第3節(jié) 一元二次不等式及其解法,.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型 .通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系 .會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖,整合·主干知識(shí),1一元二次不等式及標(biāo)準(zhǔn)形式 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，ax2bxc0，其中a0.,2一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解過(guò)程用程序框圖表示為,3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：,x|xx1，,x|xx1,x|x1_xx2,或xx2,(xa)(xb)0,解析：原不等式化為(x1)(x2)0，解得2x1，故原不等式的解集為(2,1) 答案：C,答案：C 提示：一元二次不等式區(qū)間的端點(diǎn)值為對(duì)應(yīng)方程的根,答案：A,解析：由x2x120得(x3)(x4)0， x4或x3. 答案：(，43，),5已知不等式x22xk210對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi),提示：取值范圍，定義域、值域解集應(yīng)用集合或區(qū)間表示,聚集·熱點(diǎn)題型,思路點(diǎn)撥 (1)將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解(2)對(duì)參數(shù)a與0,1的關(guān)系分類討論求解,一元二次不等式的解法,名師講壇 (1)分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,(2)在解含參數(shù)的不等式時(shí)，應(yīng)注意分類討論，其分類標(biāo)準(zhǔn)一般有三種：按二次項(xiàng)系數(shù)分為a0和a0(有時(shí)需分a0與a0，0，0時(shí)，按兩根的大小進(jìn)行分類,變式訓(xùn)練 1(1)不等式ax2bxc0的解集為x|20的解集為_(kāi) 解析：令f(x)ax2bxc，則f(x)ax2bxc，結(jié)合圖象，可得ax2bxc0的解集為x|3x2 答案：x|3x2,(2)解關(guān)于x的不等式ax222xax (aR),典例賞析2 (1)若不等式mx22x10恒成立，則m的取值范圍是_ (2)若關(guān)于x的不等式ax2x2a0的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 思路點(diǎn)撥 (1)首先對(duì)不等式中二次項(xiàng)系數(shù)m討論確定不等式類型然后求解；(2)題中條件等價(jià)于“關(guān)于x的不等式ax2x2a0恒成立”,與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題,名師講壇 (1)解決恒成立問(wèn)題一定要分清哪個(gè)為變量哪個(gè)為參數(shù)一般地，知道范圍的為變量，所求量為參數(shù),變式訓(xùn)練 2(1)若關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ (2)若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_,解析：(1)由題意知a24a0， 解得4a0， 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為4a0. (2)由題意知關(guān)于x的一元二次方程x2axa30有解， 因此有(a)24(3a)a24a120， 所以a6或a2. 因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a6或a2. 答案：(1)(4,0) (2)(，62，),典例賞析3 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x (0x1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)(出廠價(jià)投入成本)×年銷售量,元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用,(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式； (2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 思路點(diǎn)撥 (1)依據(jù)“年利潤(rùn)(出廠價(jià)投入成本)×年銷售量”寫出；(2)年利潤(rùn)有所增加，即y(1210)×10 0000，解此不等式即可得x的范圍,名師講壇 不等式應(yīng)用題常以函數(shù)、數(shù)列為背景出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問(wèn)題，在解題中主要涉及到不等式的解法等問(wèn)題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵,變式訓(xùn)練 3某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn),(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%20a(萬(wàn)元) 依題意得a(1002x)(10x)20a×83.2%， 化簡(jiǎn)得x240x840， 解得42x2. 又0x10， 0x2.,備課札記 _,提升·學(xué)科素養(yǎng),(理)數(shù)形結(jié)合思想在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用,(注：對(duì)應(yīng)文數(shù)熱點(diǎn)突破之三十),若x0時(shí)，均有(a1)x1(x2ax1)0，則a_. 審題視角 當(dāng)a1時(shí)，(a1)x10恒成立，而當(dāng)a1時(shí)，f(x)(a1)x1與g(x)x2ax1均過(guò)點(diǎn)(0，1)，故可用數(shù)形結(jié)合思想解題,解析 (1)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x0， 恒有(a1)x10， 恒有x2ax10，(*) 由于二次函數(shù)yx2ax1的圖象開(kāi)口向上， (*)式不恒成立， 即a1時(shí)，原不等式不會(huì)恒成立,方法點(diǎn)睛 (1)對(duì)于常規(guī)方法不易解決的不等式問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法解決； (2)解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：找到參數(shù)a分類討論的標(biāo)準(zhǔn)；將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象間的關(guān)系問(wèn)題，借助函數(shù)圖象特征，找到兩函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系,(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷高考)若存在正數(shù)x使2x(xa)1成立，則a的取值范圍是( ) A(，) B(2，) C(0，) D(1，),答案：D,1一個(gè)技巧 若一元二次不等式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，化為ax2bxc0(或0)(其中a0)的形式，其對(duì)應(yīng)的方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，(x1x2)(此時(shí)b24ac0)，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集,2兩點(diǎn)提醒 (1)解含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不易因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏； (2)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式,