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1、二 、 二 元 方 差 分 析 一 、 一 元 方 差 分 析 方差分析 二 、 統(tǒng) 計(jì) 分 析一 、 總 平 方 和 的 分 解單因素試驗(yàn)的方差分析 例 1 假 定 某 型 號(hào) 的 電 子 管 的 使 用 壽 命 服 從 正 態(tài) 分 布 ，并 且 原 料 差 異 只 影 響 平 均 壽 命 ， 不 影 響 方 差 。 現(xiàn)用 三 種 不 同 來(lái) 源 的 材 料 各 試 生 產(chǎn) 了 一 批 電 子 管 。 從每 批 中 各 抽 取 若 干 只 做 壽 命 實(shí) 驗(yàn) ， 得 數(shù) 據(jù) 如 下 表 。2試 問(wèn) 測(cè) 試 結(jié) 果 是 否 說(shuō) 明 這 批 電 子 管 的 壽 命 有 明 顯 差 異 ？材 料

2、批 號(hào) 壽 命 測(cè) 定 值 (單 位 :小 時(shí) ）123 1600 1610 1650 1680 1700 1700 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 18201.引 例三 個(gè) 水 平 因 素 試 驗(yàn) 指 標(biāo) 例 2 設(shè) 對(duì) 四 種 玉 米 品 種 進(jìn) 行 對(duì) 比 實(shí) 驗(yàn) ， 每 個(gè) 品種 都 在 同 一 塊 田 的 五 個(gè) 小 區(qū) 各 做 一 次 實(shí) 驗(yàn) ， 實(shí)驗(yàn) 結(jié) 果 如 下 表 所 示 。 試 問(wèn) 不 同 品 種 對(duì) 玉 米 的 平均 產(chǎn) 量 是 否 有 顯 著 影 響 ？品 種 產(chǎn) 量 （ 斤

3、 /小 區(qū) ）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.8 1A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8水 平 因 素 試 驗(yàn) 指 標(biāo) 設(shè) 在 試 驗(yàn) 中 ， 因 素 A有 m個(gè) 不 同 水 平 1 2, ,., ,mA A A在 水 平 下 的 試 驗(yàn) 結(jié) 果 2 ( , )( 1,2,., )i iX N i m 。其 中 和 是 未 知 參 數(shù) 。 在 水 平 下 作 次 獨(dú) 立 實(shí) 驗(yàn) ，其 結(jié) 果 如 表 1所 示 。i 2 iA in123 in 11 21

4、1mX X X12 22 2mX X X13 23 3mX X X11nX mmnX子 樣 均 值 iX 22nX1X mX2X 容 量 樣 本水 平 1A 2A mA 2. 數(shù) 學(xué) 模 型 表 1 是 來(lái) 自 總 體 的 容 量 為 的 一 個(gè) 樣 本 ， 其 觀 察 值 為 1 2 ii i inX X X， ， ， iX in2 ii i inx x x， ， ，0 1 2: mH 1 1 2: , , , ,mH 不 全 相 等 (1)由 于 相 互 獨(dú) 立 ， 且ijX 2 ( , )ij iX N 1,2,., ; 1,2, , ii m j n 若 記則 ( 1,2, , ; 1

5、,2, , )ij ij i iX m j n 2 (0, ),ij N 且 相 互 獨(dú) 立 要 判 斷 因 素 的 各 水 平 間 是 否 有 顯 著 差 異 ， 也 就 是要 判 斷 各 正 態(tài) 總 體 的 均 值 是 否 相 等 ， 即 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 2 (0, ) 1,2, ,1,2, ,ij i ijijij iX N i mj n 相 互 獨(dú) 立 (2)其 中 與 均 為 未 知 參 數(shù) 。式 （ 2） 稱(chēng) 為 單 因 素 方 差 分 析 的 數(shù) 學(xué) 模 型 。i ij 11 m i iii i nn ( 1,2, , )i m (3)再 令 1m iin n (5)1 20 1

6、,2, , ; 1,2, , (0, )ij i ijm i i ii ijX n i m j nN 且 相 互 獨(dú) 立則 是 各 水 平 下 總 體 均 值 的 加 權(quán) 平 均 ， 稱(chēng) 為 總 平 均 值 ； 代 表 了 第 i水 平 下 的 總 體 均 值 與 平 均 值 的 差 異 ，這 個(gè) 差 異 稱(chēng) 為 的 效 應(yīng) ，i iA 1 0m i ii n (4)由 式 (2),(3)可 以 得 到 單 因 素 方 差 分 析 的 等 價(jià) 數(shù) 學(xué) 模 型它 滿(mǎn) 足 式 (5)表 明 ： 樣 本 由 總 平 均 值 因 素 的 水 平 效 應(yīng) 隨 機(jī) 誤 差 三 部 分 疊 加 而 成 。因

7、 而 式 (5)也 稱(chēng) 為 線(xiàn) 性 可 加 模 型 。 (5)1 20 1,2, , ; 1,2, , (0, )ij i ijm i i ii ijX n i m j nN 且 相 互 獨(dú) 立 由 于 當(dāng) 為 真 時(shí) ，0H 1 2 m ，=各 水 平 的 效 應(yīng) 0, 1,2, ,i i i m =統(tǒng) 計(jì) 假 設(shè) 模 型 (1)等 價(jià) 于0 1 2: 0mH 1 1 2: , , , ,mH 不 全 為 零 (6)基 本 任 務(wù) ： 根 據(jù) 樣 本 提 供 的 信 息 ， 對(duì) 假 設(shè) (6)進(jìn) 行檢 驗(yàn) ， 并 估 計(jì) 未 知 參 數(shù) 21 2 , ,m ， ， 1 11 ,m i ii

8、m iin Xn n n 其 中 inj ijii n 11 則 類(lèi) 似 記 號(hào) ： 1 1 11 1inr rij i ii j i nn n 通 過(guò) 分 解 ， 構(gòu) 造 統(tǒng) 計(jì) 量組 內(nèi) 平 均 1 11 inm iji jX Xn 11 ( 1,2, , )ini ijjiX X i mn (7)(8)兩 者 間 的 關(guān) 系 稱(chēng) 為 總 離 差 平 方 和 。 21 1( )inmT iji jS X X 引 入 記 號(hào) 21 1( )inmT iji jS X X (10)總 離 差 平 方 和 分 解 2 21 1 1 1( ) ( )i in nm mij i ii j i jX

9、X X X 21 1( )inm ij i ii j X X X X 1 12 ( )( )inm ij i ii j X X X X 其 中 1 1( )( )inm ij i ii j X X X X 2 21 1 1 1( ) ( )i in nm mT ij i ii j i jS X X X X 2 21 1 1( ) ( )inm mij i i ii j iX X n X X E AS S 1 1( ) ( )i nm i ij ii jX X X X 1 1 0inm i ij i ii jX X X n X 21 1( )inmE ij ii jS X X 為 各 水 平 下

10、 的 樣 本 與 該 水 平 下 樣 本 均 值 的 離 差 平 方 和 ，反 映 了 各 水 平 下 樣 本 值 的 隨 機(jī) 波 動(dòng) 情 況 ， 稱(chēng) 為 組 內(nèi) 平方 和 。它 是 由 試 驗(yàn) 的 隨 機(jī) 誤 差 引 起 的 ， 故 又 稱(chēng) 誤 差 平 方 和 。 21 ( )mA i iiS n X X 為 各 水 平 下 的 樣 本 均 值 與 樣 本 總 均 值 的 （ 加 權(quán) ）離 差 平 方 和 ， 反 映 了 各 水 平 間 的 樣 本 值 的 差 異 ，稱(chēng) 為 組 間 平 方 和 。形 成 它 的 主 要 原 因 是 因 素 A的 各 水 平 下 的 不 同效 應(yīng) ， 故 又

11、稱(chēng) 為 效 應(yīng) 平 方 和 。 2 21m i ii n X nX 常 見(jiàn) 統(tǒng) 計(jì) 量1、 樣 本 均 值2、 樣 本 方 差 nk kXnX 11設(shè) nXXX , 21 是 來(lái) 自 總 體 X的 一 個(gè) 樣 本 ，常 用 來(lái) 估 計(jì) EX. nk k XXnS 1 22 )(11 nk k XnXn 1 22 )(11.,)1( 2nXDXE .)()2( 22 SE, 2 DXEX結(jié) 論 ： 設(shè) 為 來(lái) 自 總 體 的 一 個(gè) 樣 本 ，nXX ,1 X 21 1( )inmE ij ii jS X X 2 2 21 21 ( ) ( ) ( )im i i i i in ii X X X

12、 X X X 1 22 2 211 1 12 1 1 12 2 221 2 22 2 2 22 2 21 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mn nm m m m mn mX X X X X XX X X X X XX X X X X X 2 1( 1)n 22 22 1 2( 1) ( 1) ( 1) ( )E mS n n n n m 21 ( 1)m i ii n S 2 ( , ) ,ij i TX N S 且 獨(dú) 立 將 寫(xiě) 成 ：2 21 1( ) ( 1) ,inmT iji jS X X n S 2 21 11 ( )1 inm iji jS

13、X Xn 其 中 2 22 2( 1) ( 1), ( 1)TQ n S n n 自 由 度 為2 2 21 1 1( )inm mA i i ii j iS X X n X nX 2 2 1 1 ( , ), ( , ) , 0m mi i i i ii iiX N X N n n nn n 2 22 21 1 ( )m mA i i i ii iES E n X nX n E X nEX 2 21( 1) rA i iiES n n 即 2 22 21 ( ) ( )m i ii in nn n 2 2 2 21 1 1( 1) 2m m mi i i i ii i im n n n n

14、2 2 1( 1) m i iim n 11 0 mi i i i iim ii i A nn n 第 個(gè) 水 平 的 效 應(yīng) 故 2( )EE S n m 2 21( 1) mA i iiE S m n (12)(13)記 EE SS n m 2EE S 2 211 1 mA i iiE S nm (14)(15)1AA SS m 的 均 方ASES 的 均 方 2EES 2 211 1 mA i iiES nm (14)(15)(14)及 (15)兩 式 表 明 ： ES 是 的 無(wú) 偏 估 計(jì) ，2AS 僅 當(dāng) 0H 成 立 時(shí) 才 是 的 無(wú) 偏 估 計(jì) ，2否 則 它 的 期 望 值

15、 要 大 于 2。/A ES S 在 成 立 時(shí) 應(yīng) 接 近 于 1，0H而 當(dāng) H 1成 立 時(shí) 總 有 偏 大 的 傾 向 。 如 果 比 值 比 1大 得 多 ， 就 應(yīng) 拒 絕 假 設(shè)/A ES S 0H 。為 此 ， 我 們 采 用 AESF S (16)作 為 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 。0H當(dāng) 成 立 時(shí) ， 2/ES 與 2/AS 相 互 獨(dú) 立 ， 且 分 別 服 從 自 由 度(n-m)， (m-1)的 分 布 ， 故2 22/( 1)/( )AES mF S n m /( 1)/( )AES mS n m ( 1, )AES F m n mS 復(fù) 習(xí) ： F 分 布 的 分 位

16、 點(diǎn) 對(duì) 于 給 定 的 正 數(shù) 10 , 稱(chēng) 滿(mǎn) 足 條 件 ),(21 21 )(),( nnF dzzfnnFFP的 點(diǎn) 為 分 位 點(diǎn)分 布 的 上 ),( 21 nnF ),( 21 nnF ),( 21 nnF 對(duì) 給 定 的 顯 著 性 水 平 ， 由 ( 1, )P F F m n m 得 檢 驗(yàn) 問(wèn) 題 (1.1)或 (1.6)的 拒 絕 域 為( 1, )F F m n m (17)上 述 分 析 的 結(jié) 果 可 排 列 成 表 2的 形 式 稱(chēng) 為 方 差 分 析 表方 差 來(lái) 源 誤 差 E因 素 A總 和 均 方自 由 度平 方 和 顯 著 性F比21 1( )inm

17、E ij ii jS X X n m /( )E ES S n m /A EF S S1m1n /( 1)A AS S m 21 1( )inmT iji jS X X 21 ( )mA i iiS n X X 在 實(shí) 際 計(jì) 算 時(shí) ， 通 常 使 用 下 列 公 式2 22 21 1 1 1 1 11i i in n nm m mT ij ij iji j i j i j TS x x xn n 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1i in nm m m iA ij iji j i j ii iT TS x xn n n n E T AS S S 1 1inm iji jT x 1 ,

18、ini ijjT x其 中 例 1 設(shè) 對(duì) 四 種 玉 米 品 種 進(jìn) 行 對(duì) 比 實(shí) 驗(yàn) ， 每 個(gè) 品 種都 在 同 一 塊 田 的 五 個(gè) 小 區(qū) 各 做 一 次 實(shí) 驗(yàn) ， 實(shí)驗(yàn) 結(jié) 果 如 下 表 所 示 。 試 問(wèn) 不 同 品 種 對(duì) 玉 米 的平 均 產(chǎn) 量 是 否 有 顯 著 影 響 ？ (=0.01)品 種 產(chǎn) 量 （ 斤 /小 區(qū) ）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.8 1A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8 解 分 別 以 表 示 不

19、同 品 種 玉 米 平 均產(chǎn) 量 總 體 的 均 值 ， 按 題 意 需 檢 驗(yàn) 假 設(shè)1 2 3 4, , , 0 1 2 3 4:H 1 1 2 3 4: , , ,H 不 全 相 等 1 2 3 4n n n n =5,1 2 3 4n n n n n =20656.4,ijx 2 21677.50ijx 4m 品 種地 塊 產(chǎn) 量 1A 2A 4A3A 1 32.3 33.3 30.8 29.3 172.1 173.9 168.5 141.9 656.45 36.5 34.5 35.8 28.84 35.0 36.8 32.3 28.03 34.3 36.3 35.3 29.82 34

20、.0 33.0 34.3 26.0 iT 2iT2/5iT 5 21 ijj x 5923.682 6048.242 5678.45 4027.122 21677.5029618.41 30241.21 28392.25 20135.61 5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22 24 5 21 1 20T iji j TS x 47.72 E T AS S S 2 241 5 20iA i T TS 134.452注 意 到 4,m 1 2 3 4 5,n n n n 可 得 方 差 分 析 表 656.421725.22 182.17220 2656

21、.421677.5 20 方 差 分 析 表方 差 來(lái) 源誤 差 E因 素 A總 和 均 方自 由 度平 方 和 顯 著 性F 比47.72ES 2.98ES 15.04F 44.817AS 182.172TS 134.452AS 當(dāng) 時(shí) ，0.01 由 F分 布 表 可 查 得 0.01(3,16) (3,16) 5.29F F 由 于 0.0115.04 5.29 (3,16),F F 故 拒 絕 0,H 即 認(rèn) 為這 四 個(gè) 品 種 對(duì) 玉 米 平 均 產(chǎn) 量 的 影 響 高 度 顯 著 。 31916 作 區(qū) 間 估 計(jì) ，ji 作 點(diǎn) 估 計(jì)對(duì)為 此 可 用 jiji XX )11(

22、),()( 2 jijijijiji nnNXX ， 有代 替以的 無(wú) 偏 估 計(jì)為 EEE SrnQS ,22 )()11( )( rntS nnXXT Eji jiji ）（ )()( 22 22 rnSrnQ EE jiH ji ,:1 至 少 有 一 對(duì)接 受 有 時(shí) 需 要 對(duì) ji 則 的 置 信 度 為 1 的 置 信 區(qū) 間 為11)( 2 Ejiji SnnrntXX 由 上 面 討 論 ， 可 得 未 知 參 數(shù) 2, ,i 的 估 計(jì)2 ESn m 是 的 無(wú) 偏 估 計(jì) 。2 1 11 1i in ni ij i ij ji iE X E Xn n 1 1 11 1i

23、in nm ij i i ii j jE X E X nn n ii XX , 未 知 參 數(shù) 的 估 計(jì) 如 果 檢 驗(yàn) 結(jié) 果 為 拒 絕 ，0H 即 1 2, , , m 不 全 相 等 。 有 時(shí) 需 要 對(duì) 第 i個(gè) 水 平 及 第 k個(gè) 水 平 均值 差 作 出 區(qū) 間 估 計(jì) 。i k 為 此 ， 我 們 可 以 取作 為 的 點(diǎn) 估 計(jì) ，i kX X i k 注 意 到( ) i k i kE X X 2 1 1( ) ( )i k i kD X X n n ( ) (0,1)1 1i k i k i kX X Nn n 又 2 /ES n m 是 的 無(wú) 偏 估 計(jì) ，2

24、而2/ ES 2( ),n m 可 以 證 明 與 相 互 獨(dú) 立 。i kX X ES 2( )1/ 1/( )i k i ki kEX X n nT Sn m ( ) ( )1 1( )i k i kE i kX X t n mSn m n n i k 的 置 信 度 為 的 置 信 區(qū) 間 為1 2 1 1( ) ( )i k E i kX X t n m S n n 求 例 2中 未 知 參 數(shù) 的 點(diǎn) 估 計(jì) 及 均值 差 的 置 信 度 為 0.95的 區(qū) 間 估 計(jì) 。2 i ， ，解 的 點(diǎn) 估 計(jì) 為2 2 2.98ES Sn m = = 及 的 無(wú) 偏 估 計(jì) 分 別 為

25、i 4 51 11 656.4 32.8220iji jx xn ( 1,2,3,4)5ii i Tx i 例 2 11 34.42,5T 22 34.78,5T 3 33.70, 4 28.38 。當(dāng) 0.05 時(shí) ， /2 0.025(20 4) (16) 2.1199t t 0.025 1 1(16) ( )E i kt S n n 1 2, 1 3, 1 3 的 置 信 度 為 0.95的 置 信區(qū) 間 分 別 為 22.1199 2.98 2.3155 (34.42 33.70 2.315, 34.42 33.70 2.315) ( 1.595,3.035) 34.42 28.38

26、2.315, 34.42 28.38 2.315 (3.725,8.355)(34.42 34.78 2.315, 34.42 34.78 2.315) ( 2.675,1.955) 1 2 1 3 41 因 素 A分 3個(gè) 水 平 ， 對(duì) 每 個(gè) 水 平 進(jìn) 行 4次 試 驗(yàn) ，結(jié) 果 如 下 表 ：1 38 20 21 試 驗(yàn) 號(hào)i2 36 24 22 3 35 26 31 4 31 30 34 因 素 水 平1A 3A2A假 定 樣 本 都 是 從 同 方 差 的 正 態(tài) 總 體 中 抽 取 的 。 （ 1） 在 顯 著 性 水 平 下 ， 檢 驗(yàn) 假 設(shè)0.05 0 :H 組 均 值

27、相 等 。 （ 2） 求 未 知 參 數(shù) 及的 點(diǎn) 估 計(jì) 以 及 均 值 差 的 置 信 區(qū) 間 （ 置 信 度 為 95%）2 1 2 3, , , , 1 2 3, , 例 3 解 （ 1） 用 下 表 進(jìn) 行 計(jì) 算1 38 1444 20 400 21 414 試 驗(yàn) 號(hào)i2 36 1296 24 576 22 484 3 35 1225 26 676 31 9614 31 961 30 900 34 1156因 素 水 平1A 3A2A 21jnj ijiQ x 4926 2552 3042 10520jQ 1ix 2ix 23ix3ix22ix21ix 140 100 108 1

28、9600 10000 11664 4900 2500 2916 1jnj ijiT x 2jT jj jTP n 348jT T 10316jP 2 21 110520 (348) 42812T jS Q Tn 21 10316 10092 224A jS P Tn 428 224 209E T AS S S 方 差 分 析 表方 差 來(lái) 源 因 素誤 差總 和 224 3-1=2 112 4.94 204 13-3=9 22.67 428 12-1=11 均 方自 由 度平 方 和 比A F 查 表 得 0.05(2,9) 4.26, 4.94 4.26,AESF F S 拒 絕 0,H 即

29、 在 顯 著 性 水 平 下 ， 可 以 認(rèn) 為 組 平0.05 均 值 在 整 體 上 是 有 顯 著 差 異 的 。（ 2） 2 22.67E ES Sn s 1 .1 140/4 4.26x 2 .2 3 .325, 27x x 1 348 2912 12x T 1 .1 35 29 6x x 查 表 0.025(9) 2.2622t 。 0.05 1 1(9) ( )E j kt S n n1 2 1 3 2 3, , 的 置 信 度 為 95%的 置 信 區(qū) 間 分 別 為(2.3837, 17.6162), (0.3837, 15.6162)3 .3 27 29 2x x 2 .2

30、 25 29 4x x ( 9.6162, 5.6162) 2.2622 222.67 47.61626 一 共 進(jìn) 行 了 13次 試 驗(yàn) ， 假 設(shè) 樣 本 都 是 從 同方 差 的 正 態(tài) 總 體 中 抽 取 的 ， 試 驗(yàn) 結(jié) 果 如 下 表 ： 1 2 3 4 5 6試 驗(yàn) 號(hào) i因素水平 1A2A 3A 37 47 40 60 60 86 67 92 95 98 69 100 98 （ 1） 在 顯 著 性 水 平 下 檢 驗(yàn) 假 設(shè)0.01 0 1 2 3 1 1 2 3: , : , ,H H 不 全 相 等（ 2） 求 及 的 點(diǎn) 估 計(jì) 及 均 值2, , i ( 1,2,

31、3)i i 差 的 95%置 信 區(qū) 間 。 例 4 解 用 下 表 進(jìn) 行 計(jì) 算 ， 得試 驗(yàn) 號(hào)i 因 素 水 平1A 3A2A 2j ijQ x 8778 42578 42365 75721jQ 1ix 2ix 23ix3ix22ix21ix 184 498 267 8464 41334 23763 j ijT x jj jTP n 348jT T T 73561jP 1 37 1369 60 3600 69 4761 2 47 2209 86 7396 100 10000 3 40 1600 67 4489 98 96044 60 3600 92 8464 34 11565 95 9

32、0256 98 9604 2 69277Tn 21 75721 69277 6444T jS Q Tn 21 73561 69277 4284A jS P Tn 6444 4284 2160E T AS S S 方 差 分 析 表方 差 來(lái) 源因 素 誤 差總 和 4284 2 2142 9.9167 2160 10 216 6444 12 均 方自 由 度平 方 和 比A F （ 1） 查 表 得 0.01(2,10) 7.56,F 拒 絕 0,H 在 顯 著 性 水 平 下 ，0.01 可 以 認(rèn) 為 3個(gè) 水 平 下 的 期 望 有 顯 著 差 異 。（ 2） A EF S S 又9.9

33、167 7.56, 由 0.005(10) 3.1693t 得 2 1 .1 216, 73, 46x x 2 .2 3 3 183, 89, 46 73 27x x 2 83 73 10, 3 89 73 16 1 13.1693 216 ( )4 6 .1 .2( ) 30.1x x 1 2 的 置 信 區(qū) 間 為 37 30.1 即 (67.1, 7.1)。 0.005 1 1(10) ( )E j kt S n n 30.1 由 1 13.1693 216 ( ) 35.6,4 3 可 得 1 3 的 置 信 區(qū) 間 為 43 35.6 , 即 (78.6, 7.4)。由 1 13.1693 216 ( ) 32.9,6 3 可 得 2 3 的 置 信 區(qū) 間 為 6 32.9 , 即 (38.9， 26.9)。