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1、目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 *三 、 環(huán) 流 量 與 旋 度 斯 托 克 斯 公 式 *環(huán) 流 量 與 旋 度 第 七 節(jié)一 、 斯 托 克 斯 公 式*二 、 空 間 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件 第 十 一 章 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 y zx O 一 、 斯 托 克 斯 公 式 定 理 1. 設(shè) 光 滑 曲 面 的 邊 界 是 分 段 光 滑 曲 線 , yxyPxQxzxRzPzyzQyR dddddd zRyQxP ddd (斯 托 克 斯 公 式 )個 空 間 域 內(nèi) 具 有 連 續(xù) 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) , 的側(cè) 與 的 正 向 符 合

2、 右 手 法 則 , RQP , 在 包 含 在 內(nèi) 的 一證 : 情 形 1. 與 平 行 z 軸 的 直 線 只 交 于 一 點 , 設(shè) 其 方 程 為 yxDyxyxfz ),(,),(: n為 確 定 起 見 , 不 妨 設(shè) 取 上 側(cè) (如 圖 ). yxD C則 有 簡 介 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 則 xPd C xyxzyxP d),(,( (利 用 格 林 公 式 ) yxyxzyxPyyxD dd),(,( yxyzzPyPyxD dd SfzPyP y dcos ,cos 221 1 yx ff ,cos 221 yxy fffcoscos yf yzx O

3、 nyxD C 定 理 1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 因 此 SzPyPxP dcoscoscosd SyPzP dcoscos yxyPxzzP dddd 同 理 可 證 yQd zyzQyxxQ dddd xRd xzxRzyyR dddd 三 式 相 加 , 即 得 斯 托 克 斯 公 式 ; 定 理 1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 情 形 2 曲 面 與 平 行 z 軸 的 直 線 交 點 多 于 一 個 , 則 可通 過 作 輔 助 線 把 分 成 與 z 軸 只 交 于 一 點 的 幾 部 分 ,在 每 一 部 分 上 應(yīng) 用 斯 托 克 斯 公 式 ,

4、然 后 相 加 , 由 于 沿 輔 助曲 線 方 向 相 反 的 兩 個 曲 線 積 分 相 加 剛 好 抵 消 , 所 以 對 這類 曲 面 斯 托 克 斯 公 式 仍 成 立 . 注 意 : 如 果 是 xOy 面 上 的 一 塊 平 面 區(qū) 域 , 則 斯 托 克 斯 公 式 就 是 格 林 公 式 , 故 格 林 公 式 是 斯 托 克 斯 公 式 的 特 例 . 證 畢 定 理 1 yxyPxQxzxRzPzyzQyR dddddd zRyQxP ddd 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 為 便 于 記 憶 , 斯 托 克 斯 公 式 還 可 寫 作 : RQP zyx yxx

5、zzy dddddd zRyQxP ddd 或 用 第 一 類 曲 面 積 分 表 示 :SRQP zyx dcoscoscos zRyQxP ddd 定 理 1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zx y11 1Oyxz yxxzzy zyx dddddd例 1. 利 用 斯 托 克 斯 公 式 計 算 積 分 zyyxxz ddd其 中 為 平 面 x+ y+ z = 1 被 三 坐 標(biāo) 面 所 截 三 角 形 的 整解 : 記 三 角 形 域 為 , 取 上 側(cè) ,則個 邊 界 , 方 向 如 圖 所 示 . zyyxxz ddd yxxzzy dddddd 利 用 對 稱 性 y

6、xD yxdd3 23 yxD 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 z 2x yO例 2. 為 柱 面 與 平 面 y = z 的 交 線 , 從 z 軸 正 向 看 為 順 時 針 , .ddd2 zxzyxyxyI 解 : 設(shè) 為 平 面 z = y 上 被 所 圍 橢 圓 域 ,且 取 下 側(cè) ,0cos 利 用 斯 托 克 斯 公 式 得 SI d Szy d)(21 0則 其 法 線 方 向 余 弦 ,21cos 21cos coscoscos zyx zxyxy2 yyx 222 公 式 其 他 形 式 計 算 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zRyQxPu dddd

7、*二 、 空 間 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件定 理 2. 設(shè) G 是 空 間 一 維 單 連 通 域 , 內(nèi)在函 數(shù) GRQP ,具 有 連 續(xù) 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) ,則 下 列 四 個 條 件 相 互 等 價 : (1) 對 G內(nèi) 任 一 分 段 光 滑 閉 曲 線 , 有0ddd zRyQxP(2) 對 G內(nèi) 任 一 分 段 光 滑 曲 線 , zRyQxP ddd與 路 徑 無 關(guān)(3) 在 G內(nèi) 存 在 某 一 函 數(shù) u, 使(4) 在 G內(nèi) 處 處 有 zPxRyRzQxQyP , 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zRyQxPu dddd (2) 對 G

8、內(nèi) 任 一 分 段 光 滑 曲 線 , zRyQxP ddd與 路 徑 無 關(guān)(3) 在 G內(nèi) 存 在 某 一 函 數(shù) u, 使 ),( ),( 000 ddd),( zyx zyx zRyQxPzyxu證 : )1()4( 由 斯 托 克 斯 公 式 可 知 結(jié) 論 成 立 ;)2()1( (自 證 ) )3()2( 設(shè) 函 數(shù) 則 xu ),( ),(0 ddd1lim zyxx zyxx zRyQxPx0lim x x zyxuzyxxu ),(),( xxxx xPx d1lim0 ),(lim0 zyxxpx ),( zyxP 定 理 2 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zR

9、yQxPu dddd (3) 在 G內(nèi) 存 在 某 一 函 數(shù) u, 使(4) 在 G內(nèi) 處 處 有 zPxRyRzQxQyP , 同 理 可 證 ),( zyxQyu ),( zyxRzu 故 有 zRyQxPu dddd )4()3( 若 (3)成 立 , 則 必 有 RzuQyuPxu ,因 P, Q, R 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) , 故 有yxuyP 2 xQ同 理 zPxRyRzQ , 證 畢 定 理 2 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zyxyxzxzy d)(d)(d)( 與 路 徑 無 關(guān) , zyxyxzxzyzyxu zyx d)(d)(d)(),( ),( )

10、0,0,0( 解 : 令 yxRxzQzyP ,1 xQyP ,1 yRzQ 1R Px z 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,),( zyxu zyxxy )( yxy d0 zyxz d)(0 zxyzxy xz yO ),( zyx )0,( yx)0,0,(xxx d00 因 此例 3. 驗 證 曲 線 積 分 定 理 2 并 求 函 數(shù) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 *三 、 環(huán) 流 量 與 旋 度斯 托 克 斯 公 式 yxxzzy yPxQxRzPzQyR dd)(dd)(dd)( zRyQxP ddd設(shè) 曲 面 的 法 向 量 為 曲 線 的 單 位 切 向 量 為則 斯

11、 托 克 斯 公 式 可 寫 為 SyPxQxRzPzQyR dcoscoscos sRQP d)coscoscos( )cos,cos,(cos n )cos,cos,(cos 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 yPxQxRzPzQyR ,令 , 引 進 一 個 向 量),( RQPA Arot記 作 向 量 rot A 稱 為 向 量 場 A 的RQP kji zyx 稱 為 向 量 場 A 定 義 : sAzRyQxP dddd 沿 有 向 閉 曲 線 的 環(huán) 流 量 . sASnA dd rot或 sASA n dd)( rot 于 是 得 斯 托 克 斯 公 式 的 向 量 形

12、 式 : 旋 度 . A 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zx yO l設(shè) 某 剛 體 繞 定 軸 l 轉(zhuǎn) 動 , M 為 剛 體 上 任 一點 , 建 立 坐 標(biāo) 系 如 圖 , M則 ),( zyxr 角 速 度 為 , r),0,0( 點 M 的 線 速 度 為rv vrot zyx kji 00 )0,( xy 0 xy kji zyx )2,0,0( 2(此 即 “ 旋 度 ” 一 詞 的 來 源 )旋 度 的 力 學(xué) 意 義 : 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 向 量 場 A 產(chǎn) 生 的 旋 度 場 穿 過 的 通 量 注 意 與 的 方 向 形 成 右 手 系 !

13、 sASA n dd)( rot 向 量 場 A 沿 的 環(huán) 流 量斯 托 克 斯 公 式 的 物 理 意 義 :例 4. 求 電 場 強 度 rrqE 3 zyx kjiE rot 的 旋 度 .解 : )0,0,0( (除 原 點 外 )這 說 明 , 在 除 點 電 荷 所 在 原 點 外 , 整 個 電 場 無 旋 .3rxq 3ryq 3rzq n 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 的 外 法 向 量 ,計 算解 : )1,0,0( ,4: 222 zyx例 5. 設(shè) ),3,2( 2zxyA .dSnAI rot )cos,cos,(cos n 為nSI dcos 0dddd

14、 xyxy DD yxyx yxyx dddd 下上 zyx kjiAA rot 232 zxy 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 斯 托 克 斯 公 式 zRyQxP ddd RQP yxxzzy zyx dddddd SRQP zyx dcoscoscos 也 可 寫 成 : SAsA nd)(d ),( RQPA其 中A nA)( A 的 旋 度 AA在 的 切 向 量 上投 影在 的 法 向 量 n 上投 影 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zRyQxP ddd 在 內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān)在 內(nèi) 處 處 有在 內(nèi) 處 處 有),( RQProt xQy

15、P ,yRzQ ,zPxR 2. 空 間 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 充 要 條 件設(shè) P, Q, R 在 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 則RQP kji zyx 0 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zuyuxu ,3. 場 論 中 的 三 個 度設(shè) ,),( zyxuu 梯 度 : uradg u , zyx zRyQxP RQP kji zyx Arot AAdiv A散 度 :旋 度 : 則,),( RQPA 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí) ,222 zyxr 設(shè) 則 .)(;)(div rr radgrotradg提 示 :

16、 rradg rzryrx ,)(rxx 2r r rxx ,3 22r xr )(ryy 3 22r yr )(rzz 3 22r zr )0,0,0(r2)( rradgrot 三 式 相 加 即 得 )(div rradgrzryrx zyx kji 0 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 業(yè)P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7補 充 題 : 證 明 0)( A )0)(div( Arot即 習(xí) 題 課 斯 托 克 斯 (1819-1903)英 國 數(shù) 學(xué) 物 理 學(xué) 家 . 他 是 19世 紀(jì) 英 國數(shù) 學(xué) 物 理 學(xué) 派 的 重 要 代 表 人 物 之 一 , 其主 要 興 趣 在 于 尋 求 解 重 要 數(shù) 學(xué) 物 理 問 題的 有 效 且 一 般 的 新 方 法 , 在 1845年 他 導(dǎo)出 了 著 名 的 粘 性 流 體 運 動 方 程 ( 后 稱 之 為 納 維 斯 托 克 斯 方 程 ), 1847年 先 于 柯 西 提 出 了 一 致 收 斂 的 概 念 . 他 提 出 的 斯 托 克 斯 公 式 是 向 量 分 析 的 基 本 公 式 . 他 一 生 的 工 作 先 后 分 五 卷 出 版 .