,二、第二類換元法,第二節(jié),一、第一類換元法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,換元積分法,第四章,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),可導,則有,一、第一類換元法 （P221）,定理1.,則有換元,公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當,時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. （P222）求,解:,令,則,想到公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. （P223） 求,想到,解:,(直接配元),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. （P225）求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,類似,例5. （P223）求,解:, 原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,常用的幾種配元形式:,萬能湊冪法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 求,解: 原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 求,解法1,解法2,兩法結(jié)果一樣,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10.（P227） 求,解法1,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法 2,同樣可證,或,(P226-P227 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例11. 求,解: 原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例12 . 求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例13. 求,解:,原式 =,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例14. 求,解: 原式=,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分析:,例15. 求,解: 原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié),常用簡化技巧:,(1) 分項積分:,(2) 降低冪次:,(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙換元或配元,萬能湊冪法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用積化和差; 分式分項;,利用倍角公式 , 如,思考與練習,1. 下列各題求積方法有何不同?,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、第二類換元法 （P228）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第一類換元法解決的問題,難求,易求,若所求積分,易求,則得第二類換元積分法 .,難求，,定理2 . 設(shè),是單調(diào)可導函數(shù) , 且,具有原函數(shù) ,證:,令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則有換元公式 （P228）,例16. （P230）求,解: 令,則, 原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例17. 求,解: 令,則, 原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例18.（P230） 求,解:,令,則, 原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,于是,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,被積函數(shù)含有,時,除采用,采用雙曲代換,消去根式 ,所得結(jié)果一致 .,或,或,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三角代換外, 還可利用公式,原式,例19. 求,解: 令,則,原式,當 x 0 時, 類似可得同樣結(jié)果 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,小結(jié):,1. 第二類換元法常見類型:,令,令,令,或,令,或,令,或,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第四節(jié)講,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 常用基本積分公式的補充 (P399-404),(7) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 原式,(P399 公式 (9) ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例20. 求,例21. 求,解:,(P400 公式 (15) ),例22. 求,解: 原式 =,(P401 公式 (33) ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例23. 求,解: 原式,(P401 公式 (33) ),例24. 求,解: 令,得,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(P400 公式 (19) ),例25. 求,解: 原式,令,例16,例16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?,令,令,令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 已知,求,解: 兩邊求導, 得,則,(代回原變量),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題 1. 求下列積分:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.,求不定積分,解：,利用湊微分法 ,原式 =,令,得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分子分母同除以,3.,求不定積分,解:,令,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,