第1章算法初步1.4算法案例 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解解決“韓信點(diǎn)兵孫子問題”的算法思想；2.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的數(shù)學(xué)原理；3.能用偽代碼實(shí)現(xiàn)二分法求方程的近似解. 題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一本節(jié)涉及的內(nèi)置函數(shù)就像木工不必自己造鋸一樣，VB也把一些常用基礎(chǔ)工具做成內(nèi)置函數(shù)，以備使用者直接調(diào)用，下面是本節(jié)涉及的內(nèi)置函數(shù)：函數(shù)功能例子Mod(a，b)得到a除以b的余數(shù)Mod(9，2)1Val()將字符串轉(zhuǎn)換為數(shù)值Int(x)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)Int(3.9)3 思考知識(shí)點(diǎn)二“ 韓信點(diǎn)兵一孫子問題” 的數(shù)學(xué)本質(zhì)“三三數(shù)之剩二”是什么意思？如何用代數(shù)式表示？“三三數(shù)之剩二”意思是一堆東西，三個(gè)三個(gè)地分組，余二個(gè).設(shè)這堆東西數(shù)目為m，則m3x2，其中x指組數(shù). 答案 梳理“韓信點(diǎn)兵孫子問題”是求關(guān)于x，y，z的一次不定方程組_的正整數(shù)解. 思考知識(shí)點(diǎn)三輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的算法原理我們知道20485234.為什么204與85的最大公約數(shù)就是85與34的最大公約數(shù)？設(shè)204與85的最大公約數(shù)為a，則a能整除204，故能整除85234.又因?yàn)閍也是85的約數(shù)，故a能整除852，所以a必能整除34，即a是34的約數(shù)，從而是85與34的最大公約數(shù)，顯然，204與85的公約數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了85與34的公約數(shù)問題，問題難度降低了.答案 梳理一般地，有2種算法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：(1)輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)算步驟：第一步，給定.第二步，計(jì)算 .第三步， .第四步，若r0，則m，n的最大公約數(shù)等于 ；否則，返回.第二步兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn)m除以n所得的余數(shù)rm n，n r m (2)更相減損術(shù)的運(yùn)算步驟：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是.若是，用約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行.第二步，以的數(shù)減去的數(shù)，接著把所得的差與的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).相等偶數(shù)2第二步較大較小較小 思考知識(shí)點(diǎn)四二分法的實(shí)現(xiàn)你還能回憶起二分法的作用和原理嗎？二分法是用來(lái)求方程近似解的，其原理是先確定一個(gè)解所在的大致區(qū)間，然后借助零點(diǎn)存在定理，不斷縮小這個(gè)區(qū)間.答案 梳理求方程f(x)0在區(qū)間a，b上的近似解的步驟為：S1取a，b的中點(diǎn)x0(ab)，將區(qū)間一分為二.S2若 ，則x0就是方程的根，否則判斷根x*在x0的左側(cè)還是右側(cè)：若 ，則x* (x0，b)，以x0代替a；若 ，則x* (a，x0)，以x0代替b.S3若|ab|0f(a)f(x0)b)的最大公約數(shù)的一個(gè)算法嗎？并畫出流程圖，編寫偽代碼.類型二輾轉(zhuǎn)相除法的現(xiàn)代實(shí)現(xiàn) 解答 算法如下：S1輸入兩個(gè)正整數(shù)a，b；S2若Mod(a，b) 0，那么轉(zhuǎn)S3，否則轉(zhuǎn)S6；S3r Mod(a，b)；S4a b；S5b r，轉(zhuǎn)S2；S6輸出b.流程圖如圖： 偽代碼如下：Reada，bWhileMod(a，b) 0r Mod(a，b)a bb rEndWhilePrintb 利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對(duì)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對(duì)，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的較小數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù). 反 思 與 感悟 跟蹤訓(xùn)練2用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261和319的最大公約數(shù). 解答 輾轉(zhuǎn)相除法：3192611(余58)，261584(余29)，58292(余0)，所以319與261的最大公約數(shù)為29.更相減損術(shù)：31926158，26158203，20358145， 1455887，875829，582929，29290，所以319與261的最大公約數(shù)是29. 類型三求方程 f(x)0近似解的算法例3畫出用區(qū)間二分法求方程x3x10在區(qū)間1，1.5上的一個(gè)近似解(誤差不超過(guò)0.001)的一個(gè)算法流程圖并編寫偽代碼. 解答 流程圖如圖：a 1b 1.5c 0.001Do f(a) a3 a 1Iff(x0) 0ThenExitDoIff(a)f(x0)0Then b x 0Else a x0EndIfUntil|a b|cEndDoPrintx0 偽代碼如圖： 在此算法中用到了條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句，所以用“ Do”是因?yàn)橐獔?zhí)行再判斷是否滿足條件，因?yàn)椴恢h(huán)次數(shù)，所以也不宜用“ For”語(yǔ)句.反 思 與 感悟 跟蹤訓(xùn)練3改造例3中偽代碼，用來(lái)求f(x)lnx2x1在區(qū)間a，b上的一個(gè)近似解(誤差不超過(guò)c). 解析 偽代碼如圖：Read a， b， cDo f(a) lna 2a 1 f(x0) lnx0 2x0 1If f(x0) 0 Then Exit DoIf f(a)f(x0)0 Then b x0Else a x 0End IfUntil |a b|cEnd DoPrint x0 當(dāng)堂訓(xùn)練 2 3 41 1.m是一正整數(shù)，對(duì)兩個(gè)正整數(shù)a，b，若ab是m的倍數(shù)，則稱模m同余，用符號(hào)a b(Modm)表示.則a 5(Mod27)中，a的取值最小為_. 答案32 2.用更相減損術(shù)求36與134的最大公約數(shù)，第一步應(yīng)為_. 36與134都是偶數(shù)，第一步應(yīng)為：先除以2，得到18與67.先除以2，得到18與67 2 3 41答案 解析 3.求方程x5y3(其中y為自然數(shù))的所有小于100的x的正整數(shù)解，用偽代碼表示.算法的偽代碼如圖：解答y 0 x 0Whilex100 x 5y3Printxy y1EndWhile 2 3 41 4.求兩個(gè)正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù).8251610512146；6105214621813；214618131333；18133335148；333148237；1483740；則37為8251與6105的最大公約數(shù). 解答 2 3 41 規(guī) 律 與 方法1.求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是：將“輾轉(zhuǎn)”的過(guò)程用循環(huán)語(yǔ)句表示.為了避免求循環(huán)次數(shù)(對(duì)兩個(gè)具體的正整數(shù)，循環(huán)次數(shù)可以求出，但會(huì)使程序更為復(fù)雜)，最好使用“ While”語(yǔ)句.2.用二分法求方程近似解，必須先判斷方程在給定區(qū)間上是否有解.3.二分法的過(guò)程是一個(gè)多次重復(fù)的過(guò)程，故可用循環(huán)結(jié)構(gòu)處理.4.二分法過(guò)程中需要對(duì)中點(diǎn)(端點(diǎn))處函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判定，故實(shí)現(xiàn)算法需用選擇結(jié)構(gòu)，即用條件語(yǔ)句進(jìn)行分支選擇. 本課結(jié)束