點、極值的求法是高考的熱點. 押題依據答案解析 押題依據函數單調性問題是導數最重要的應用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數”與“函數的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別. 押題依據解析答案 3.已知函數f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數，函數g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數，則a的值等于_.2解析函數f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數， 解析押題依據返回答案 押題依據不等式恒成立或有解問題可以轉化為函數的值域解決.考查了轉化與化歸思想，是高考的一個熱點. 所以x 0,1時，f(x)minf(0)1.根據題意可知存在x 1,2，使得g(x)x22ax41， 返回