第2講 洛倫茲力 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),知識(shí)梳理 一、洛倫茲力 1.洛倫茲力:磁場(chǎng)對(duì) 運(yùn)動(dòng)電荷 的作用力叫洛倫茲力。,2.洛倫茲力的方向 (1)判定方法:左手定則 (2)方向特點(diǎn):FB,Fv,即F垂直于B和v決定的 平面 。,3.洛倫茲力的大小 (1)vB時(shí),洛倫茲力F= 0 。(=0°或180°) (2)vB時(shí),洛倫茲力F= qvB 。(=90°) (3)v=0時(shí),洛倫茲力F= 0 。,二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),1.若vB,帶電粒子不受洛倫茲力,在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做 勻速直線 運(yùn) 動(dòng)。,2.若vB,帶電粒子僅受洛倫茲力作用,在垂直于磁感線的平面內(nèi)以入 射速度v做 勻速圓周 運(yùn)動(dòng)。,1.下列各圖中,運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方 向之間的關(guān)系正確的是 ( ),答案 B 根據(jù)左手定則,A中F方向應(yīng)向上,B中F方向應(yīng)向下,故A錯(cuò)、 B對(duì)。C、D中都是vB,F=0,故C、D均錯(cuò)。,B,2.兩個(gè)粒子,帶電量相等,在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中只受洛倫茲力而做勻速圓周 運(yùn)動(dòng) ( ) A.若速率相等,則半徑必相等 B.若質(zhì)量相等,則周期必相等 C.若質(zhì)量相等,則半徑必相等 D.若動(dòng)能相等,則周期必相等,B,答案 B 兩個(gè)粒子在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),則B一定。兩個(gè)粒子的帶 電量相等,若速率相等,由半徑公式r= 分析得知,半徑不一定相等,還需 要質(zhì)量相等,半徑才相等,故A錯(cuò)誤。若質(zhì)量和電量都相等,由周期公式T = 分析得知,周期必定相等,由半徑公式r= 分析得知,半徑不一定 相等,故B正確、C錯(cuò)誤。粒子的動(dòng)能Ek= mv2,動(dòng)能相等,粒子的質(zhì)量不 一定相等,由T= 知周期不一定相等,故D錯(cuò)誤。,3.質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子M和N,以不同的速率經(jīng)小孔S垂直進(jìn) 入勻強(qiáng)磁場(chǎng),運(yùn)行的半圓軌跡如圖中虛線所示。下列表述正確的是 ( ),A,A.M帶負(fù)電,N帶正電 B.M的速率小于N的速率 C.洛倫茲力對(duì)M、N做正功 D.M的運(yùn)行時(shí)間大于N的運(yùn)行時(shí)間,答案 A 由左手定則判斷得M帶負(fù)電、N帶正電,A正確。由題圖可知 M、N半徑關(guān)系為RMRN,由R= 可知,vMvN,B錯(cuò)誤。因洛倫茲力與速度 方向時(shí)刻垂直,故不做功,C錯(cuò)誤。由周期公式T= 及t= T可知,tM=tN, D錯(cuò)誤。,4.如圖所示,一個(gè)靜止的質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子(重力忽略不計(jì)),經(jīng) 加速電壓U加速后,垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,粒子打到p 點(diǎn),Op=x,能正確反映x與U之間關(guān)系的是 ( ) A.x與U成正比 B.x與U成反比 C.x與 成正比 D.x與 成反比,C,答案 C 粒子在電場(chǎng)中加速,離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度由qU= mv2,得 v= ,粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有Bqv=m ,又R= ,得x= ,C正確。,深化拓展,考點(diǎn)一 對(duì)洛倫茲力的理解,考點(diǎn)二 帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的分析思路,考點(diǎn)三 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),考點(diǎn)四 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題,深化拓展 考點(diǎn)一 對(duì)洛倫茲力的理解 1.洛倫茲力和安培力的關(guān)系 (1)洛倫茲力是單個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力,而安培力是導(dǎo)體中所 有定向移動(dòng)的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。,(2)由F=BIL sin 推導(dǎo)洛倫茲力表達(dá)式。如圖所示,設(shè)導(dǎo)線中有電流通過(guò) 時(shí),每個(gè)自由電子定向移動(dòng)的速度都是v,單位體積內(nèi)自由電子個(gè)數(shù)為n, 每個(gè)電子帶電荷量為q,則在t時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量Q=nSvt ·q。導(dǎo)體中電流的微觀表達(dá)式為I= =nqSv。設(shè)磁場(chǎng)方向和導(dǎo)線垂直,這段導(dǎo)線受的安培力F安=BIL=B·nqSv·vt。 設(shè)這段導(dǎo)線內(nèi)自由電子總個(gè)數(shù)為N,則N=nSvt,F安=NqvB,則每個(gè)電子受的 安培力為洛倫茲力F洛=qvB。當(dāng)導(dǎo)線中自由電子定向移動(dòng)速度和磁場(chǎng)方 向不垂直時(shí),則F洛=qvB sin 。,2.洛倫茲力與電場(chǎng)力的比較,1-1 (2013北京理綜,24,20分)對(duì)于同一物理問(wèn)題,常常可以從宏觀與微 觀兩個(gè)不同角度進(jìn)行研究,找出其內(nèi)在聯(lián)系,從而更加深刻地理解其物 理本質(zhì)。 一段橫截面積為S、長(zhǎng)為l的直導(dǎo)線,單位體積內(nèi)有n個(gè)自由電子,電子電 荷量為e。該導(dǎo)線通有電流時(shí),假設(shè)自由電子定向移動(dòng)的速率均為v。 (a)求導(dǎo)線中的電流I; (b)將該導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,電流方向垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度B,導(dǎo)線所受安 培力大小為F安,導(dǎo)線內(nèi)自由電子所受洛倫茲力大小的總和為F,推導(dǎo)F安= F。 (注意:解題過(guò)程中需要用到、但題目沒(méi)有給出的物理量,要在解題時(shí)做 必要的說(shuō)明),答案 (a)neSv (b)見(jiàn)解析,解析 (a)設(shè)t時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電量為q,由電流定義,有 I= = =neSv (b)每個(gè)自由電子所受的洛倫茲力:F洛=evB 設(shè)導(dǎo)體中共有N個(gè)自由電子,則N=n·Sl 導(dǎo)體內(nèi)自由電子所受洛倫茲力大小的總和 F=NF洛=nSl·evB 由安培力公式,有 F安=IlB=neSv·lB 得F安=F,1-2 2014北京理綜,24(3)經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為,金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng) 的自由電子與金屬離子(即金屬原子失去電子后的剩余部分)的碰撞。 展開你想象的翅膀,給出一個(gè)合理的自由電子的運(yùn)動(dòng)模型;在此基礎(chǔ)上, 求出導(dǎo)線MN中金屬離子對(duì)一個(gè)自由電子沿導(dǎo)線長(zhǎng)度方向的平均作用 力 的表達(dá)式。,得 =f洛=evB 方法二:能量解法 設(shè)電子從導(dǎo)線的一端到達(dá)另一端經(jīng)歷的時(shí)間為t,在這段時(shí)間內(nèi),通過(guò)導(dǎo) 線一端的電子總數(shù) N= 電阻上產(chǎn)生的焦耳熱是由于克服金屬離子對(duì)電子的平均作用力 做功 產(chǎn)生的。 在時(shí)間t內(nèi) 總的焦耳熱Q=N L 由能量守恒得Q=W電=EIt=BLvIt 所以 =evB,方法三:動(dòng)力學(xué)解法 因?yàn)殡娏鞑蛔?所以假設(shè)電子以速度ve相對(duì)導(dǎo)線做勻速直線運(yùn)動(dòng)。 因?yàn)閷?dǎo)線MN的運(yùn)動(dòng),電子受到沿導(dǎo)線方向的洛倫茲力f洛的作用, f洛=evB 沿導(dǎo)線方向,電子只受到金屬離子的平均作用力 和f洛作用,二力平衡 即 =f洛=evB,考點(diǎn)二 帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的分析思路,2-1 (2012北京理綜,16,6分)處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的一個(gè)帶電粒子,僅在磁場(chǎng) 力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。將該粒子的運(yùn)動(dòng)等效為環(huán)形電流,那么此電 流值 ( ) A.與粒子電荷量成正比 B.與粒子速率成正比 C.與粒子質(zhì)量成正比 D.與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比,答案 D 粒子僅在磁場(chǎng)力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有qvB=m ,得R= ,周期T= = ,其等效環(huán)形電流I= = ,故D選項(xiàng)正確。,D,2-2 (2016北京海淀一模,17)在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,有不計(jì)重力的 甲、乙兩個(gè)帶電粒子,在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向和軌跡如圖 所示。則下列說(shuō)法中正確的是 ( ) A.甲、乙兩粒子所帶電荷種類不同 B.若甲、乙兩粒子所帶電荷量及運(yùn)動(dòng)的速率均相等,則甲粒子的質(zhì)量較 大 C.若甲、乙兩粒子的動(dòng)量大小相等,則甲粒子所帶電荷量較大,D.該磁場(chǎng)方向一定是垂直紙面向里,B,答案 B 因?yàn)閮闪Ｗ佣寄鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn),速度方向相同時(shí)受洛倫茲力方向 相同,說(shuō)明二者所帶電荷種類相同,A項(xiàng)錯(cuò)。由Bqv=m 得R= ,若q、v 相等,又是同一磁場(chǎng),質(zhì)量大的軌跡半徑大,B項(xiàng)對(duì);若甲、乙兩粒子的動(dòng) 量大小相等,即mv相等,又B也相同,由R= 可知,q小的軌跡半徑大,由題 圖知,甲所帶電荷量較小,C項(xiàng)錯(cuò)。因?yàn)榱Ｗ铀鶐щ姾傻碾娦晕粗?因此 無(wú)法判定磁場(chǎng)方向,D項(xiàng)錯(cuò)。,考點(diǎn)三 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 1.圓心的確定 (1)已知入射方向和出射方向時(shí),可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別做垂直于 入射方向和出射方向的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心(如 圖甲所示,P為入射點(diǎn),M為出射點(diǎn))。 (2)已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的位置及入射方向時(shí),可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射 方向的垂線,連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn),作其中垂線,這兩條垂線的交點(diǎn)就是 圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示,P為入射點(diǎn),M為出射點(diǎn)。),甲 乙,2.半徑的確定 用幾何知識(shí)(勾股定理、三角函數(shù)等)求出半徑的大小。,3.角度關(guān)系 粒子速度的偏向角()等于回旋角(),并等于AB弦與切線的夾角(弦切角 )的2倍(如圖),即=2=t。且相對(duì)的弦切角()相等,與相鄰的弦切 角(')互補(bǔ),即+'=180°。,4.運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定 t= T或t= T或t= 。 式中為粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角,T為周期,s為運(yùn)動(dòng)軌跡的弧長(zhǎng), v為線速度。,3-1 (多選)在半導(dǎo)體離子注入工藝中,初速度可忽略的磷離子P+和P3+, 經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后,垂直進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙 面向里、有一定寬度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,如圖所示。已知離子P+在磁場(chǎng)中 轉(zhuǎn)過(guò)=30°后從磁場(chǎng)右邊界射出。在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),離子P+和P3+ ( ) A.在電場(chǎng)中的加速度之比為11 B.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為 1 C.在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比為12 D.離開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的動(dòng)能之比為13,BCD,答案 BCD 兩離子所帶電荷量之比為13,在電場(chǎng)中時(shí)由qE=ma知a q,故加速度之比為13,A錯(cuò)誤;離開電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的動(dòng)能由Ek=qU知Ek q,故D正確;在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑由Bqv=m 、Ek= mv2知R= ,故B正確;設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d,則有sin = ,即 = , 故'=60°=2,C正確。,3-2 空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,該區(qū)域的橫截面的半徑為R,磁場(chǎng) 方向垂直于橫截面。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q0)的粒子以速率v0沿橫 截面的某直徑射入磁場(chǎng),離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏離入射方向60°。不計(jì) 重力,該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 ( ) A. B. C. D.,A,答案 A 若磁場(chǎng)方向向上,帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾 何關(guān)系可知,其運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r= = R,由洛倫茲力提供向心力, 即qv0B= 知 R= ,故勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B= ,若磁場(chǎng)方 向向下可得到同樣的結(jié)果。選項(xiàng)A正確。,考點(diǎn)四 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題 1.臨界現(xiàn)象 當(dāng)帶電粒子進(jìn)入設(shè)定的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)后,其軌跡是一個(gè)殘缺圓,題中往 往會(huì)形成各種各樣的臨界現(xiàn)象。 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界點(diǎn)。 找臨界點(diǎn)的方法是以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等 詞語(yǔ)為突破口,借助半徑R和速度v(或磁場(chǎng)B)之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài) 運(yùn)動(dòng)軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點(diǎn)。,2.極值問(wèn)題 (1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相 切。 (2)當(dāng)速度v大小一定時(shí),弧長(zhǎng)越長(zhǎng),對(duì)應(yīng)的圓心角越大,則帶電粒子在有 界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。 (3)當(dāng)速度v大小變化時(shí),其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。 【情景素材·教師備用】 幾種常見(jiàn)的不同邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律: 直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性,如圖、所示),平行邊界(存在臨界條件,如圖、所示) 圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出,如圖所示),4-1 如圖所示,在真空區(qū)域內(nèi),有寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B, 磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界,一質(zhì)量為m、帶電荷量 為-q的粒子,先后兩次沿著與MN夾角為(0°90°)的方向垂直于磁感 線射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,第一次粒子以速度v1射入磁場(chǎng),粒子剛好沒(méi)能從PQ 邊界射出磁場(chǎng);第二次粒子以速度v2射入磁場(chǎng),粒子剛好垂直PQ射出磁 場(chǎng)(不計(jì)粒子重力,v1、v2均為未知量)。求 的值。,答案,解析 第一次粒子剛好沒(méi)能穿出磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何 關(guān)系有L=R1+R1 cos 得R1= 又由qv1B=m 得v1= = ; 第二次粒子垂直PQ邊界飛出的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系有R2= ,又由qv2B= ,得v2= = , 所以 = 。,4-2 如圖所示,M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板,兩板間電 壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值。靜止的帶電粒子帶電荷量 為+q,質(zhì)量為m(不計(jì)重力),從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后,從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的 勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,CD為磁場(chǎng)邊 界上的一絕緣板,它與N板的夾角為=45°,孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng), 當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí),粒子恰垂直打在CD板上,求:,(1)兩板間電壓的最大值Um。 (2)CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度s。 (3)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm。,答案 (1) (2)(2- )L (3),解析 (1)M、N兩板間電壓取最大值時(shí),粒子恰垂直打在CD板上(軌跡 如圖),由幾何關(guān)系知軌跡圓心在C點(diǎn),CH=QC=L 故半徑r1=L, 又qv1B=m qUm= m 解得Um=,(2)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與CD板相切于K點(diǎn)(如圖),此軌跡的半徑 為r2,設(shè)圓心為A,在AKC中:sin 45°= 解得r2=( -1)L,則KC=r2=( -1)L 所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度s=HK,即s=r1-r2=(2- )L (3)打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng),均為半個(gè)周期,所以tm= =,