第5講導(dǎo)數(shù)與不等式的證明、恒成立及能 成立問題高 考 定 位 在高考壓軸題中，函數(shù)與不等式的交匯是考查熱點(diǎn)，常以含指數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查不等式的證明、比較大小、范圍等問題，以及不等式的恒成立與能成立問題. 真 題 感 悟 考 點(diǎn) 整 合1.利 用 導(dǎo) 數(shù) 解 決 不 等 式 恒 成 立 問 題 的 “ 兩 種 ” 常 用 方 法(1)分 離 參 數(shù) 后 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 最 值 問 題 ： 將 原 不 等 式 分 離 參 數(shù) ，轉(zhuǎn) 化 為 不 含 參 數(shù) 的 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ， 利 用 導(dǎo) 數(shù) 求 該 函 數(shù) 的最 值 ， 根 據(jù) 要 求 得 所 求 范 圍 .一 般 地 ， f(x) a恒 成 立 ， 只 需f(x)min a即 可 ； f(x) a恒 成 立 ， 只 需 f(x)max a即 可 .(2)轉(zhuǎn) 化 為 含 參 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ： 將 不 等 式 轉(zhuǎn) 化 為 某 含 待 求參 數(shù) 的 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ， 利 用 導(dǎo) 數(shù) 求 該 函 數(shù) 的 極 值 (最 值 )，伴 有 對 參 數(shù) 的 分 類 討 論 ， 然 后 構(gòu) 建 不 等 式 求 解 . 2.常 見 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) 的 四 種 方 法(1)直 接 構(gòu) 造 法 ： 證 明 不 等 式 f(x) g(x)(f(x) g(x)的 問 題 轉(zhuǎn) 化為 證 明 f(x) g(x) 0(f(x) g(x) 0)， 進(jìn) 而 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) h(x) f(x) g(x).(2)構(gòu) 造 “ 形 似 ” 函 數(shù) ： 稍 作 變 形 后 構(gòu) 造 .對 原 不 等 式 同 解 變形 ， 如 移 項(xiàng) 、 通 分 、 取 對 數(shù) ， 把 不 等 式 轉(zhuǎn) 化 為 左 右 兩 邊 是 相同 結(jié) 構(gòu) 的 式 子 的 結(jié) 構(gòu) ， 根 據(jù) “ 相 同 結(jié) 構(gòu) ” 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù) .(3)適 當(dāng) 放 縮 后 再 構(gòu) 造 ： 若 所 構(gòu) 造 函 數(shù) 最 值 不 易 求 解 ， 可 將所 證 明 不 等 式 進(jìn) 行 放 縮 ， 再 重 新 構(gòu) 造 函 數(shù) .(4)構(gòu) 造 雙 函 數(shù) ： 若 直 接 構(gòu) 造 函 數(shù) 求 導(dǎo) ， 難 以 判 斷 符 號 ， 導(dǎo)數(shù) 的 零 點(diǎn) 也 不 易 求 得 ， 因 此 單 調(diào) 性 和 極 值 點(diǎn) 都 不 易 獲 得 ， 從 而 構(gòu) 造 f(x)和 g(x)， 利 用 其 最 值 求 解 . 3.不 等 式 的 恒 成 立 與 能 成 立 問 題(1)f(x) g(x)對 一 切 x a， b恒 成 立 a， b是 f(x) g(x)的 解集 的 子 集 f(x) g(x)min 0(x a， b).(2)f(x) g(x)對 x a， b能 成 立 a， b與 f(x) g(x)的 解 集 的交 集 不 是 空 集 f(x) g(x)max 0(x a， b).(3)對 x1， x2 a， b使 得 f(x1) g(x2)f(x)max g(x)min.(4)對 x 1 a， b， x2 a， b使 得 f(x1) g(x2)f(x)min g(x)min. 熱點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與不等式微 題 型 1 利 用 導(dǎo) 數(shù) 證 明 不 等 式 微 題 型 2 不 等 式 恒 成 立 求 參 數(shù) 范 圍 問 題【例12】 (1)已 知 函 數(shù) f(x) ax 1 ln x， a R. 探究提高 (1)利用最值法解決恒成立問題的基本思路是：先找到準(zhǔn)確范圍，再說明“此范圍之外”不適合題意(著眼于“恒”字，尋找反例即可).(2)對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù).但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法. 【訓(xùn)練1】 (2016武漢模擬)設(shè) 函 數(shù) f(x) 1 x2 ln(x 1). 熱點(diǎn)二不等式恒成立與能成立問題微 題 型 1 恒 成 立 問 題【例21】 (2016四川卷)設(shè) 函 數(shù) f(x) ax2 a ln x， 其 中 a R. 探究提高 (1)恒成立問題一般與不等式有關(guān)，解決此類問題需要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，從而說明函數(shù)值恒大于或恒小于某一確定的值.(2)在求參數(shù)范圍時(shí)首先要考慮參數(shù)能否分離出來. 微 題 型 2 能 成 立 問 題(1)當(dāng) x 1， e時(shí) ， 求 f(x)的 最 小 值 ；(2)當(dāng) a 1時(shí) ， 若 存 在 x1 e， e2， 使 得 對 任 意 的 x2 2， 0，f(x1) g(x2)恒 成 立 ， 求 a的 取 值 范 圍 . 探究提高存在性問題和恒成立問題的區(qū)別與聯(lián)系存在性問題和恒成立問題容易混淆，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系：若g(x) m恒成立，則g(x)max m；若g(x) m恒成立，則g(x)min m；若g(x) m有解，則g(x)min m；若g(x) m有解，則g(x)max m. 【訓(xùn)練2】 已 知 函 數(shù) f(x) ax xln x的 圖 象 在 點(diǎn) x e(e為 自 然 對數(shù) 的 底 數(shù) )處 的 切 線 斜 率 為 3.解(1)因 為 f(x) ax xln x，所 以 f(x) a ln x 1.因 為 函 數(shù) f(x) ax xln x的 圖 象 在 點(diǎn) x e處 的 切 線 斜 率 為 3，所 以 f(e) 3，即 a ln e 1 3， 所 以 a 1. 1.不 等 式 恒 成 立 、 能 成 立 問 題 常 用 解 法 有 ：(1)分 離 參 數(shù) 后 轉(zhuǎn) 化 為 最 值 ， 不 等 式 恒 成 立 問 題 在 變 量 與 參數(shù) 易 于 分 離 的 情 況 下 ， 采 用 分 離 參 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 的 最 值 問題 ， 形 如 a f(x)max或 a f(x)min.(2)直 接 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ， 在 參 數(shù) 難 于 分 離 的 情 況 下 ，直 接 轉(zhuǎn) 化 為 含 參 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ， 伴 有 對 參 數(shù) 的 分 類 討 論 .(3)數(shù) 形 結(jié) 合 . 2.利 用 導(dǎo) 數(shù) 證 明 不 等 式 的 基 本 步 驟(1)作 差 或 變 形 .(2)構(gòu) 造 新 的 函 數(shù) h(x).(3)利 用 導(dǎo) 數(shù) 研 究 h(x)的 單 調(diào) 性 或 最 值 .(4)根 據(jù) 單 調(diào) 性 及 最 值 ， 得 到 所 證 不 等 式 .3.導(dǎo) 數(shù) 在 綜 合 應(yīng) 用 中 轉(zhuǎn) 化 與 化 歸 思 想 的 常 見 類 型(1)把 不 等 式 恒 成 立 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 求 函 數(shù) 的 最 值 問 題 ；(2)把 證 明 不 等 式 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 問 題 ；(3)把 方 程 解 的 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 函 數(shù) 的 零 點(diǎn) 問 題 .