高 考 大 題 增 分 專 項 六 高 考 中 的 概 率 、 統(tǒng) 計 與 統(tǒng) 計 案 例 -2-從近五年的高考試題來看,在高考的解答題中,對概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例的考查主要有三個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,以實際生活中的事例為背景,通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷,其中回歸分析、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率綜合,以現(xiàn)實生活為背景,利用頻率估計概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;三是古典概型的綜合應(yīng)用,以現(xiàn)實生活為背景,求某些事件發(fā)生的概率,常與抽樣方法、莖葉圖等統(tǒng)計知識交匯考查. -3-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五已知樣本的頻率分布表或樣本的頻率分布直方圖,求樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征.由于每個樣本的具體值不知道,只知道各區(qū)間上的端點值,這時取區(qū)間兩端數(shù)據(jù)的平均值作為樣本的具體值,求樣本的數(shù)字特征. -4-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 1我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. -5-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由;(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).解 (1)由頻率分布直方圖,可知月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.5=0.04.同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30. -6-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(2)由(1),100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以2x2.5.由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸. -7-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五對 點 訓(xùn) 練 1從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表: -8-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表); (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定? -9-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 (1) -10-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 =800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合 “質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定. -11-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五 -12-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. -13-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:當(dāng)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?當(dāng)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大? -14-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五 -15-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五 -16-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五對 點 訓(xùn) 練 2(2017湖北武漢五月調(diào)考)據(jù)某市地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究顯示,2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示,3月至7月房價上漲過快,為抑制房價過快上漲,政府從8月開始采用宏觀調(diào)控措施,10月份開始房價得到很好的抑制.(1)地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價y(萬元/平方米)與月份x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系,試建立y關(guān)于x的回歸方程; (2)若政府不調(diào)控,依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測第12月份該市新建住宅銷售均價. -17-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五 -18-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五在統(tǒng)計中,一般通過計算現(xiàn)實生活中某事件的頻率,從而用來估計事件的概率,然后用概率來解決其他相關(guān)問題. -19-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 3(2017全國,文19)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 -20-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附: -21-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 :(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62.因此,事件A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 -22-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. -23-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五對 點 訓(xùn) 練 3(2017北京,文17)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖: -24-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù);(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例. 解 : (1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4. -25-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-1000.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)10100=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60 =30.所以樣本中的男生人數(shù)為302=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為60 40=3 2. 所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3 2. -26-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五在求古典概型的概率時,常常應(yīng)用列舉法找出基本事件數(shù)及所求事件包含基本事件數(shù).列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、樹狀圖等. -27-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 4襄陽市某優(yōu)質(zhì)高中為了選拔學(xué)生參加“全國中學(xué)生英語能力競賽(NEPCS)”,先在本校進行初賽(滿分150分),若該校有100名學(xué)生參加初賽,并根據(jù)初賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,計算這100名學(xué)生參加初賽成績的中位數(shù);(2)該校推薦初賽成績在110分以上的學(xué)生代表學(xué)校參加競賽,為了了解情況,在該校推薦參加競賽的學(xué)生中隨機抽取2人,求選取的 2人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率. -28-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 (1)設(shè)初賽成績的中位數(shù)為x,則(0.001+0.004+0.009)20+0.02(x-70)=0.5,解得x=81,故初賽成績的中位數(shù)為81.(2)該校學(xué)生的初賽分?jǐn)?shù)在110,130)有0.00220100=4(人),分別記為A,B,C,D;分?jǐn)?shù)在130,150有0.00120100=2(人),分別記為a,b.在這6人中隨機選取2人,總的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)共15個,其中符合題設(shè)條件的基本事件有8個.故選取的2人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率為 -29-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五對 點 訓(xùn) 練 4某工廠對一批共50件的機器零件進行分類檢測,其質(zhì)量(單位:g)統(tǒng)計如下:規(guī)定質(zhì)量在82g及以下的為甲型,已知該批零件有甲型2件.(1)從該批零件中任選1件,若選出的零件質(zhì)量在95,100內(nèi)的概率為0.26,求m的值;(2)從質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率. -30-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 (1)因為從該批零件中任選1件,選出的零件質(zhì)量在95,100內(nèi)的概率為0.26,所以n=500.26=13,所以m=50-5-12-13=20.(2)質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,甲型有2件,分別記作a,b;剩下的3件分別記作c,d,e.從質(zhì)量在80,85)內(nèi)的5件零件中,任選2件,總的基本事件為ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種,其中恰有1件為甲型包含的基本事件個數(shù)為6, -31-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五需要代入的量比較多,且公式中兩類數(shù)據(jù)錯綜復(fù)雜,容易代錯,因此先運用列表法列出需要的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)依據(jù)公式進行合并,減少了代入公式量的個數(shù),再代入公式求解運算的準(zhǔn)確性高. -32-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 5某工廠有25周歲及以上的工人300名,25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲及以上”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖. 25周歲及以上組25周歲以下組 -33-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表,并判斷能否認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān). -34-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 (1)由已知得,樣本中有25周歲及以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有400.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:(A 1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,它們是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 -35-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲及以上組”中的生產(chǎn)能手有600.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有400.375=15(人),據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:所以得 因為1.793.841,所以可以認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān). -36-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五在獨立性檢驗中,應(yīng)用公式 需要代入的量比較多,且公式中兩類數(shù)據(jù)錯綜復(fù)雜,容易代錯,因此先運用列表法列出需要的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)依據(jù)公式進行合并,減少了代入公式量的個數(shù),再代入公式求解運算的準(zhǔn)確性高. -37-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五例 5某工廠有25周歲及以上的工人300名,25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲及以上”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖. -38-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五25周歲及以上組 25周歲以下組 -39-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表,并判斷能否認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān). -40-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五解 :(1)由已知得,樣本中有25周歲及以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有400.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:(A 1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,它們是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率 -41-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲及以上組”中的生產(chǎn)能手有600.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有400.375=15(人),據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:所以得 因為1.793.841,所以可以認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān). -42-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五對 點 訓(xùn) 練 5(2017湖南長沙一模)某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生使用智能手機對學(xué)習(xí)的影響”,部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: -43-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù),運用獨立性檢驗思想,指出有多大把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手機對學(xué)習(xí)有影響?(2)研究小組將該樣本中使用智能手機且成績優(yōu)秀的4名同學(xué)記為A組,不使用智能手機且成績優(yōu)秀的8名同學(xué)記為B組,計劃從A組推選的2人和B組推選的3人中,隨機挑選兩人在學(xué)校升旗儀式上作“國旗下講話”分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗,求挑選的兩人恰好分別來自A,B兩組的概率. -44-題 型 一 題 型 二 題 型 三 題 型 四 題 型 五因為6.6352,所以該研究小組有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生使用智能手機對學(xué)習(xí)有影響.(2)記A組推選的兩名同學(xué)為a1,a2,B組推選的三名同學(xué)為b1,b2,b3,則從中隨機選出兩名同學(xué)包含如下10個基本事件:(a 1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),記挑選的兩人恰好分別來自A,B兩組為事件Z,則事件Z包含如下6個基本事件:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), -45-解決概率與統(tǒng)計相結(jié)合的綜合問題,讀懂題意是關(guān)鍵,首先能從題目的統(tǒng)計背景中抽取有關(guān)概率的相關(guān)信息,然后將信息轉(zhuǎn)化為概率試驗中的基本關(guān)系,按照求某事件概率的方法,計算試驗的基本事件數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),最后依據(jù)古典概型或幾何概型的概率公式求解.