第2講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高 考 定 位 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點，尤其是有關(guān)弦的問題以及存在性問題，計算量偏大，屬于難點，要加強這方面的專題訓練. 真 題 感 悟(1)求 直 線 y kx 1被 橢 圓 截 得 的 線 段 長 (用 a， k表 示 )；(2)若 任 意 以 點 A(0， 1)為 圓 心 的 圓 與 橢 圓 至 多 有 3個 公 共 點 ， 求 橢 圓 離 心 率 的 取 值 范 圍 . 考 點 整 合1.直 線 與 圓 錐 曲 線 的 位 置 關(guān) 系(1)直 線 與 橢 圓 的 位 置 關(guān) 系 的 判 定 方 法 ：將 直 線 方 程 與 橢 圓 方 程 聯(lián) 立 ， 消 去 一 個 未 知 數(shù) ， 得 到 一 個一 元 二 次 方 程 .若 0， 則 直 線 與 橢 圓 相 交 ； 若 0， 則 直線 與 橢 圓 相 切 ； 若 0， 則 直 線 與 橢 圓 相 離 .(2)直 線 與 雙 曲 線 的 位 置 關(guān) 系 的 判 定 方 法 ：將 直 線 方 程 與 雙 曲 線 方 程 聯(lián) 立 ， 消 去 y(或 x)， 得 到 一 個 一元 方 程 ax 2 bx c 0(或 ay2 by c 0). 若 a 0， 當 0時 ， 直 線 與 雙 曲 線 相 交 ； 當 0時 ， 直線 與 雙 曲 線 相 切 ； 當 0時 ， 直 線 與 雙 曲 線 相 離 . 若 a 0時 ， 直 線 與 漸 近 線 平 行 ， 與 雙 曲 線 有 一 個 交 點 .(3)直 線 與 拋 物 線 的 位 置 關(guān) 系 的 判 定 方 法 ：將 直 線 方 程 與 拋 物 線 的 方 程 聯(lián) 立 ， 消 去 y(或 x)， 得 到 一 個 一元 方 程 ax2 bx c 0(或 ay2 by c 0). 當 a 0時 ， 用 判 定 ， 方 法 同 上 . 當 a 0時 ， 直 線 與 拋 物 線 的 對 稱 軸 平 行 ， 只 有 一 個 交 點 . 2.有 關(guān) 弦 長 問 題有 關(guān) 弦 長 問 題 ， 應(yīng) 注 意 運 用 弦 長 公 式 及 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 ，“ 設(shè) 而 不 求 ” ； 有 關(guān) 焦 點 弦 長 問 題 ， 要 重 視 圓 錐 曲 線 定 義 的運 用 ， 以 簡 化 運 算 . 3.弦 的 中 點 問 題有 關(guān) 弦 的 中 點 問 題 ， 應(yīng) 靈 活 運 用 “ 點 差 法 ” ， “ 設(shè) 而 不 求法 ” 來 簡 化 運 算 . 熱點一直線與圓錐曲線(以橢圓、拋物線為主)的相交弦問題 微 題 型 1 有 關(guān) 圓 錐 曲 線 的 弦 長 問 題 探究提高解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解. 微 題 型 2 有 關(guān) 圓 錐 曲 線 的 中 點 弦 問 題【例12】 (2016江蘇卷)如 圖 ， 在 平 面 直 角 坐 標系 xOy中 ， 已 知 直 線 l： x y 2 0， 拋 物 線 C：y2 2px(p 0).(1)若 直 線 l過 拋 物 線 C的 焦 點 ， 求 拋 物 線 C的 方 程 ；(2)已 知 拋 物 線 C上 存 在 關(guān) 于 直 線 l對 稱 的 相 異 兩 點 P和 Q. 求 證 ： 線 段 PQ的 中 點 坐 標 為 (2 p， p)； 求 p的 取 值 范 圍 . 探究提高對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件 0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交. (1)求 C2的 方 程 ；(2)若 |AC| |BD|， 求 直 線 l的 斜 率 . 熱點二圓錐曲線中的存在性問題微 題 型 1 圓 錐 曲 線 中 直 線 的 存 在 性 問 題(1)求 P的 軌 跡 C的 方 程 ；(2)是 否 存 在 過 點 N(1， 0)的 直 線 l與 曲 線 C相 交 于 A， B兩 點 ，并 且 曲 線 C存 在 點 Q， 使 四 邊 形 OAQB為 平 行 四 邊 形 ？ 若 存在 ， 求 出 直 線 l的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 請 說 明 理 由 . 探究提高 (1)直線方程設(shè)為ykxb(斜截式)時，要注意考慮斜率是否存在；直線方程設(shè)為xmya(可稱為x軸上的斜截式)，這種設(shè)法不需考慮斜率是否存在.(2)若圖形關(guān)系可轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，則寫出其向量關(guān)系，再將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，關(guān)鍵是得出坐標關(guān)系. 微 題 型 2 圓 錐 曲 線 中 參 數(shù) 的 存 在 性 問 題 探究提高 (1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法. (1)求 橢 圓 C的 標 準 方 程 ；(2)以 M(0， 1)為 直 角 頂 點 作 橢 圓 C的 內(nèi) 接 等 腰 直 角 三 角 形MAB， 這 樣 的 等 腰 直 角 三 角 形 是 否 存 在 ？ 若 存 在 ， 請 說 明有 幾 個 ， 并 求 出 直 角 邊 所 在 的 直 線 方 程 ； 若 不 存 在 ， 請 說明 理 由 . 1.直 線 與 拋 物 線 位 置 關(guān) 系 的 提 醒(1)若 點 P在 拋 物 線 內(nèi) ， 則 過 點 P且 和 拋 物 線 只 有 一 個 交 點 的直 線 只 有 一 條 ， 此 直 線 與 拋 物 線 的 對 稱 軸 平 行 ； (2)若 點 P在 拋 物 線 上 ， 則 過 點 P且 和 拋 物 線 只 有 一 個 交 點 的 直 線 有兩 條 ， 一 條 是 拋 物 線 的 切 線 ， 另 一 條 直 線 與 拋 物 線 的 對 稱軸 平 行 ； (3)若 點 P在 拋 物 線 外 ， 則 過 點 P且 和 拋 物 線 只 有 一個 交 點 的 直 線 有 三 條 ， 兩 條 是 拋 物 線 的 切 線 ， 另 一 條 直 線與 拋 物 線 的 對 稱 軸 平 行 . 2.弦 長 公 式 對 于 直 線 與 橢 圓 的 相 交 、 直 線 與 雙 曲 線 的 相 交 、 直線 與 拋 物 線 的 相 交 都 是 通 用 的 ， 此 公 式 可 以 記 憶 ， 也 可 以 在解 題 的 過 程 中 ， 利 用 兩 點 間 的 距 離 公 式 推 導 .3.求 中 點 弦 的 直 線 方 程 的 常 用 方 法 4.存 在 性 問 題 求 解 的 思 路 及 策 略(1)思 路 ： 先 假 設(shè) 存 在 ， 推 證 滿 足 條 件 的 結(jié) 論 ， 若 結(jié) 論 正 確 ，則 存 在 ； 若 結(jié) 論 不 正 確 ， 則 不 存 在 .(2)策 略 ： 當 條 件 和 結(jié) 論 不 唯 一 時 要 分 類 討 論 ； 當 給 出 結(jié) 論 而 要 推 導 出 存 在 的 條 件 時 ， 先 假 設(shè) 成 立 ， 再推 出 條 件 .