第 2 講 平 面 向 量 的 數(shù) 量 積 考 綱 要 求 考 情 風(fēng) 向 標1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.從近幾年的高考試題來看，向量的數(shù)量積運算、向量的垂直等問題是高考的熱點，既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中低檔題目，常與平面幾何、三角、解析幾何知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結(jié)合思想預(yù)計2016年高考仍將以向量的數(shù)量積運算、向量的垂直為主要考點，以與三角、解析幾何知識交匯命題為考向. 1兩 個 向 量 的 數(shù) 量 積 的 定 義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作 ab，即 ab|a|b|cos.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0，即 0a0.2平 面 向 量 數(shù) 量 積 的 幾 何 意 義數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘積 3平 面 向 量 數(shù) 量 積 的 性 質(zhì)設(shè) a，b 都是非零向量，e 是單位向量，為 a 與 b(或 e)的夾角，則(1)eaae|a|cos.(2)a b ab0.(3)當(dāng) a 與 b 同向時，ab|a|b|；反當(dāng) a 與 b_向時，ab|a|b|； 4平 面 向 量 數(shù) 量 積 的 坐 標 運 算設(shè)向量 a(x1，y1),b(x2，y2)，向量 a 與 b 的夾角為，則 1已知a(，2)，b(4,10)，且a b，則實數(shù)的值為( )C A.45 B45 C5 D52已知向量 a，b 滿足|a|4，|b|1，且 ab2，則 a與 b 的夾角大小為( )BA. 3 B.23 C. 6 D.56 3已知向量 a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3)，則|a|( )C 5 考 點 1 向 量 數(shù) 量 積 的 基 本 運 算例 1： (1)(2014年 大 綱 )已知a， b為單位向量，其夾角為 60，)則（2ab)b(A1C1 B0D2解 析 ： (2ab)b2abb22|a|b|cos60|b|2211cos6010.故 選 B.解 析 ： B (2)(2013 年 北 京 順 義 第 一 次 統(tǒng) 練 )已知向量 a (2,1)，b(2，k)，且 a (2ab)，則實數(shù) k( )A14 B6 C6 D14解 析 ： a (2ab)， a(2ab)0，即 2|a|2 ab 0， 2 5 ( 4 k)0，解 得 k 14.答 案 ： D【 規(guī) 律 方 法 】 向 量 的 數(shù) 量 積 通 常 有 兩 種 計 算 方 法 ： 一 是 利用 坐 標 運 算 ,設(shè) 向 量 a (x 1， y1)， b (x2， y2)， 則 ab x1x2 y1y2；二 是 利 用 數(shù) 量 積 的 定 義 ， 即 ab |a|b|cos. 【 互 動 探 究 】1 (2015 年 廣 東 江 門 一 模 )已知向量 a ( 3,4)， b(1，m)，若 a(ab)0，則 m( )CA.112 B112 C7 D72(2013 年 安 徽 )若非零向量 a，b 滿足|a|3|b|a2b|，則 a，b 夾角的余弦值為_13解 析 ： |a|3|b|a2b|，|a| 29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab |a|2 4|b|2 4|a|b|cos,即 9|b|2 4|b|2 12|b|b|cos 考 點 2 向 量 數(shù) 量 積 在 平 面 幾 何 中 的 應(yīng) 用例 2： (1)(2013 年 山 東 泰 安 統(tǒng) 測 )如圖 4-2-1，已知正六邊形)P1P2P3P4P5P6，則下列向量的數(shù)量積中最大的是(圖 4-2-1 答 案 ： A 圖 D14 答 案 ： 16【 規(guī) 律 方 法 】 當(dāng) 向 量 表 示 平 面 圖 形 中 的 一 些 有 向 線 段 時 ，要 根 據(jù) 向 量 加 減 法 運 算 的 幾 何 法 則 進 行 轉(zhuǎn) 化 ， 把 題 目 中 未 知 的向 量 用 已 知 的 向 量 表 示 出 來 ， 在 這 個 過 程 中 要 充 分 利 用 共 線 向量 定 理 和 平 面 向 量 基 本 定 理 及 解 三 角 形 等 知 識 則ABAD的取值范圍是_【 互 動 探 究 】3在邊長為 1 的等邊ABC 中，點 D 為 BC 邊上的一動點， 12，1 考 點 3 向 量 的 數(shù) 量 積 在 解 析 幾 何 中 的 應(yīng) 用 【 規(guī) 律 方 法 】 (1)同 弧 的 圓 周 角 、 圓 外 角 和 圓 內(nèi) 角 中 ， 圓 內(nèi)角 最 大 ， 圓 外 角 最 小 當(dāng) 圓 周 角 為 直 角 時 ， 只 要 判 斷 點 與 直 徑兩 端 點 的 連 線 所 構(gòu) 成 的 角 是 銳 角 還 是 鈍 角 即 可 知 道 該 點 是 在 圓內(nèi) 還 是 圓 外 (2)在 解 析 幾 何 中 ， 兩 個 向 量 相 等 通 常 轉(zhuǎn) 化 為 兩 個 分 量 相等 (3)對 于 解 析 幾 何 中 的 向 量 ， 通 常 要 清 楚 向 量 的 幾 何 意 義 ：如 垂 直 問 題 ， 平 分 問 題 ， 平 行 問 題 ， 等 份 問 題 等 【 互 動 探 究 】 A 易 錯 、 易 混 、 易 漏 向 量 中 錯 誤 使 用 充 要 條 件 造 成 問 題 解 答 不 全例 題 ：已知向量 a(m2，m3)，b(2m1，m2)(1)若向量 a 與 b 的夾角為直角，求實數(shù) m 的值；(2)若向量 a 與 b 的夾角為鈍角，求實數(shù) m 的取值范圍正 解 ： (1)若 a 與 b 的 夾 角 為 直 角 ， 則 ab 0，即 (m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 0. 【 失 誤 與 防 范 】 兩 個 向 量 ab0 等 價 于 |aba|b|0， 相 當(dāng) 于 夾角 的 余 弦 值 小 于 零 ， 我 們 知 道 cos= 10， 所 以 ab0 中 包括 了 兩 個 向 量 同 向 共 線 和 夾 角 為 銳 角 兩 種 情 況 這 兩 點 在 解 題中 要 特 別 注 意