《曲面積分與曲線積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《曲面積分與曲線積分（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、106 高斯公式 通量與散度一、高斯公式二、通量與散度高斯公式的物理意義、散度散度的計(jì)算、通量、高斯公式的另一形式 一、高斯公式 定理1 設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有dvzRyQxPW S RdxdyQdzdxPdydz ， 或 dvzRyQxPW dSRQP )coscoscos(S 這里S是W的整個(gè)邊界的外側(cè)，cos 、cos 、cos是S上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦 這兩個(gè)公式稱為高斯公式證 明 如圖所示，把S看成由S1，S2和S3三部分組成，其中S1和S2的方

2、程分別為zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下側(cè)，S2 取上側(cè)，S3 取外側(cè)設(shè)閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 xy簡(jiǎn)要證明：x y zO W S2 ：zz2(x, y)S3S 1 ：zz1(x, y)Dxy 根據(jù)三重積分的計(jì)算法，有dvzRW xyD yxz yxz dzzRdxdy ),( ),(21 xyD dxdyyxzyxRyxzyxR ),(,),(, 12 另一方面，有 S 1 ),(,),( 1xyD dxdyyxzyxRdxdyzyxR ， S 2 ),(,),( 2xyD dxdyyxzyxRdxdyzyxR ，S 3 0),( dxdyzyxR ，S d

3、xdyzyxR ),( xyD dxdyyxzyxRyxzyxR ),(,),(, 12 以上三式相加，得 所以有 dvzRW S dxdyzyxR ),( 類似地有dvxPW S dydzzyxP ),( ，dvyQW S dzdxzyxQ ),( ，把以上三式兩端分別相加，即得高斯公式 例1 利用高斯公式計(jì)算曲面積分dydzzydxdyyx )()( S， 其中S為柱面x2y21及平面z0，z3所圍成的空間閉區(qū)域W的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) 解 這里P(yz)x，Q0，Rxy，xP yz，xQ 0，xR 0由高斯公式，有 20 10 30 )sin( dzzrrdrd 29 W dzrdrdzr

4、 )sin(W dxdydzzy )( dydzzydxdyyx )()( S x y zO 113 例2 計(jì)算曲面積分S (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S為 錐面x2y2z2介于平面z0及zh (h0)之間的部分的下側(cè)，cos 、cos 、cos是S上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦 解 設(shè)S1為zh(x2y2 h 2)的上側(cè)，則S與S1一起構(gòu)成一個(gè)閉曲面，記它們圍成的空間閉區(qū)域?yàn)閃x y zO x 2y2 h 2h S1S 22 yxz : 而因此S (x2 cos y2 cos z2 cos)dS 421 h h 4 421 h SS 1 (x2 cos

5、y2 cos z2 cos)dS W dvzyx )(2 222 22 )(2 hyx h yx dzzyxdxdy 222 222 hyx h yx zdzdxdy 222 )( 222hyx dxdyyxh 421 h 由高斯公式得 S1 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS S1 z2 dS 222 2hyx dxdyh h 4 二、通量與散度 高斯公式的右端可解釋為單位時(shí)間內(nèi)離開閉區(qū)域W的流體的總質(zhì)量，左端可解釋為分布在W內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量高斯公式的物理意義：dvzRyQxPW dSS nF 在流速場(chǎng) F P(x, y, z), Q(x, y, z),

6、 R(x, y, z)內(nèi)一定點(diǎn)M(x, y, z)附近任取一包圍M點(diǎn)的閉曲面S，設(shè)S所圍成的區(qū)域?yàn)閃，W的體積為V，則散度：表示單位時(shí)間從W的單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流量，而dSV S nF1 MWlim dSV S nF1表示在點(diǎn)M處單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流量，我們稱其為向量場(chǎng)F在點(diǎn)M的散度，記為divF，即 divF MW lim dSV S nF1 設(shè)P、Q、R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則散度的計(jì)算： divF zRyQxP 設(shè)S是向量場(chǎng)F內(nèi)的一片有向曲面，n是S上點(diǎn)(x, y, z)處的單位法向量，則通量：dS S nF叫做向量場(chǎng)F通過曲面S向著指定側(cè)的通量（或流量） 高斯公式的另一形式：dvdivW F = dSS nF