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1、 高 等 數(shù) 學 B2 期 末 復 習第 六 章 定 積 分 應 用 -平 面 圖 形 面 積 和 旋 轉 體 體 積例 1 設 平 面 圖 形 由 拋 物 線 xy 22 及 直 線 ,0 x1y 所 圍 成 ， 求 （ 1） 該 平 面 圖 形 的 面 積 ；（ 2） 該 平 面 圖 形 繞 x軸 旋 轉 一 周 而 成 的 旋 轉 體體 的 體 積 )1,21(1 0 xy xy 22 解 dyyA 10 22)1( 1036y 61 21 2102 2211)2( xdxV 21022 x 4 y 練 習 ： 設 拋 物 線 22 , xyxy )103;31( 圍 成 平 面 圖 形

2、 ， 求（ 1） 平 面 圖 形 的 面 積 ； （ 2） 該 平 面 圖 形 繞 y軸旋 轉 一 周 而 成 的 旋 轉 體 的 體 積第 七 章 微 分 方 程例 2 微 分 方 程 221 xyyxdxdy 的 通 解 是 （ ）)1)(1( 2yxdxdy dxxydy )1(1 2cxxy 2arctan 2 )2tan( 2 cxxy 為 通 解（ 可 分 離 變 量 類 型 ） 例 3 設 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 的 通 解 是 ,321 xx ececy 3,1 rr 0)3)(1( rr 則 這 個 微 分 方 程 是 （ ）特 征 方 程 的 根

3、 ：特 征 方 程 ： 032 2 rr 032 yyy即微 分 方 程 是 例 4 設 函 數(shù) 321 , yyy )()()( xfyxQyxPy 32211)( yycycA 是 微 分 方 程的 3個 線 性 無 關 的 解 ， 則 該 方 程 的 通 解 為 （ ） 3212211 )()( yccycycB 3212211 )1()( yccycycC 3212211 )1()( yccycycD 3231 , yyyy 是 對 應 的 齊 次 微 分 方 程0)()( yxQyxPy 的 2個 線 性 無 關 的 特 解 ，原 方 程 的 通 解 為 3322311 )()( y

4、yycyycy D 例 5 微 分 方 程 xyy xyA )( 2)( xyB 有 一 個 特 解 是 （ ）xeyC )( xyD sin)( A例 6 求 微 分 方 程 xydxdyx sin2 的 特 解解 滿 足 初 始 條 件 22 4 xy x xyxdxdy sin2 x xxQxxP sin)(,2)( sin 22 cdxex xey dxxdxx 通 解 為 sin2 cdxxxx sin ln2ln2 cdxex xe xx （ 一 階 非 齊 次 線 性 類 型 ） sin2 cdxxxx cos2 cxxdx coscos2 cxdxxxx sincos2 cxx

5、xx cx xx x 2sincos 22 4 xy由 ,0c 微 分 方 程 的 特 解 為2sincos x xx xy 例 7 求 微 分 方 程 xeyyy 22 02 yyy,022 rr 的 通 解解 對 應 的 齊 次 線 性 微 分 方 程 為特 征 方 程 為 0)1)(2( rr特 征 方 程 的 根 為 2,1 rr齊 次 線 性 微 分 方 程 的 通 解 為 xx ececxY 2 21)( 1因 不 是 特 征 方 程 的 根 ，,)(* xaexy 代 入 ， 得 ,1a ,)(* xexy 所 求 的 通 解 為 xxx eececxyxYy 221* )()(

6、 ),( 21 Rcc所 以 令 原 方 程 特 解 練 習 ： 微 分 方 程 xxeyyy 42 042 yyy,042 2 rr 的 一 個 特 解 具 有解 對 應 的 齊 次 線 性 微 分 方 程 為特 征 方 程 為特 征 方 程 的 根 為 51 2,1 r1因 不 是 特 征 方 程 的 根 ， ,)()(* xeBAxxy 所 以 原 方 程 特 解 形 式 為 ： 形 式 為 )()(* xy ;)()( xeBAxA ;)( xAxeB ;)( 2 xeAxC xeBAxx )()( DA 第 八 章 空 間 解 析 與 向 量 代 數(shù)一 數(shù) 量 積 與 向 量 積 計

7、 算 與 應 用例 8 設 ,kjia 2 ,kjib 2 )(abrjP 則 a與 b的 夾 角為 （ ） ， 投 影ba bacos ,21663 ;32 bbaabrjP 263 6練 習 ： 向 量 a與 )2,1,2( b 平 行 ， 且 滿 足 ,18-ba則 a=( ) )4,2,4( 例 9 已 知 ,)211( ,-a ,2),1(0,-b )(ba則以 a,b為 鄰 邊 的 平 行 四 邊 形 的 面 積 為 （ ）baS 210 211 kjiba ,kji 205練 習 ： 設 點 ,)5,4,2(,)3,2,1( BA 則 與 向 量 AB同 方 向的 單 位 向 量

8、 是 （ ） )32,32,31( 二 直 線 與 平 面 方 程 及 應 用 ：例 10 已 知 ,)1,1,2(,)1,2,1( ba )1,1,1(0M112 121 kjiban 則 過 點且 平 行 于 a和 b的 平 面 方 程 為 （ ）取平 面 方 程 ： 0)1(5)1()1(3 zyx kji 53 )0153( zyx練 習 ： 求 與 平 面 132 zyx 垂 直 ， 與 直 線413221 zyx 平 行 、 且 過 點 )1,1,1( 的 平 面 方 程042 zyx 例 11 求 與 兩 平 面的 交 線 平 行 ， 且 過 點 的 直 線 方 程34 zx 1

9、52 zyx)5,2,3(和解 直 線 的 方 向 向 量 512 40121 kjinns直 線 方 程 ： 153243 zyx kji 34練 習 ： 經(jīng) 過 兩 點 )4,0,1(,)2,1,1( BA 的 直 線 方 程為 （ ） 221121 zyx 例 12 兩 平 行 平 面 與間 的 距 離 為 （ ）0362145 zyx 092145 zyx 2,0 yx令 ,4z 得 點 )4,2,0( 距 離 419625 9828 d 31545 在 第 一 個 平 面 上 任 取 一 點 ， 求 點 到 面 的 距 離 例 13 設 直 線 與則 兩 直 線 的 夾 角 為 （

10、） 182511:1 zyxl 32 6:2 zy yxl6)( A 4)( B 3)( C 2)( D)1,2,1( 1 s )2,1,1(120 011212 kjinns 21663cos 21 21 ss ss 3 兩 直 線 的 方 向 向 量 ： 例 14 直 線 37423 zyx 3224 zyx ,)3,7,2( s 與 平 面的 位 置 關 系 是 （ ）（ A） 平 行 ， 但 直 線 不 在 平 面 上（ B） 直 線 在 平 面 上（ C） 垂 直 相 交（ D） 相 交 ， 但 不 垂 直 )2,2,4( n 0ns)0,4,3( 且 直 線 上 的 點 A直 線

11、的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量 分 別 為 ： 302)4(2)3(4 練 習 1： 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 下 列 方 程 是 柱面 方 程 的 是 （ ）1)( 222 zyxA 02)( 2 xxzB222)( yxz C 22)( yxz D柱 面 方 程 的 特 點 ： 只 含 有 兩 個 變 量 的 方 程B練 習 2： xoy 坐 標 面 上 的 雙 曲 線 3694 22 yx繞 x軸 旋 轉 一 周 ， 所 生 成 的 旋 轉 曲 面 的 方程 為 （ ） 36994 222 zyx 第 九 章 多 元 函 數(shù) 微 分 學 及 應 用1.簡 單

12、 二 元 函 數(shù) 的 極 限 （ 二 重 極 限 ）例 15 函 數(shù) ,0,0 0,)1(sin),( 2 yyxy xyyxf )0,0( )1(sinlim),(lim 2)0,0(),()0,0(),( xy xyyxf yxyx 則 函 數(shù) 在 點（ ）（ A) 連 續(xù) （ B） 極 限 不 存 在（ C)極 限 存 在 ， 但 不 連 續(xù) （ D） 無 定 義2)0,0(),( 1sinlim xxxyxyyx 001 ,0)0,0( f A 練 習 ： )(11lim00 xyxyyx 21,0,0 0,),( 22 2222 3 yx yxyx xyxf例 16 設 則 )()0

13、,0( xf偏 導 數(shù) 定 義 x fxff xx )0,0()0,0(lim)0,0( 0 1lim0 xxx 例 17 設 ,sinxyez )(xz yxyexz xy cossin 則 xyye xy cossin例 18 設 ,sin2 yxz 則 )(dz全 微 分 公 式 ： dyyzdxxzdz ydxxsin2 ydyx cos 2 偏 導 數(shù) ：練 習 ： 函 數(shù) xyz 在 點 )2,3( 全 微 分 )(dz dydxdz 32 例 19 設 ,),( xyyfz xy zyz 2, 其 中 f具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) ，求解 z yxxffyz 121 21

14、 1 fxf )1( 212 fxfxxy z )(11)( 22222212 xyfxfxxyf 22223122 1 fxfxyfxy 練 習 ： 設 ,),( 22 xyeyxfz yx zxz 2,212 fyefxxz xy 求 22221222112 )1()(24 fexyfxyefeyxfxyyx z xyxyxy 例 20 設 ),( yxzz 是 由 xyez z 所 確 定 的 二 元函 數(shù) ， 求 yx z 2 （ 隱 函 數(shù) 的 導 數(shù) ）解 令 函 數(shù) xyezzyxF z ),(zxFFxz ,11 zz eyey zyFFyz ,1 zex)1( 2 zeyyy

15、x z 2)1( )1( z zz e yzyee 32 )1( )1( z zz e xyee 練 習 ： 設 ),( yxzz 0),( zyyxfdz是 由二 元 函 數(shù) ， 求 所 確 定 的dyf ffdxffdz 2 2121 二 元 函 數(shù) 的 性 質 之 間 的 關 系 ：),(,),( yxfyxf yx 在 ),( 00 yx 處 連 續(xù)),( yxf 在 ),( 00 yx 處 可 微),( yxf 在 ),( 00 yx 處 連 續(xù) ),(,),( yxfyxf yx 在 處 都 存 在),( 00 yx 例 21 設 ,0,0 0,)(),( 22 222322 22

16、 yx yxyx yxyxf 討 論 （ 1）),( yxf 處 偏 導 數(shù) 是 否 存 在 ？在 )0,0( )0,0(在),()2( yxf 處 是 否 可 微 ？解 x fxff xx )0,0()0,0(lim)0,0()1( 0 yy 00lim0 0y fyff yy )0,0()0,0(lim)0,0( 0 xx 00lim0 0（ 2） 證 明 0)0,0()0,0(lim0 yfxfz yx ? )0,0()0,0(lim0 yfxfz yx 2200 )()( )0,0(),(lim yx fyxfyx 222 2200 )()( )()(lim yx yxyx 因 為 0

17、)( 0lim)()( )()(lim 400222 2200 xyx yx yxyx 41)(4 )(lim)()( )()(lim 4400222 220 xxyx yx yxxy所 以 222 2200 )()( )()(lim yx yxyx 不 存 在 ，)0,0(在),( yxf 處 不 可 微 多 元 函 數(shù) 微 分 法 的 應 用 ：求 極 值 或 最 值幾 何 上 應 用 空 間 曲 線 的 切 線 與 法 平 面曲 面 的 切 平 面 與 法 線無 條 件 極 值條 件 極 值 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 例 22 設 曲 線 32, tztytx )1,1,1()1,1,

18、1( 在 點切 線 與 法 平 面 方 程 處 的解 點 對 應 的 參 數(shù) 1t曲 線 在 任 一 點 處 的 切 向 量 為),( dtdzdtdydtdxT )3,2,1( 2tt在 點 )1,1,1( 處 的 切 向 量 為 )3,2,1(T切 線 方 程 為 312111 zyx法 平 面 方 程 為 0)1(3)1(21 zyx即 0632 zyx 例 23 求 曲 面 32 xyez z )0,2,1(32),( zxyezyxF z 在 點 處 的切 平 面 方 程解 令 函 數(shù)曲 面 在 任 一 點 處 的 法 向 量 為,)1,2,2( zexyn )0,2,4()0,2,

19、1( n切 平 面 方 程 為 0)2(2)1(4 yx即 042 yx練 習 ： 在 曲 面 xyz 上 求 一 點 ， 使 這 一 點 處 的法 線 垂 直 于 平 面 ,093 zyx 并 求這 一 法 線 方 程 133113 zyx 例 24 若 函 數(shù) yxyaxxyxf 22),( 22 )1,1( )(a 在 點取 得 極 值 ， 則 ,0),(),( 0000 yxfyxf yx練 習 ： 設 則 點由 取 得 極 值 的 必 要 條 件 ： 0)1,1( xf 0)1,1( yf即 014 a 5a ),( 00 yx 一 定是 函 數(shù) ),( yxf 的 （ ）（ A）

20、駐 點 （ B） 極 大 值 點（ C） 極 小 值 點 （ D） 連 續(xù) 點A 例 25 求 函 數(shù) 1),( 22 yxyxyxyxf 012),( yxyxfx 012),( yxyxfy 的 極 值解 （ 無 條 件 極 值 ）必 要 條 件得 唯 一 駐 點 ： )1,1(充 分 條 件 ：,2)1,1( xxfA ,1),( yxfxy ,2),( yxfyy,2),( yxfxx ,1)1,1( xyfB ,2)1,1( yyfC由 ,032 BAC 且 ,02A 函 數(shù) ),( yxf 在)1,1( 處 取 得 極 小 值 為 2)1,1( f 例 26 求 內 接 于 半 徑

21、 為 的 球 ， 且 有 最 大 體 積 的 長方 體 （ 條 件 極 值 ） 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法解 設 長 方 體 的 長 、 寬 、 高 各 為 , zyx,V xyzV 體 積 為 則 滿 足 2222 4azyx 建 立 拉 格 朗 日 函 數(shù) ： )4(),( 2222 azyxxyzzyxL 由 02 xyzLx 02 yxzLy 02 zxyLz 2222 4azyx )0,0,0( zyx 332 azyx 長 方 體 為 棱 長 等 于 332 a 的 正 方 體 時 ， 體 積 最 大（ 目 標 函 數(shù) ） （ 條 件 函 數(shù) ）（ 可 能 的 極 值 點 唯 一

22、） 第 十 章 重 積 分 （ 二 重 、 三 重 ）例 27 改 變 積 分 次 序 ) (),(22221 xxx dyyxfdx xy 2 xyo 22 22 xxy )1,1(11y 10 dy 2112 ),(yy dxyxf xyo例 28 化 二 重 積 分 D dyxf ),( 為 極坐 標 系 下 的 二 次 積 分 ， 其 中D 是 由 圓 422 yx 與 x軸 ，y軸 圍 成 的 第 一 象 限 422 yx22 D dyxf ),( 2020 )sin,cos( dfd 練 習 2： 設 ,1: yxD則 ) (D d xyo11 1面 積 為 211214 1 yx

23、1 yx 1 yx 1 yx練 習 1： 化 二 次 積 分 為 極 坐 標 形 式 21110 ),(xx dyyxfdx ) ( xyo xy 1 21 xy 1 1 cossin 120 )sin,cos( dfd 例 29 設 ,),( ayxaxayxD ,0),(1 ayxaxyxD ) ()sincos( D dyxxy 則 xyo xyay ax a 1D2D 22 )sincos()sincos( DD dyxxydyxxy 原 式 2D0)sincos( 2 D dyxxy 12 sincos20)sincos( DD ydxdyxxy 1 sincos2)( D ydxd

24、yxA 12)( D xydxdyB 1 )sincos(4)( D dxdyyxxyC 0)(D A 練 習 ： 設 ,1: yxD ) ()( 22 D dxdyyxxy,22 dyxyD 則(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0 D例 30 計 算 D是 由 直 線 1, xxy及 0y 圍 成 xyo xy 1解 原 式 = x dyyxydx 0 2210 x x yxdyxdx 0 22212210 )()(21 1 0 02322 )(3221 dxyx x 10 331 dxx 121121 104 x 練 習 ： 計 算 ,sin dxdyx xD ,),( 2 xy

25、xyxD 1sin1例 31 求 ,dxyD 其 中 D是 由 拋 物 線 xy 2 及 直 線2 xy 所 圍 成 的 區(qū) 域 xyo xy 2 2 xy21 解 求 交 點 22 xy xy ,)1,1( )2,4( y原 式 221 2yy xdxydy 21 22 22 dyxy yy 21 42 )44(21 dyyyyy 216234 )62344(21 yyyy 845 例 32 計 算 ,4 22 D yxdxdy 0,21: 22 yyxD x解 yo 1 22 yx 222 yx 原 式 D dd 24 21 20 4 dd 21 2 24 )4(21 d 2124 )23

26、( 例 33 計 算 ,dVxy 122 yx由 柱 面 及 平 面0,0,0,1 yxzz 圍 成 的 第 一 卦 限 的 閉 區(qū) 域解 x yzo 122 yx0z 1z 0 x0y 111用 直 角 坐 標 計 算 ：原 式 xyD dzxydxdy 10 10 10 2x ydyxdxdxyx x 10 102 22 dxxx 10 2)1(2181)42(21 1042 xx 例 34 計 算 ,dVz zyx 22是 由 曲 面 及 平 面2z 所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 x yzo zyx 222z 2: 22 yxDxy原 式解 一 利 用 柱 面 坐 標 計 算dzddz 2

27、0 d 20 d 22 zdz 2220 222 zd 20 4)4( d2062 )62( 38 例 34 計 算 ,dVz zyx 22是 由 曲 面 及 平 面2z 所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 x yzo zyx 222z原 式 =解 二 用 直 角 坐 標 計 算 zD dxdy20 zdz zzdz 20 38 先 二 后 一 法 2z zD2033z練 習 ： 計 算 ,)( 22 dVyx 是 由 曲 面 zyx 222 及 平 面 2z 所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 316 例 35 計 算 曲 面 226 yxz 22 yxz x與立 體 的 體 積 圍 成 的 yzo解 22

28、 226 yxz yxz 22 yxz 226 yxz 求 交 線 ： 2 422z yx 2 422 yx體 積 dVV dzdd 26 dz 20 d 20 d 20 2 )6(2 d2 0342 )343(2 332 例 36 計 算 ,222 dVzyx ozzyx 222 其 中 是 由 球 面所 圍 成 的 閉 區(qū) 域x yz解 zzyx 222利 用 球 面 坐 標 計 算原 式 ddrdrr sin2 1 cosr cos0 3drr20 sin d 20 d 20 4 sin4cos2 d204cos10 10 第 十 二 章 無 窮 級 數(shù)無 窮 級 數(shù) 常 數(shù) 項 無 窮

29、 級 數(shù)冪 級 數(shù)例 37 若 級 數(shù) 1 )2(n nu )(lim nn u收 斂 ， 則級 數(shù) 收 斂 的 必 要 條 件 ： 0)2(lim nn u 2 ,51 12 n na )3(,3 6421 2 收 斂 ） aaaan n ,2)1(1 n nna例 38 已 知 級 數(shù) 則 級 數(shù))(1 n na )1(2)1( 43211 收 斂 ） aaaaan nn因 為 ）（收 斂 ） 2(,55311 12 aaaan n:)1()2( :)3()2( 1 21 121 n nn nn n aaa C3)(A 7)(B 8)(C 9)(D 例 39 判 斷 級 數(shù) )12( 21

30、 2 nnn n ,21 2n nnnnn uu 1lim 的 收 斂 性對 于 正 項 級 數(shù) 用 比 值 審 斂 法 ：21 2 22 )1(lim nn nnn 121 1 22n nn級 數(shù) 收 斂 ， 1 21 - n nP 級 數(shù)又 收 斂所 以 級 數(shù) )12( 21 2 nnn n 收 斂 練 習 1： 級 數(shù) 1 !2n nnn n 1 11n n 的 斂 散 性 為 （ ）收 斂練 習 2： 級 數(shù) 的 斂 散 性 為 （ ）發(fā) 散練 習 3： 級 數(shù) )(1)1( 1 n n n（ A） 發(fā) 散 （ B） 絕 對 收 斂（ C） 條 件 收 斂 （ D） 以 上 都 不

31、是C 例 40 討 論 級 數(shù) 1 1)1(n pn n 1 1n pn 的 絕 對 收 斂 與 條 件 收斂 性解 級 數(shù) 收 斂 ， 所 以 級 數(shù) 1 1)1(n pn n絕 對 收 斂 ； 1 1)1(n pn n時 ，當 10 p 1p當 時 ，級 數(shù) 1 1n pn 發(fā) 散 ， 又 數(shù) 列 pn1 單 調減 少 ， 且 ,01lim pn n 所 以 級 數(shù)收 斂 ； 條 件0p當 時 ， ,01lim pn n因 為 所 以 級 數(shù) 1 1)1(n pn n發(fā) 散 例 41 冪 級 數(shù) nn nxa0nn nxa0則 其 收 斂 半 徑 R=（ ）由 已 知 ， 在 處 為 條

32、件 收 斂 ，ex ex 在 處 收 斂 ，所 以 當 ex 時 ， n n nxa0 絕 對 收 斂 ，假 設 當 ex 時 ， nn nxa0 收 斂 ， 則 級 數(shù) 在 ex 處 絕 對 收 斂 ， 與 已 知 矛 盾 ， 所 以 當 ex 時 ，級 數(shù) 發(fā) 散 ， 其 收 斂 半 徑 為 e 練 習 1 冪 級 數(shù) nn nxa1 2x nn nxa1在 處 收 斂 ， 則在 1x 處 （ ）（ A） 發(fā) 散 （ B） 無 法 確 定（ C） 條 件 收 斂 （ D） 絕 對 收 斂D練 習 2 冪 級 數(shù) 1 1)1(n nn nx 的 收 斂 域 （ ） 1,1( 例 42 求 冪

33、 級 數(shù) 1 )5(n nnx,5 xt 1n nnt的 收 斂 域解 令 級 數(shù) 變 為nnn aa 1lim ,11lim nnn 11 R又 當 1t 時 ， 級 數(shù) 1 1n n 發(fā) 散 ，當 1t 時 ， 級 數(shù) 1 )1(n nn 收 斂 ，級 數(shù) 1n nnt 的 收 斂 域 為 )1,1所 以 級 數(shù) 1 )5(n nnx 的 收 斂 域 為 )6,4 練 習 已 知 冪 級 數(shù) 0 )2(n nn xa 5,1(0 x在 處 收 斂 ，則 0 )3(n nn xa域 為 （ ）在 處 發(fā) 散 ，4x 的 收 斂 例 43 求 級 數(shù) 11 nn xnnnn aa 1lim ,

34、11lim nnn的 和 函 數(shù) ， 且 指 出 收 斂 域解 11 R收 斂 區(qū) 間 為 )1,1(,1x 級 數(shù) 均 發(fā) 散 ， 所 以 收 斂 域 為 )1,1(設 和 函 數(shù) ,)( 11 nn xnxs dxnxdxxs n x nx 1 0 10 )( 1n nx xx1則)1()( xxxs ,)1( 1 2x )1,1(x 練 習 求 級 數(shù) 1n nnx , )1ln()( xxs )1,1x的 和 函 數(shù) ， 且 指 出 收 斂 域例 44 將 函 數(shù) 2)2( 1)( xxf 展 成 x 的 冪 級 數(shù)2112121 xx )2()2(2121 2 nxxx,2 0 1 n nnx ,12 x 22 x)21()2( 1 2 xx 0 1 )2(n nnx 1 112n nnnx 例 45 將 函 數(shù) )1)(2( 12)( xx xxf )1( x1121)( xxxf 展 成 的 冪 級 數(shù))1(2 1)1(1 1 xx211 121)1(1 1 xx 00 )21(21)1()1( n nn nn xx nnn n x )1(21)1( 10 x滿 足 1211 111 xx 02 x 練 習 將 函 數(shù) xxf 11)( )2( x10 3 )2()1( n nn n x 展 成 的 冪 級 數(shù))5,1(x