4.2 一般二次曲線的化簡與分類（Simplification and classification of general quadratic curves） 在中學平面解析幾何中,曾經(jīng)學習了橢圓(圓)、雙曲線和拋物線等圓錐曲線及其標準方程,它們都是二次曲線。本章討論更一般的二次曲線。 在平面直角坐標系下,關(guān)于x和y的二元二次方程所表示的曲線，稱為一般二次曲線（a 11，a12和a22不全為零）。 4.2.1 一些常用記號（Notations）為了以后討論問題和書寫的方便,引進下面的一些記號： 根據(jù)這些記號的含義,可驗證下面的恒等式成立：F(x,y)= xF1(x,y) + yF2(x,y) + F3(x,y)稱F (x,y) 的系數(shù)所組成的矩陣為二次曲線(4.2-1)的系數(shù)矩陣,或稱F (x,y) 的矩陣 再引入幾個記號： 332313 232212 131211 aaa aaa aaaA 例1 試求二次曲線 的系數(shù)矩陣A,F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1.解 由以上記號知, 011261286 2 yxyxy 4.2.2 直角坐標變換下，二次曲線方程的系數(shù)變換規(guī)律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates） 為了選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q來化簡二次曲線的方程，需要了解在坐標變換下方程的系數(shù)是怎樣變化的。 由上節(jié)討論，知道一般的坐標變換可以分解為移軸和轉(zhuǎn)軸兩部分。因此，將分別考察移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對方程系數(shù)的影響。 1) 平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律將平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲線方程，化簡整理，設(shè)曲線方程變?yōu)镕(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0比較方程系數(shù)，得平移變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律： (1) 二次項系數(shù)不變； (2) 一次項系數(shù)變?yōu)镕1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常數(shù)項變?yōu)镕(x 0,y0). 若取新坐標原點O (x0,y0)滿足方程v則在新坐標系下,方程中將無一次項,曲線對稱于原點,點(x0,y0)就是曲線的對稱中心。如果對稱中心是唯一的,稱為曲線的中心。此時方程稱為中心方程。v注：當I20時,上一方程組就有唯一解,這時曲線稱為中心型二次曲線；當I 2=0時,方程組就沒有解或有無窮多解,這時曲線稱為非中心型二次曲線或無心型二次曲線。 例2 求二次曲線 的中心.解 (x0,y0)是對稱中心必須且只需滿足中心方程,即解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲線的中心 .2 2 3 6 3 0 x xy y x y 1 0 0 0 0 2 0 0 0 01 3( , ) 0,2 21, 3 0.2F x y x yF x y x y 2) 旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律 將旋轉(zhuǎn)公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲線方程，化簡整理，曲線方程變?yōu)镕(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得旋轉(zhuǎn)變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律: (1) 二次項系數(shù)一般可變,但新系下方程的二次項系數(shù)僅與舊系下方程的二次項系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān),而與一次項系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)； (2) 一次項系數(shù)一般也可變，但新系下方程的一次項系數(shù)僅與舊系下方程的一次項系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān)，而與二次項系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)； (3) 常數(shù)項不變。 根據(jù)公式的表達式，若選取角，使則方程中沒有交叉乘積項。 注：若要通過旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項，只須旋轉(zhuǎn)角 滿足： a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0,即 (a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0從而得旋轉(zhuǎn)角 滿足 因為余切的值可以是任意實數(shù)，所以一定存在 滿足上式。這就是說，一定可以通過轉(zhuǎn)角 消去交叉項。 上式中的 不是唯一的，為確定起見，一般規(guī)定0 需要說明的是,我們?yōu)槭裁床挥?? 這是因為當 a 11=a22 時, 該式?jīng)]有意義,而 完全可以決定旋轉(zhuǎn)角= /4.當a12=0時,雖然 也無意義,但這時方程中已經(jīng)不含交叉項,就用不到轉(zhuǎn)軸變換了. 1211 222tan2 a a a 11 2212cot 2 02a aa 11 2212cot 2 2a aa 11 2212cot 2 2a aa 例 利用轉(zhuǎn)軸變換,消去二次曲線x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉項.解 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,由決定方程得 可取 ,故轉(zhuǎn)軸公式為： 代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為 4.2.3 二次曲線的判別（Q uadratic curve discriminant） 從前面的討論可知，二次曲線化簡的關(guān)鍵是如何消去方程中的交叉項xy和一次項?；喴话愣吻€方程，首先要判別二次曲線的類型，然后根據(jù)曲線的類型，采用不同的坐標變換。 二次曲線的類型可以用I2來判別：當I20時,二次曲線是中心型曲線；當I2=0時,二次曲線是非中心型曲線.又可以細分為以下3種類型： (1) 橢圓型：I20， (2) 雙曲型：I 20， (3) 拋物型：I2=0。注：二次曲線類型判別的嚴格證明，參看后文的利用不變量化簡曲線方程部分。 4.2.4 二次曲線的化簡與作圖（Simplification and graphing of Q uadratic curves） 根據(jù)坐標變換下方程系數(shù)的變化規(guī)律，對于中心型二次曲線，可以先求出曲線的中心，通過移軸變換消去一次項，然后再作轉(zhuǎn)軸變換時，就不用整理一次項了。而對于非中心型二次曲線，由于曲線沒有中心，只能先作轉(zhuǎn)軸變換。這就是說，要根據(jù)曲線的類型，采用不同的化簡方法。 1)中心型二次曲線(I20)的化簡與作圖：對于中心型二次曲線，采用“先移后轉(zhuǎn)”，較為簡便。 其具體步驟是： 1、解中心方程組，求出曲線的中心(x0,y0) ； 2、作平移變換，消去一次項； 3、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 4、作旋轉(zhuǎn)變換，消去交叉項，得到曲線的標準方程； 5、將旋轉(zhuǎn)變換代入平移變換，得到直角坐標變換公式； 6、作出新舊坐標系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐標系下按照標準方程作出曲線的圖形。 例 化簡二次曲線方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并畫出它的圖形。解 因 I252-2260，所以曲線為中心型二次曲線?！跋纫坪筠D(zhuǎn)”。 1、解中心方程組得到曲線中心（2,1）2、做移軸變換 原方程變?yōu)?x2+4xy + 2y2-12=0 這里實際上只需計算F (2,1)12，因為移軸時二次項系數(shù)不變,一次項系數(shù)變?yōu)?。3、再做轉(zhuǎn)軸變換消去xy項，令得 tan =1/2 或 tan =-2取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/2 4、轉(zhuǎn)軸變換公式 ：代入,可將方程化簡為標準方程是這是一個橢圓,如圖所示. 作圖要點：要比較準確地畫出新舊坐標系和曲線的圖形,必須掌握好比例、新舊原點的位置以及坐標軸的旋轉(zhuǎn)角.本題中坐標系O-xy平移到(2,1)成O-xy,再把坐標系O-xy旋轉(zhuǎn)角得 O-xy.在新坐標系O-xy 中根據(jù)橢圓的標準方程作圖. x y x y xy O OO .5251 ,5152 yxy yxx 126 22 yx 1122 22 yx 注：本題轉(zhuǎn)軸時若取tan-2，則可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的轉(zhuǎn)軸公式是 得到的標準方程為 ,圖形相對于原坐標系的位置不變。此時Ox軸的正向恰好是圖中y 軸的反向。 例 化簡二次曲線方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,寫出坐標變換公式并作出它的圖形解 因為I20,所給的二次曲線是雙曲型的. 中心方程組解得中心坐標為 ( 2,2) .作移軸變換原方程化為再作轉(zhuǎn)軸變換 ，得旋轉(zhuǎn)角為 .故轉(zhuǎn)軸變換為 .01023 ,01032 yx yx ,2,2yy xx013 22 yyxx 1 1cot2 03 4 ).(21 ),(21 yxy yxx 二次曲線的方程化簡為標準方程為 這是一條雙曲線,其圖形如圖所示。 作圖時,先將坐標系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐標系O-xy旋轉(zhuǎn)角 / 4得 O-xy.在新坐標系O-xy 中根據(jù)雙曲線的標準方程作圖. 2 2 122 5x y x x yy xy O O 2 21 5 1 02 2x y 將轉(zhuǎn)軸公式代入移軸公式,得坐標變換公式為 ,2,2yy xx 1 ( ) 2,2 1 ( ) 2.2x x yy x y ).(21 ),(21 yxy yxx 注：利用移軸可以直接化簡缺少xy項的二次曲線方程, 化簡的關(guān)鍵是找到恰當?shù)囊戚S公式.常用的方法有配方法和代入法.在應用配方法時必須注意,要分別先對關(guān)于x與y的項進行集項,然后把x2與y2項的系數(shù)括出來再配方. 利用直角坐標變換的方法化簡曲線方程，不僅能夠得到曲線的標準方程，而且同時得到坐標變換公式，并能作出曲線的圖形，這是其它方法所不能做到的。 2)非中心型二次曲線( I2=0)的化簡與作圖：對于非中心型二次曲線，采用“先轉(zhuǎn)后移”，較為簡便。其具體步驟是： 1、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 2、作旋轉(zhuǎn)變換,消去交叉項，同時消去1個二次項； 3、對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”，先配二次項,再配一次項； 4、令“配方”后的括號內(nèi)分別為x和 y (相當于作平移變換),得到曲線的標準方程。 5、將平移變換代入旋轉(zhuǎn)變換,得到直角坐標變換公式。 6、作出新舊坐標系O-xy，O-xy和O-xy ,在新坐標系下按照標準方程作出曲線的圖形。 例 化簡二次曲線方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,寫出坐標變換公式并畫出它的圖形。解 由于I2=14-22=0,曲線是非中心型的,應先轉(zhuǎn)軸后移軸。 1、設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,則有得 tan =-1/2 或 tan =2取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同樣可將原方程化簡),則有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得轉(zhuǎn)軸公式為 代入原方程化簡整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為配方得：3、再做移軸變換曲線方程就化為最簡形式4、寫成標準方程為： yx 52 這是一條拋物線.它的頂點是新坐標系O-xy 的原點,原方程的圖形可以根據(jù)它在坐標系O-xy 中的標準方程作出,如圖 所示.將移軸公式代入轉(zhuǎn)軸公式,得坐標變換公式為 作圖要點：坐標系O-xy旋轉(zhuǎn)角tan2成O-xy,再把坐標系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐標系O-xy 中可根據(jù)拋物線的標準方程作圖.為了看出曲線在原坐標系中的位置,作圖時需要將新舊坐標系同時畫出. 1 1( 2 ) ,551 2(2 ) .55x x yy x y 例 化簡二次曲線方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0解 計算得I2 0。 1 實橢圓: a 330, a11 a330 ； 3 點橢圓: a33=0。 () 雙曲型： I2=a11a220。 4 雙曲線： a330； 5 兩條相交直線： a33=0。對于非中心型曲線也稱為拋物型曲線,通過轉(zhuǎn)軸消去交叉項,再對轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”,曲線的方程可化為標準方程 或按照系數(shù)情況分為 () 拋物型：I2=0， a11=0， a220。 6 拋物線： a130； 7 一對平行的直線： a13=0， a22 a33 0 虛橢圓 點橢圓雙曲型：I20 雙曲線 一對相交直線拋物型：I 2=0. 拋物線 一對平行直線 一對虛平行線 一對重合直線 2 22 2 1,x ya b 2 22 2 1,x ya b 2 22 2 0,x ya b 2 2 .y px2 1.y 2 0.y 2 1.y 2 22 2 1,x ya b 2 22 2 0,x ya b End