多邊形與平行四邊形 第五章 圖形的性質 (一 ) 1 多邊形和正多邊形的概念及性質 概念 在平面內，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做 多邊形 內角和 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 外角和 360 多邊形 (n3 ) 對角線 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 條 概念 各條邊都相等，且各內角都相等的多邊形叫正多邊形 . 正 多 邊 形 (n 3) 性質 (1) 正多邊形的各邊相等，各角相等； (2) 正 n 邊形的每一內角為 （ n 2 ） 1 8 0 n (3) 正 n 邊形有 n 條對稱軸； (4) 正 n 邊形有一個外接圓和一個內切圓，它們是同心圓； (5) 對于正 n 邊形，當 n 為奇數(shù)時，是軸對稱圖形，不是中 心對稱圖形；當 n 為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心 對稱圖形 (n 2)180 n（ n 3）2 2.平行四邊形的性質以及判定 (1)性質： 平行四邊形兩組對邊分別 _； 平行四邊形對角 _， 鄰角 _； 平行四邊形對角線 _； 平行四邊形是 _對稱圖形 (2)判定方法： 定義： _的四邊形是平行四邊形； _的四邊形是平行四邊形； _的四邊形是平行四邊形； _的四邊形是平行四邊形； _的四邊形是平行四邊形 3 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊 ， 且等于第三邊的一半 平行且相等 相等 互補 互相平分 中心 兩組對邊分別平行 一組對邊平行且相等 兩組對邊分別相等 兩組對角分別相等 對角線互相平分 1利用平行四 邊 形性 質進 行有關 計 算的一般思路 為 ： (1)運用平行四 邊 形的性 質轉 化角度或 線 段之 間 的等量關系： 對邊 平行 可得相等的角 ， 進 而可得相似三角形； 對邊 相等、 對 角 線 互相平分可 得相等的 線 段； 當有角平分 線 的條件 時 ， 可利用“平行角平分 線可 得等腰三角形”的結論得到等角、等邊 (2)找到所求線段或角所在的三角形，若三角形為特殊三角形，則注意運 用特殊三角形的性質求解；若三角形為任意三角形，可以利用某兩個三 角形全等或相似的性質進行求解，有時還可利用三角形的中位線等知識 求解 2 在判定四 邊 形 為 平行四 邊 形 時 ， 關 鍵 是 選擇 判定的方法 可以從 邊 、 角、 對 角 線 三個方面加以分析： (1)若已知一 組對邊 相等 ， 則 需證這組對邊 平行或者另外一 組對邊 相等； 若已知一 組對邊 平行 ， 則 需 證 明這組對邊 相等或者另外一 組對邊 平行； (2)若已知一組對角相等，則需證另一組對角相等； (3)若已知一條對角線平分另一條對角線，則需證對角線互相平分 3四種常用的輔助線 (1)常用連對角線的方法把四邊形問題轉化為三角形的問題； (2)有平行線時，常作平行線構造平行四邊形； (3)有中線時，常作加倍中線構造平行四邊形； (4)圖形具有等鄰邊特征時 (如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形 等 )，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點旋轉到另 一位置 1 (2015葫蘆島 )如圖 ， 在五邊形 ABCDE中 ， A B E 300 ， DP， CP分別平分 EDC， BCD， 則 P的度數(shù)是 ( ) A 60 B 65 C 55 D 50 A 2 (2015營口 )如圖 ， 在 ABCD中 ， 對角線 AC與 BD交于點 O， DAC 42 ， CBD 23 ， 則 COD是 ( ) A 61 B 63 C 65 D 67 C 3 (2014本溪 )如圖 ， 在 ABCD中 ， AB 4， BC 6， B 30 ， 則 此平行四邊形的面積是 ( ) A 6 B 12 C 18 D 24 B 4 (2015本溪 )如圖 ， ABCD的周長為 20 cm， AE平分 BAD， 若 CE 2 cm， 則 AB的長度是 ( ) A 10 cm B 8 cm C 6 cm D 4 cm D 5 ( 2 014 鐵嶺 ) 如圖 ， A B C D 中 ， A B C 和 BCD 的平分線交于 AD 邊上一點 E ， 且 BE 4 ， CE 3 ， 則 AB 的長是 ( ) A . 5 2 B 3 C 4 D 5 A 解析： 四邊形 ABC D 是平行四邊形 ， ABC ， B C D 的角平分線 的交點 E 落在 AD 邊上 ， B EC 180 1 2 180 90 ， BE 4 ， CE 3 ， BC 3 2 4 2 5 ， ABE EB C ， AEB EB C ， DCE E C B ， DEC EC B ， ABE A EB ， DEC DCE ， AB AE ， DE DC ， 即 AE ED 1 2 AD 1 2 BC 5 2 ， AB AE 5 2 6 ( 2 015 遼陽 ) 一個多 邊形的內角和是外角和的 2 倍 ， 則這個多邊形的 邊數(shù)為 _ _ 7 ( 2 015 大連 ) 如圖 ， 在 AB C D 中 ， AC ， BD 相交于點 O ， AB 1 0 cm ， AD 8 cm ， AC BC ， 則 OB _ _ _ cm . 6 73 解析： 四邊形 ABC D 是平行四邊形 ， BC AD 8 cm ， OA OC 1 2 AC ， AC BC ， AC B 90 ， AC AB 2 BC 2 10 2 8 2 6 ， OC 3 ， OB BC 2 OC 2 8 2 3 2 73 8 (2013鞍山 )如圖 ， D是 ABC內一點 ， BD CD， AD 6， BD 4 ， CD 3， E， F， G， H分別是 AB， AC， CD， BD的中點 ， 則四邊形 EFGH的周長是 _ 解析： BD CD ， BD 4 ， CD 3 ， BC BD 2 CD 2 4 2 3 2 5 ， E ， F ， G ， H 分別是 AB ， AC ， CD ， BD 的中點 ， EH FG 1 2 AD ， EF GH 1 2 BC ， 四邊形 EF G H 的周長 EH GH FG EF AD BC ， 又 AD 6 ， 四邊形 E FG H 的周長 6 5 11 11 9 (2013阜新 )如圖 ， 已知 ABC的三個頂點的坐標分別為 A( 2， 0) ， B( 1， 2)， C(2， 0)， 請直接寫以 A， B， C為頂點的平行四邊形的第 四個頂點 D的坐標 _ (3， 2)( 5， 2)(1， 2) 10 (2014撫順 )將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置 擺放如果 3 32 ， 那么 1 2 _度 70 11 ( 201 5 錦州 ) 如圖 ， A B C 中 ， 點 D ， E 分別是邊 BC ， AC 的中點 ， 連接 DE ， AD ， 點 F 在 BA 的延長線上 ， 且 AF 1 2 AB ， 連接 EF ， 判斷 四邊形 A DEF 的形狀 ， 并加以證明 解：四邊形 A DEF 是平行四邊形 證明： 點 D ， E 分別是邊 BC ， AC 的中點 ， DE BF ， DE 1 2 AB ， AF 1 2 AB ， DE AF ， 四 邊形 AD E F 是平行四邊形 12 (2015鞍山 )如圖 ， ABCD的對角線相交于點 O， 點 E， F， P分別 是 OB， OC， AD的中點 ， 分別連接 EP， EF， PF， EP與 AC相交于點 G， 且 AC 2AB. 求證： (1) APG FEG； (2) PEF為等腰三角形 證明： ( 1) 點 E ， F 分別為 OB ， OC 的中點 ， EF 是 OBC 的中位線 ， EF BC ， EF 1 2 BC ， 又 四邊形 ABC D 為平行四邊形 ， AD BC ， AD BC ， AD EF ， AP E FE P ， P AF EF A ， 又 點 P 為 AD 的中點 ， AP 1 2 AD ， AP EF ， APG FEG ( A SA ) (2) 連接 AE ， AC 2AB ， AC 2AO ， AB AO ， 又 BE OE ， AE BO ， 在 Rt AE D 中 ， EP 是斜邊上的中線 ， EP 1 2 AD ， EP EF ， PE F 為等腰三角形 多邊形及其性質 【例 1 】 ( 1) ( 2015 萊蕪 ) 一個多邊形除一個內角外其余內角的和為 1510 ， 則這個多邊形對角線的條數(shù)是 ( ) A 27 B 35 C 44 D 54 (2) ( 阜新模擬 ) 在四邊形 AB CD 中 ， A B C ， 點 E 在邊 AB 上 ， AE D 60 ， 則一定有 ( ) A A DE 20 B ADE 30 C A DE 1 2 A DC D A DE 1 3 A DC C D 解析： 如圖 ， 在 A ED 中 ， AE D 60 ， A 180 AE D ADE 120 ADE ， 在四邊形 DEBC 中 ， DEB 180 AE D 180 60 120 ， B C ( 360 DEB E DC ) 2 120 1 2 EDC ， A B C ， 120 ADE 120 1 2 E DC ， ADE 1 2 ED C ， ADC A DE E DC 1 2 EDC E DC 3 2 EDC ， ADE 1 3 ADC ， 故選： D 【點評】 ( 1) 設出題中所求的兩個未知數(shù)，利用內角和公式列出相應等 式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解，再進一步代入多邊形的對角線計算公 式 n （ n 3 ） 2 ，即可解答 (2) 利用三角形的內角和為 18 0 ，四邊形的內角 和為 36 0 ，分別表示出 A ， B ， C. 1 (1)(2015麗水 )一個多邊形的每個內角均為 120， 則這個多邊形是 ( ) A 四邊形 B五邊形 C 六邊形 D七邊形 (2)(遼陽模擬 )如圖 ， 小明從 A點出發(fā) ， 沿直線前 進 12米后向左轉 36 ， 再沿直線前進 12米 ， 又 向左轉 36 照這樣走下去 ， 他第一次回到出 發(fā)地 A點時 ， 一共走了 _米 C 120 平行四邊形的性質 【 例 2】 (遼陽模擬 )如圖 ， 在平行四邊形 ABCD中 ， B AFE ， EA是 BEF的角平分線求證： (1) ABE AFE； (2) FAD CDE. 證明： ( 1 ) EA 是 BEF 的角平分線 ， 1 2 ， 在 AB E 和 AF E 中 ， B A FE ， 1 2 ， AE AE ， ABE A FE ( A AS ) ( 2 ) AB E A FE ， AB AF ， 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB CD ， AD CB ， AB CD ， AF CD ， A DF DEC ， B C 180 ， B AF E ， AF E A FD 180 ， AF D C ， 在 AFD 和 DCE 中 ， A DF F EC ， AFD C ， AF DC ， A FD DCE ( A AS ) ， F A D CDE 【 點評 】 平行四邊形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補 ，對角線互相平分，利用這些性質可以解決與平行四邊形相關的問 題，也可將四邊形的問題轉化為三角形的問題 對應訓練 2 ( 2015 綏化 ) 如圖 ， A BC D 的對角線 AC ， BD 交于點 O ， AE 平分 BA D 交 BC 于點 E ， 且 A DC 60 ， AB 1 2 BC ， 連接 OE. 下列結 論： C AD 30 ； S ABCD AB AC ； OB AB ； OE 1 4 BC ， 成立的個數(shù)有 ( ) A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 C 平行四邊形的判定 【 例 3】 (盤錦模擬 )嘉淇同學要證明命題 “ 兩組對邊分別相等的四邊 形是平行四邊形 ” 是正確的 ， 她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形 ABCD， 并寫出了如下不完整的已知和求證 已知：如圖 ， 在四邊形 ABCD中 ， BC AD， AB _； 求證：四邊形 ABCD是 _四邊形 (1)補全已知和求證； (2)按嘉淇的想法寫出證明； (3)用文字敘述所證命題的逆命題為 _ CD 平行 平行四邊形的兩組對邊分別相等 解： (2) 證明：連接 BD ， 在 AB D 和 C DB 中 ， AB CD ， AD BC ， BD DB ， AB D C DB ( S SS ) ， ADB DBC ， ABD C D B ， AB CD ， AD CB ， 四邊形 ABC D 是平行四邊形 【 點評 】 探索平行四 邊 形成立的條件 ， 有多種方法判定平行四 邊 形： 若條件中涉及角 ， 考 慮 用 “ 兩 組對 角分 別 相等 ” 或“兩 組對邊 分 別 平 行 ” 來 證 明； 若條件中涉及 對 角 線 ， 考 慮 用 “ 對 角 線 互相平分 ” 來 說 明； 若條件中涉及 邊 ， 考 慮 用 “ 兩 組對邊 分 別 平行 ” 或“一 組對邊 平 行且相等 ” 來 證 明 ， 也可以巧添 輔 助 線 ， 構建平行四 邊 形 對應訓練 3 (2015桂林 )如圖 ， 在 ABCD中 ， 點 E， F分別是 AB， CD的中點 (1)求證：四邊形 EBFD為平行四邊形； (2)對角線 AC分別與 DE， BF交于點 M， N， 求證： ABN CDM. 解： (1) 證明： 四邊形 AB CD 是平行四邊形 ， AB CD ， AB CD. E ， F 分別是 AB ， CD 的中點 ， BE DF ， BE DF ， 四邊形 E BFD 為平 行四邊形 ( 2) 證明： 四邊形 EBF D 為平行四邊形 ， DE BF ， CDM CFN . 四 邊形 ABC D 是平行四邊形 ， AB CD ， AB CD . BAC DCA ， ABN CFN ， AB N CDM ， 在 AB N 與 CDM 中 ， BAN D CM ， AB CD ， ABN C DM ， ABN CDM ( ASA ) 三角形中位線定理 【 例 4】 (2014宿遷 )如圖 ， 在 ABC中 ， 點 D， E， F分別是 AB， BC， CA的中點 ， AH是邊 BC上的高 (1)求證：四邊形 ADEF是平行四邊形； (2)求證： DHF DEF. 解： (1) 點 D， E， F分別是 AB， BC， CA的中點 ， DE， EF都是 ABC的中位線 ， EF AB， DE AC， 四邊形 ADEF是平行四邊形 (2) 四邊形 ADEF是平行四邊形 ， DEF BAC， D， F分別是 AB， CA的中點 ， AH是邊 BC上的高 ， DH AD， FH AF， DAH DHA， FAH FHA， DAH FAH BAC， DHA FHA DHF， DHF BAC， DHF DEF 【 點評 】 當已知三角形一 邊 中點 時 ， 可以 設 法找出另一 邊 的中點 ， 構造三角形中位 線 ， 進 一步利用三角形的中位 線 定理 ， 證 明 線 段 平行或倍分 問題 對應訓練 4 (1) ( 葫蘆島模擬 ) 如圖 ， 四邊形 ABC D 中 ， A 90 ， AB 3 3 ， AD 3 ， 點 M ， N 分別為線段 BC ， AB 上的動點 ( 含端點 ， 但點 M 不與點 B 重合 ) ， 點 E ， F 分別為 DM ， MN 的中點 ， 則 EF 長度的最 大值為 _ _ 3 (2)(2015河北 )平面上 ， 將邊長相等的正三角形、正方形、正五邊形、正 六邊形的一邊重合并疊在一起 ， 如圖 ， 則 3 1 2 _ 24 21.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據(jù) 試題 如圖 ， 已知六邊形 ABCDEF的六個內角均為 120 ， CD 10 cm， BC 8 cm， AB 8 cm， AF 5 cm， 求此六邊形的周長 錯解 解：如圖 ， 連接 EB， DA， FC， 分別交于點 M， N， P. FED EDC 120 ， DEM EDM 60 ， DEM是等邊三角形同理 ， MAB， NFA也是等邊三角形 ， FN AF 5， MA AB 8. EFA 120 ， EFC 60 ， ED FC， 同理 ， EF DN， 四邊形 EDNF是平行四邊形同理 ， 四邊形 EMAF也是平行四邊形 ， ED FN 5， EF MA 8. 六邊形 ABCDEF的周長 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 5 8 5 44(cm) 剖析 上述解法最根本的 錯誤 在于多 邊 形的 對 角 線 不是角平分 線 ， 從 證 明的一開始 ， 由 FED EDC 120 得到 DEM EDM 60 的 這 個 結論 就是 錯誤 的 ， 所以后面的推理就沒有依據(jù)了 ， 請 注意 對 角 線 與 角平分 線 的區(qū) 別 ， 只有菱形和正方形的 對 角 線 才有平分一 組對 角的特性 ， 其他的不具有 這 一性 質 不可憑直 觀 感 覺 就以 為對 角 線 AD， BE平分 CDE， DEF.切 記 ： 視覺 不可代替 論證 ， 直 觀 判斷不能代替 邏輯 推 理 正解 如圖 ， 分別延長 ED， BC交于點 M， 延長 EF， BA交于點 N. EDC DCB 120 ， MDC MCD 60 ， M 60 ， MDC是等邊三角形 CD 10， MC DM 10.同理 ， ANF 也是等邊三角形 ， AF AN NF 5. AB BC 8， NB 8 5 13 ， BM 8 10 18. E 120 ， E M 180 ， EN MB.同 理 ， EM NB， 四邊形 EMBN是平行四邊形 ， EN BM 18， EM NB 13， EF EN NF 18 5 13， ED EM DM 13 10 3 ， 六邊形 ABCDEF的周長 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 3 13 5 47(cm)