第一章 數列4數列在日常經濟生活中的應用 1.能夠利用等差數列、等比數列解決一些實際問題.2.了解“零存整取”，“定期自動轉存”及“分期付款”等日常經濟行為的含義.學習目標 題型探究問題導學內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1知識點一單利、復利第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按單利計息，則每個月所得利息是否相同？按單利計息，上一個月的利息在下一個月不再計算利息，故每個月所得利息是一樣的.答案 思考2第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按復利計息，則每個月所得利息是否相同？不同.因為按復利計息，上一個月的本金和利息就成為下一個月的本金，所以每個月的利息是遞增的.答案 梳理一般地，(1)單利是指：僅在原有本金上計算利息，對本金所產生的利息不再計算利息.利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和為 .(2)復利是指把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期的本金是不同的.利息按復利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和 .a(1rx)a(1r) x 知識點二數列應用問題的常見模型1.整存整取定期儲蓄一次存入本金金額為A，存期為n，每期利率為p，到期本息合計為an，則 .其本質是等差數列已知首項和公差求第n項問題.2.定期存入零存整取儲蓄每期初存入金額A，連存n次，每期利率為p，則到第n期末時，應得到本息合計為： .其本質為已知首項和公差，求前n項和問題.anA(1np) 3.分期付款問題貸款a元，分m個月將款全部付清，月利率為r，各月所付款額和貸款均以相同利率以復利計算到貸款全部還清為止.其本質是貸款按復利整存整取，還款按復利零存整取，到貸款全部還清時，貸款本利合計還款本利合計. 題型探究 類型一等差數列模型例1第一年年初存入銀行1 000元，年利率為0.72%，那么按照單利，第5年末的本利和為_元.1 036 答案 解析設各年末的本利和為an，由ana(1nr)，其中a1 000，r0.72%， a51 000(150.72%)1 036(元).即第5年末的本利和為1 036元. 反 思 與 感 悟把實際問題轉化為數列模型時，一定要定義好數列，并確認該數列的基本量包括首項，公比(差)，項數等. 跟蹤訓練1一同學在電腦中按a11，anan1n(n 2)編制一個程序生成若干個實心圓(an表示第n次生成的實心圓的個數)，并在每次生成后插入一個空心圓，當某次生成的實心圓個數達到2 016時終止，則此時空心圓個數為 A.445 B.64C.63 D.62答案 解析 由題意可得：a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，將上式相加，可得a n123n ，令 2 016，解得n63，由題意可得，空心圓為63個，故選C. 類型二等比數列模型定期自動轉存屬于復利問題，設第n年末本利和為an，則a1880.0258(10.025)，a2a1a10.0258(10.025)2，a 3a2a20.0258(10.025)3， a58(10.025)5，即5年末的本利和是81.0255.例2現存入銀行8萬元，年利率為2.50%，若采用1年期自動轉存業(yè)務，則5年末的本利和是_萬元. 答案 解析81.0255 反 思 與 感 悟在建立模型時，如果一時搞不清數列的遞推模式，可以先依次計算前幾項，從中尋找規(guī)律. 跟蹤訓練2銀行一年定期儲蓄存款年息為r，按復利計算利息；三年定期儲蓄存款年息為q，按單利計算利息.銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期的存款，那么q的值應大于_.設儲戶開始存入的款數為a，由題意得，a(13q)a(1r)3， q (1r)31. 答案 解析 類型三分期付款例3用分期付款的方式購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息.簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止，商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？解答 購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數組成數列an，則a12(255)10%4(萬元)；a22(2552)10%3.8(萬元)；a32(25522)10%3.6(萬元)， 因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元. 反 思 與 感 悟建立模型離不開準確理解實際問題的運行規(guī)則.不易理解時就先試行規(guī)則，從中觀察歸納找到規(guī)律. 跟蹤訓練3某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為，從今年年末開始每年償還一定金額，預計5年還清，則每年應償還 答案 解析 根據已知條件知本題屬于分期付款問題，設每年應償還x萬元，則x(1)4(1)31a(1)5， 當堂訓練 設第n天蜜蜂飛出蜂巢中共有an只蜜蜂，則a11，a25a1a16a1，a35a2a26a2， an是首項為1，公比為6的等比數列. a7a1q7166.1.一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飛出去找回了5個小伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴，如果這個找伙伴的過程斷續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂 A.65只 B.66只C.216只 D.36只答案 解析1 2 3 1 2 3可遞推下去，4小時后分裂成18個并死去一個，5小時后分裂成34個并死去一個；6小時后分裂成66個并死去一個，得65個存活. 2.某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個， ，按照這種規(guī)律進行下去，6小時后細胞的存活數是 A.32 B.31C.64 D.65答案 解析 1 2 3 3.一群羊中，每只羊的重量數均為整千克數，其總重量為65千克，已知最輕的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克數恰構成一等差數列，則這群羊共有 A.6只 B.5只C.8只 D.7只答案 解析 1 2 3 依題意除去一只羊外，其余n1只羊的重量從小到大依次排列構成等差數列.設a17，d0，Sn1651055， 1 2 3 55115且(n1)為正整數， 規(guī) 律 與 方 法1.數列應用問題的常見模型(1)一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，那么該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(d為常數).(2)如果增加(或減少)的百分比是一個固定的數時，那么該模型是等比模型.(3)如果容易找到該數列任意一項 a n1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關系式，那么我們可以用遞推數列的知識求解問題. 2.數列綜合應用題的解題步驟(1)審題弄清題意，分析涉及哪些數學內容，在每個數學內容中，各是什么問題. (2)分解把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個小“步驟”分別是數列問題、函數問題、解析幾何問題、不等式問題等.(3)求解分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個問題的解答.(4)還原將所求結果還原到實際問題中. 本課結束