第二十一章：一元二次方程21.1一 元 二 次 方 程 學(xué) 習 目 標1. 了 解 一 元 二 次 方 程 的 概 念 應(yīng) 用 一 元 二 次 方程 概 念 解 決 一 些 簡 單 問 題 2 掌 握 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ax2 bx c0(a 0)及 有 關(guān) 概 念 3 會 進 行 簡 單 的 一 元 二 次 方 程 的 試 解 ； 理 解 方程 解 的 概 念 重 點 難 點重 點 ： 一 元 二 次 方 程 的 概 念 及 其 一 般 形 式 ； 一 元二 次 方 程 解 的 探 索 難 點 ： 由 實 際 問 題 列 出 一 元 二 次 方 程 ； 準 確 認 識一 元 二 次 方 程 的 二 次 項 和 系 數(shù) 以 及 一 次 項 和 系 數(shù) 及常 數(shù) 項 預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué)一 、 自 學(xué) 指 導(dǎo)問 題 1： 如 圖 ， 有 一 塊 長 方 形 鐵 皮 ， 長 100cm， 寬50cm， 在 它 的 四 角 各 切 去 一 個 同 樣 的 正 方 形 ， 然 后將 四 周 突 出 部 分 折 起 ， 就 能 制 作 一 個 無 蓋 方 盒 .如 果要 制 作 的 無 蓋 方 盒 的 底 面 積 為 3600cm2， 那 么 鐵 皮 各角 應(yīng) 切 去 多 大 的 正 方 形 ？分 析 ： 設(shè) 切 去 的 正 方 形 的 邊 長 為 xcm， 則 盒 底 的 長 為 ,寬 為 得 方 程 ： 整 理得 ： . (100-2x)cm (50-2x)cm (100-2x)(50-2x)=3600 x 2-750 x+350=0 預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué)問 題 2： 要 組 織 一 次 排 球 邀 請 賽 ， 參 賽 的 每 兩 個 隊 之間 都 要 比 賽 一 場 .根 據(jù) 場 地 和 時 間 等 條 件 ， 賽 程 計 劃安 排 7天 ， 每 天 安 排 4場 比 賽 ， 比 賽 組 織 者 應(yīng) 邀 請 多少 個 隊 參 賽 ？分 析 ： 全 部 比 賽 的 場 數(shù) 為 .設(shè) 應(yīng) 邀 x個 隊 參 賽 ， 每 個 隊 要 與 其 他 個 隊各 賽 1場 ， 所 以 全 部 比 賽 共 場 .列 方 程 為 =28.化 簡 整 理 得 . 28 (x-1)2 )1( xx2 )1( xx x 2-x-56=0 預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué)探 究(1)方 程 中 未 知 數(shù) 的 個 數(shù) 各 是 多 少 ？(2)它 們 最 高 次 數(shù) 分 別 是 幾 次 ？歸 納 ： 方 程 的 共 同 特 點 是 ： 這 些 方 程 的 兩 邊 都 是 ， 只 含 有 未 知 數(shù) (一 元 )， 并 且 未 知 數(shù) 的 最 高次 數(shù) 是 的 整 式 方 程 .1.一 元 二 次 方 程 的 定 義 等 號 兩 邊 都 是 ， 只 含 有 個 求 知 數(shù) （ 一元 ） ， 并 且 求 知 數(shù) 的 最 高 次 數(shù) 是 （ 二 次 ） 的 方 程 ，叫 做 一 元 二 次 方 程 。 1個2次整 式 一 個二 次 整 式 一2 2.一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 一 般 地 ， 任 何 一 個 關(guān) 于 x的 一 元 二 次 方 程 ， 經(jīng)過 整 理 ， 都 能 化 成 如 下 形 式 ： ax2 bx c 0(a 0)這 種 形 式 叫 做 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 。 其 中 是 二 次 項 ， 是 二 次 項 系 數(shù) ， 是 一 次項 ， 是 一 次 項 系 數(shù) ， 是 常 數(shù) 項 。點 撥 精 講 ： 二 次 項 系 數(shù) 、 一 次 項 系 數(shù) 、 常 數(shù) 項 都 要包 含 它 前 面 的 符 號 .二 次 項 系 數(shù) a 0是 一 個 重 要 條件 ， 不 能 漏 掉 .預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué)ax2 a bxb c 二 、 自 學(xué) 檢 測1 判 斷 下 列 方 程 ， 哪 些 是 一 元 二 次 方 程 ？（ 1） x3-2x2+5 0;（ 2） x2=1；（ 3） 5x2-2x x2 2x ； （ 4） 2(x 1)2 3(x 1)； (5） x2 2x x2 1； （ 6） ax2 bx c 0解 ： （ 2） 、 （ 3） 、 （ 4）點 撥 精 講 ： 有 些 含 字 母 系 數(shù) 的 方 程 ， 盡 管 分 母 中 含 有字 母 ， 但 只 要 分 母 中 不 含 有 未 知 數(shù) ， 這 樣 的 方 程 仍然 是 整 式 方 程 預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué) 14 35 預(yù) 習 導(dǎo) 學(xué)2 將 方 程 3x(x 1) 5(x 2)化 成 一 元 二 次 方 程 的一 般 形 式 ， 并 寫 出 其 中 的 二 次 項 系 數(shù) 、 一 次 項 系 數(shù)及 常 數(shù) 項 解 ： 去 括 號 ， 得 ： 3x2 3x 5x 10， 移 項 合 并 同類 項 ， 得 ： 3x2 8x 10 0， 其 中 二 次 項 系 數(shù) 是 3，一 次 項 系 數(shù) 是 8， 常 數(shù) 項 是 10.點 撥 精 講 ： 將 一 元 二 次 方 程 化 成 一 般 形 式 時 ， 通 常要 將 首 項 化 負 為 正 ， 化 分 為 整 合 作 探 究一 、 小 組 合 作 :小 組 討 論 交 流 解 題 思 路 ， 小 組 活 動 后 ， 小 組 代 表 展示 活 動 成 果 1 求 證 ： 關(guān) 于 x的 方 程 (m2 8m 17)x2 2mx 1 0，無 論 m取 何 值 ， 該 方 程 都 是 一 元 二 次 方 程 證 明 ： m2 8m 17 (m 4)2 1， (m 4)2 0， (m 4)2 10， 即 (m 4)2 1 0. 無 論 m取 何 值 ， 該 方 程 都 是 一 元 二 次 方 程 點 撥 精 講 ： 要 證 明 無 論 m取 何 值 ， 該 方 程 都 是 一 元 二次 方 程 ， 只 要 證 明 m 2 8m 17 0即 可 合 作 探 究2 下 面 哪 些 數(shù) 是 方 程 2x2 10 x 12 0的 根 ？ 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4.解 ： 將 上 面 的 這 些 數(shù) 代 入 后 ， 只 有 2和 3滿 足等 式 ， 所 以 x 2或 x 3是 一 元 二 次 方 程 2x210 x 12 0的 兩 根點 撥 精 講 ： 要 判 定 一 個 數(shù) 是 否 是 方 程 的 根 ， 只 要把 這 個 數(shù) 代 入 等 式 ， 看 等 式 兩 邊 是 否 相 等 即 可 合 作 探 究二 、 跟 蹤 練 習 ：學(xué) 生 獨 立 確 定 解 題 思 路 ， 小 組 內(nèi) 交 流 ， 上 臺 展 示 并 講 解 思 路 1 判 斷 下 列 方 程 是 否 為 一 元 二 次 方 程 (1)1 x2 0; (2)2(x2 1) 3y；(3)2x2 3x 1 0; (4) 0；(5)(x 3)2 (x 3)2; (6)9x2 5 4x.解 ： (1)是 ； (2)不 是 ； (3)是 ；(4)不 是 ； (5)不 是 ； (6)是 2 若 x 2是 方 程 ax 2 4x 5 0的 一 個 根 ， 求 a的 值解 ： x 2是 方 程 ax2 4x 5 0的 一 個 根 ， 4a 8 5 0， 解 得 ： a . 21x 2x34 合 作 探 究3 根 據(jù) 下 列 問 題 ， 列 出 關(guān) 于 x的 方 程 ， 并 將 其 化成 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ：(1)4個 完 全 相 同 的 正 方 形 的 面 積 之 和 是 25， 求 正方 形 的 邊 長 x；(2)一 個 長 方 形 的 長 比 寬 多 2， 面 積 是 100， 求 長 方形 的 長 x.解 ： (1)4x2 25， 4x2 25 0； (2)x(x 2) 100， x2 2x 100 0. 課 堂 小 結(jié)1 一 元 二 次 方 程 的 概 念 以 及 怎 樣 利 用 概 念 判 斷一 元 二 次 方 程 2 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ax2 bx c0(a 0)， 特 別 強 調(diào) a 0.3 要 會 判 斷 一 個 數(shù) 是 否 是 一 元 二 次 方 程 的 根 當 堂 訓(xùn) 練本 課 時 對 應(yīng) 訓(xùn) 練 部 分