2021-5-23鄭平正 制作鄭平正 制作 去 “ 數(shù) 學 廣 角 ”嘍 ！ ！ ！ 2021-5-23鄭平正 制作鄭平正 制作 3.1回 歸 分 析 的 基本 思 想 及 其 初 步應 用 （ 三 ）高二數(shù)學 選修2-3 第三章 統(tǒng)計案例 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 比數(shù)學3中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù) 學 統(tǒng) 計1. 畫 散 點 圖2. 了 解 最 小 二 乘 法的 思 想3. 求 回 歸 直 線 方 程y bx a4. 用 回 歸 直 線 方 程解 決 應 用 問 題 選 修 2-3統(tǒng) 計 案 例5. 引 入 線 性 回 歸 模 型y bx a e6. 了 解 模 型 中 隨 機 誤 差 項 e產(chǎn)生 的 原 因7. 了 解 相 關 指 數(shù) R2 和 模 型 擬合 的 效 果 之 間 的 關 系8. 了 解 殘 差 圖 的 作 用9. 利 用 線 性 回 歸 模 型 解 決 一 類非 線 性 回 歸 問 題10. 正 確 理 解 分 析 方 法 與 結(jié) 果 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 復習回顧1、 線 性 回 歸 模 型 ：y=bx+a+e， (3)其 中 a和 b為 模 型 的 未 知 參 數(shù) ， e稱 為 隨 機 誤 差 。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.2、 數(shù) 據(jù) 點 和 它 在 回 歸 直 線 上 相 應 位 置 的 差 異 是 隨 機 誤 差 的 效 應 ， 稱 為 殘 差 。 ) i iy y(i i ie y y =3、 對 每 名 女 大 學 生 計 算 這 個 差 異 ， 然 后 分 別 將 所 得的 值 平 方 后 加 起 來 ， 用 數(shù) 學 符 號 表 示 為 ： 稱 為 殘 差 平 方 和 ， 它 代 表 了 隨 機 誤 差 的 效 應 。 21 ( )n i ii y y 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 4、 兩 個 指 標 ：（ 1） 類 比 樣 本 方 差 估 計 總 體 方 差 的 思 想 ， 可 以 用 作 為 的 估 計 量 ， 越 小 ， 預 報 精 度 越 高 。2 211 1 ( , )( 2)2 2ni e Q a b nn n 22（ 2） 我 們 可 以 用 相 關 指 數(shù) R2來 刻 畫 回 歸 的 效 果 ， 其 計 算 公 式 是 ： 2 22 1 12 21 1( ) ( )1 ( ) ( )n ni i ii in ni ii iy y y yR y y y y 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 表 3-2列 出 了 女 大 學 生 身 高 和 體 重 的 原 始 數(shù) 據(jù) 以 及 相 應 的 殘 差 數(shù) 據(jù) 。 在 研 究 兩 個 變 量 間 的 關 系 時 ， 首 先 要 根 據(jù) 散 點 圖 來 粗 略 判 斷 它 們 是否 線 性 相 關 ， 是 否 可 以 用 回 歸 模 型 來 擬 合 數(shù) 據(jù) 。5、 殘 差 分 析 與 殘 差 圖 的 定 義 ： 然 后 ， 我 們 可 以 通 過 殘 差 來 判 斷 模 型 擬 合 的 效 果 ，判 斷 原 始 數(shù) 據(jù) 中 是 否 存 在 可 疑 數(shù) 據(jù) ， 這 方 面 的 分 析 工 作 稱 為 殘 差 分 析 。1 2, , , ne e e 編 號 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170體 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59殘 差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我 們 可 以 利 用 圖 形 來 分 析 殘 差 特 性 ， 作 圖 時 縱 坐 標 為 殘 差 ，橫 坐 標 可 以 選 為 樣 本 編 號 ， 或 身 高 數(shù) 據(jù) ， 或 體 重 估 計 值 等 ， 這樣 作 出 的 圖 形 稱 為 殘 差 圖 。 2021-5-23鄭平正 制作 殘 差 圖 的 制 作 及 作 用1、 坐 標 縱 軸 為 殘 差 變 量 ， 橫 軸 可 以 有 不 同 的 選 擇 ；2、 若 模 型 選 擇 的 正 確 ， 殘 差 圖 中 的 點 應 該 分 布 在 以 橫軸 為 心 的 帶 形 區(qū) 域 ；3、 對 于 遠 離 橫 軸 的 點 ， 要 特 別 注 意 。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾 點 說 明 ： 第 一 個 樣 本 點 和 第 6個 樣 本 點 的 殘 差 比 較 大 ， 需 要 確 認 在 采 集 過 程 中 是 否 有 人 為的 錯 誤 。 如 果 數(shù) 據(jù) 采 集 有 錯 誤 ， 就 予 以 糾 正 ， 然 后 再 重 新 利 用 線 性 回 歸 模 型 擬 合 數(shù)據(jù) ； 如 果 數(shù) 據(jù) 采 集 沒 有 錯 誤 ， 則 需 要 尋 找 其 他 的 原 因 。 另 外 ， 殘 差 點 比 較 均 勻 地 落 在 水 平 的 帶 狀 區(qū) 域 中 ， 說 明 選 用 的 模 型 計 較 合 適 ， 這樣 的 帶 狀 區(qū) 域 的 寬 度 越 窄 ， 說 明 模 型 擬 合 精 度 越 高 ， 回 歸 方 程 的 預 報 精 度 越 高 。 2021-5-23鄭平正 制作 例1 在 一 段 時 間 內(nèi) ， 某 中 商 品 的 價 格 x元 和 需 求 量 Y件 之 間的 一 組 數(shù) 據(jù) 為 ：求 出 Y對 的 回 歸 直 線 方 程 ， 并 說 明 擬 合 效 果 的 好 壞 。價 格 x 14 16 18 20 22需 求 量 Y 12 10 7 5 3解 ： 18, 7.4,x y 5 5 5 2 21 1 11660, 327, 620,i i i ii i ix y x y 7.4 1.15 18 28.1.a 1.15 28.1.y x 回 歸 直 線 方 程 為 ：515 221 5 5i ii ii x y xyb x x 2620 5 18 7.4 1.15.1660 5 18 2021-5-23鄭平正 制作 例1 在 一 段 時 間 內(nèi) ， 某 中 商 品 的 價 格 x元 和 需 求 量 Y件 之間 的 一 組 數(shù) 據(jù) 為 ：求 出 Y對 的 回 歸 直 線 方 程 ， 并 說 明 擬 合 效 果 的 好 壞 。價 格 x 14 16 18 20 22需 求 量 Y 12 10 7 5 3列 出 殘 差 表 為 5 21 ( )i ii y y 0.3, 5 21 ( )ii y y 53.2,5 22 15 21 ( )1 ( )i ii ii y yR y y 0.994 因 而 ， 擬 合 效 果 較 好 。i iy yiy y 0 0.3 -0.4 -0.1 0.24.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4 2021-5-23鄭平正 制作 例2 關 于 x與 y有 如 下 數(shù) 據(jù) ： 有 如 下 的 兩 個 線 性 模 型 ：（ 1） ； （ 2） 試 比 較 哪 一 個 擬 合 效 果 更 好 。x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70 6.5 17.5y x 7 17.y x 2021-5-23鄭平正 制作 6、 注 意 回 歸 模 型 的 適 用 范 圍 ：（ 1） 回 歸 方 程 只 適 用 于 我 們 所 研 究 的 樣 本 的 總 體 。 樣 本 數(shù) 據(jù)來 自 哪 個 總 體 的 ， 預 報 時 也 僅 適 用 于 這 個 總 體 。（ 2） 模 型 的 時 效 性 。 利 用 不 同 時 間 段 的 樣 本 數(shù) 據(jù) 建 立 的 模 型 ，只 有 用 來 對 那 段 時 間 范 圍 的 數(shù) 據(jù) 進 行 預 報 。（ 3） 建 立 模 型 時 自 變 量 的 取 值 范 圍 決 定 了 預 報 時 模 型 的 適 用范 圍 ， 通 常 不 能 超 出 太 多 。（ 4） 在 回 歸 模 型 中 ， 因 變 量 的 值 不 能 由 自 變 量 的 值 完 全 確 定 。正 如 前 面 已 經(jīng) 指 出 的 ， 某 個 女 大 學 生 的 身 高 為 172cm， 我 們不 能 利 用 所 建 立 的 模 型 預 測 她 的 體 重 ， 只 能 給 出 身 高 為172cm的 女 大 學 生 的 平 均 體 重 的 預 測 值 。 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 7、 一 般 地 ， 建 立 回 歸 模 型 的 基 本 步 驟 為 ：（ 1） 確 定 研 究 對 象 ， 明 確 哪 個 變 量 是 解 析 變 量 ， 哪 個 變 量 是預 報 變 量 。（ 2） 畫 出 確 定 好 的 解 析 變 量 和 預 報 變 量 的 散 點 圖 ， 觀 察 它 們之 間 的 關 系 （ 如 是 否 存 在 線 性 關 系 等 ） 。（ 3） 由 經(jīng) 驗 確 定 回 歸 方 程 的 類 型 （ 如 我 們 觀 察 到 數(shù) 據(jù) 呈 線 性關 系 ， 則 選 用 線 性 回 歸 方 程 y=bx+a） .（ 4） 按 一 定 規(guī) 則 估 計 回 歸 方 程 中 的 參 數(shù) （ 如 最 小 二 乘 法 ） 。（ 5） 得 出 結(jié) 果 后 分 析 殘 差 圖 是 否 有 異 常 （ 個 別 數(shù) 據(jù) 對 應 殘 差過 大 ， 或 殘 差 呈 現(xiàn) 不 隨 機 的 規(guī) 律 性 ， 等 等 ） ， 過 存 在 異 常 ， 則檢 查 數(shù) 據(jù) 是 否 有 誤 ， 或 模 型 是 否 合 適 等 。 2021-5-23鄭平正 制作 案例2 一 只 紅 鈴 蟲 的 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 x有 關 。 現(xiàn)收 集 了 7組 觀 測 數(shù) 據(jù) 列 于 表 中 ：（ 1） 試 建 立 產(chǎn) 卵 數(shù) y與 溫 度 x之 間 的 回 歸 方 程 ； 并預 測 溫 度 為 28oC時 產(chǎn) 卵 數(shù) 目 。（ 2） 你 所 建 立 的 模 型 中 溫 度 在 多 大 程 度 上 解 釋 了產(chǎn) 卵 數(shù) 的 變 化 ？ 溫 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35產(chǎn) 卵 數(shù) y/個 7 11 21 24 66 115 325 2021-5-23鄭平正 制作 選 變 量 解 ： 選 取 氣 溫 為 解 釋 變 量 x， 產(chǎn) 卵 數(shù) 為 預 報 變 量 y。畫 散 點 圖 假 設 線 性 回 歸 方 程 為 ： =bx+a選 模 型分 析 和 預 測 當 x=28時 ， y =19.87 28-463.73 93估 計 參 數(shù) 由 計 算 器 得 ： 線 性 回 歸 方 程 為 y=19.87x-463.73 相 關 指 數(shù) R 2=r2 0.8642=0.7464所 以 ， 二 次 函 數(shù) 模 型 中 溫 度 解 釋 了 74.64%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 變 化 。 探 索 新 知 050100150200250300 350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方 案 1 當 x=28時 ， y =19.87 28-463.73 93 一 元 線 性 模 型 2021-5-23鄭平正 制作奇怪？ 9366 ?模 型 不 好 ？ 2021-5-23鄭平正 制作 y=bx2+a 變 換 y=bt+a非 線 性 關 系 線 性 關 系 方 案 2問 題 選 用 y=bx2+a ， 還 是 y=bx2+cx+a ？問 題 3 -200 -100 0 100 200 300 400 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫問 題 2 如 何 求 a、 b ？合 作 探 究 t=x2二 次 函 數(shù) 模 型 2021-5-23鄭平正 制作 方 案 2解 答平 方 變 換 ： 令 t=x2， 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 x之 間 二 次 函 數(shù) 模 型 y=bx2+a就 轉(zhuǎn) 化 為 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 的 平 方 t之 間 線 性 回 歸 模 型 y=bt+a溫 度 21 23 25 27 29 32 35溫 度 的 平 方 t 441 529 625 729 841 1024 1225產(chǎn) 卵 數(shù) y/個 7 11 21 24 66 115 325作 散 點 圖 ， 并 由 計 算 器 得 ： y和 t之 間 的 線 性 回 歸 方 程 為y=0.367t-202.54， 相 關 指 數(shù) R2=r2 0.8962=0.802將 t=x 2代 入 線 性 回 歸 方 程 得 ： y=0.367x2 -202.54當 x=28時 ， y=0.367 282-202.54 85， 且 R2=0.802，所 以 ， 二 次 函 數(shù) 模 型 中 溫 度 解釋 了 80.2%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 變 化 。 產(chǎn) 卵 數(shù) y/個 0 50 100 150 200 250 300 350 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 t 2021-5-23鄭平正 制作問 題 變 換 y=bx+a非 線 性 關 系 線 性 關 系2110c xy c問 題 如 何 選 取 指 數(shù) 函 數(shù) 的 底 ?-50050100 150 200 250 300 350 400 450 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 方 案 3合 作 探 究 對 數(shù) 2021-5-23鄭平正 制作 方 案 3解 答溫 度 x oC 21 23 25 27 29 32 35z=lgy 0.85 1.04 1.32 1.38 1.82 2.06 2.51產(chǎn) 卵 數(shù) y/個 7 11 21 24 66 115 325 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 xz當 x=28oC 時 ， y 44 ， 指 數(shù) 回 歸模 型 中 溫 度 解 釋 了 98.5%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 的變 化由 計 算 器 得 ： z關 于 x的 線 性 回 歸 方 程為 z=0.118x-1.665 ，相 關 指 數(shù) R2=r2 0.99252=0.9850.118x-1.665 10y 對 數(shù) 變 換 ： 在 中 兩 邊 取 常 用 對 數(shù) 得令 ， 則 就 轉(zhuǎn) 換 為 z=bx+a2 21 1 1 2 2 1lg lg( 10 ) lg lg10 lg lg10 lgc x c xy c c c c x c x c 2110c xy c 1 2lg , lg ,z y a c b c 2110c xy c 2021-5-23鄭平正 制作 最 好 的 模 型 是 哪 個 ? -200 -100 0 100 200 300 400 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫線 性 模 型 二 次 函 數(shù) 模 型 指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 2021-5-23鄭平正 制作比一比 函 數(shù) 模 型 相 關 指 數(shù) R2線 性 回 歸 模 型 0.7464二 次 函 數(shù) 模 型 0.802指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 0.985 最 好 的 模 型 是 哪 個 ? 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 用 身 高 預 報 體 重 時 ， 需 要 注 意 下 列 問 題 ：1、 回 歸 方 程 只 適 用 于 我 們 所 研 究 的 樣 本 的 總 體 ；2、 我 們 所 建 立 的 回 歸 方 程 一 般 都 有 時 間 性 ；3、 樣 本 采 集 的 范 圍 會 影 響 回 歸 方 程 的 適 用 范 圍 ；4、 不 能 期 望 回 歸 方 程 得 到 的 預 報 值 就 是 預 報 變 量 的 精 確 值 。 事 實 上 ， 它 是 預 報 變 量 的 可 能 取 值 的 平 均 值 。這 些 問 題 也 使 用 于 其 他 問 題 。涉 及 到 統(tǒng) 計 的 一 些 思 想 ：模 型 適 用 的 總 體 ；模 型 的 時 間 性 ；樣 本 的 取 值 范 圍 對 模 型 的 影 響 ； 模 型 預 報 結(jié) 果 的 正 確 理 解 。 小 結(jié) 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 2021-5-23 鄭 平 正 制 作 2021-5-23鄭平正 制作 練習 假 設 關 于 某 設 備 的 使 用 年 限 x和 所 支 出 的 維 修 費 用 y（ 萬元 ） ， 有 如 下 的 統(tǒng) 計 資 料 。使 用 年 限 x 2 3 4 5 6維 修 費 用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若 由 資 料 知 ,y對 x呈 線 性 相 關 關 系 。 試 求 ：（ 1） 線 性 回 歸 方 程 的 回 歸 系 數(shù) ；（ 2） 求 殘 差 平 方 和 ；（ 3） 求 相 關 系 數(shù) ；（ 4） 估 計 使 用 年 限 為 10年 時 ， 維 修 費 用 是 多 少 ？ y bx a a b、 2R 2021-5-23鄭平正 制作 解 ： （ 1） 由 已 知 數(shù) 據(jù) 制 成 表 格 。1 2 3 4 5 合 計2 3 4 5 6 202.2 3.8 5.5 6.5 7.0 254.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.34 9 16 25 36 90ixiyi ix y2 ix 4; 5;x y 5 521 190; 112.3.i i ii ix x y i 1.23, 0.08.b a 1.23 0.08.y x 所 以 有