第 5 講 指 數(shù) 式 與 指 數(shù) 函 數(shù) 考 綱 要 求 考 情 風(fēng) 向 標(biāo)1.了 解 指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 的 實(shí) 際 背 景 .2.理 解 有 理 數(shù) 指 數(shù) 冪 的 含 義 ， 了解 實(shí) 數(shù) 指 數(shù) 冪 的 意 義 ， 掌 握 冪的 運(yùn) 算 .3.理 解 指 數(shù) 函 數(shù) 的 概 念 ， 理 解 指數(shù) 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 ， 掌 握 指 數(shù) 函數(shù) 圖 象 通 過 的 特 殊 點(diǎn) .4.知 道 指 數(shù) 函 數(shù) 是 一 類 重 要 的 函數(shù) 模 型 . 1.熟 練 掌 握 指 數(shù) 的 運(yùn) 算 是 學(xué) 好 該 部分 知 識(shí) 的 基 礎(chǔ) ， 較 高 的 運(yùn) 算 能 力是 高 考 得 分 的 保 障 ， 所 以 熟 練 掌握 這 一 基 本 技 能 是 重 中 之 重 .2.本 節(jié) 復(fù) 習(xí) ， 還 應(yīng) 結(jié) 合 具 體 實(shí) 例 了解 指 數(shù) 函 數(shù) 的 模 型 ， 利 用 圖 象 掌握 指 數(shù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 重 點(diǎn) 解 決 ：(1)指 數(shù) 冪 的 運(yùn) 算 (2)指 數(shù) 函 數(shù) 的圖 象 與 性 質(zhì) . 當(dāng) n 為 偶 數(shù) 時(shí) ， 正 數(shù) 的 n 次 方 根 有 兩 個(gè) ， 它 們 互 為 相 反數(shù) ， 這 時(shí) ， a 的 n 次 方 根 可 記 作 _；a (3)0 的 正 分 數(shù) 指 數(shù) 冪 等 于 0,0 的 負(fù) 分 數(shù) 指 數(shù) 冪 沒 有 意 義 指 數(shù) 函 數(shù)圖 象3 有 理 數(shù) 指 數(shù) 冪 的 運(yùn) 算 性 質(zhì)(1)aras _(a0， r， s Q)(2)(ar)s ars(a0， r， s Q)(3)(ab)r _(a0， b0， r Q)4 指 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 與 性 質(zhì)ar sarbry ax(a1) y ax(0a1) y ax(0a1) 1 下 列 根 式 與 分 數(shù) 指 數(shù) 冪 的 互 化 中 ， 正 確 的 是 (A (1,5) B (1,4) C (0,4) D (4,0)CA 則 m， n 的 大 小 關(guān) 系 為 _mn x 34 (2013 年 上 海 )方 程 2x 8 的 解 是 _解 析 ： 2x 8 23， x 3. 考 點(diǎn) 1 指 數(shù) 冪 運(yùn) 算例 1： 計(jì) 算 ： 思 維 點(diǎn) 撥 ： 根 式 的 形 式 通 常 寫 成 分 數(shù) 指 數(shù) 冪 后 再 進(jìn) 行 運(yùn) 算 【 互 動(dòng) 探 究 】 23 考 點(diǎn) 2 指 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 答 案 ： B 【 互 動(dòng) 探 究 】 DA B C D 3 (2013 年 廣 東 珠 海 二 模 )已 知 實(shí) 數(shù) a， b 滿 足 等 式 2a 3b，下 列 五 個(gè) 關(guān) 系 式 ： 0ba； ab0； 0ab； ba0； a b 0.其 中 有 可 能 成 立 的 關(guān) 系 式 有 ( )A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè)解 析 ： 如 圖 D2， 正 確 故 選 C.圖 D2 C 考 點(diǎn) 3 指 數(shù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 及 應(yīng) 用例 3： 已 知 f(x) ex ax 1.(1)求 f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 ；(2)若 f(x)在 定 義 域 R 上 單 調(diào) 遞 增 ， 求 a 的 取 值 范 圍 當(dāng) a 0 時(shí) ， f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 lna， )解 ： (1) f(x) ex ax 1， f(x) ex a.令 f(x)0， 得 exa，當(dāng) a0 時(shí) ， 有 f(x) 0 在 R 上 恒 成 立 ；當(dāng) a 0 時(shí) ， 有 e xelna， 即 xlna.綜 上 所 述 ， 當(dāng) a0 時(shí) ， f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 ( ， )； (2) f(x) ex ax 1， f(x) ex a. f(x)在 R 上 單 調(diào) 遞 增 ， f(x) ex a0 恒 成 立 ，即 aex， x R 恒 成 立 x R 時(shí) ， ex (0， )， a0， a1)在 1,2上 的 最 大 值 為 4，則 其 在 1,2上 的 最 小 值 為 _或1 12 16 思 想 與 方 法 分 類 討 論 與 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 的 應(yīng) 用 (2)若 關(guān) 于 x 的 方 程 |ax 1| 2a(a0， 且 a1)有 兩 個(gè) 不 相 等的 實(shí) 根 ， 則 實(shí) 數(shù) a 的 取 值 范 圍 是 ( )A (0,1) (1， ) B (0,1) 答 案 ： D 圖 2-5-1 【 規(guī) 律 方 法 】 (1)在 指 數(shù) 函 數(shù) 解 析 式 中 ， 必 須 時(shí) 刻 注 意 底 數(shù)a0且 a1， 對(duì) 于 指 數(shù) 函 數(shù) 的 底 數(shù) a， 在 不 清 楚 其 取 值 范 圍 時(shí) ， 應(yīng)運(yùn) 用 分 類 討 論 的 數(shù) 學(xué) 思 想 ， 分 a1和 0a0，且 a1)的 圖 象 ， 應(yīng) 抓 住 三 個(gè) 關(guān) 鍵 點(diǎn) ： (1， a)， (0， 1)， 再 利 用 相 應(yīng) 指 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 象 ， 通 過 平 移 、 對(duì) 稱 變 換 得 到其 他 圖 象 .