平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 問 題1、 在 平 面 幾 何 中 “ 角 ” 是 怎 樣 定 義 的 ？答 ： 從 平 面 內(nèi) 一 點 出 發(fā) 的 兩 條 射線 所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。2、 等 角 定 理 ？ o答 ： 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另 一 個角 的 兩 邊 分 別 平 行 ， 并 且 方 向 相同 ， 那 么 這 兩 個 角 相 等 。 A B 觀 看 動 畫 演 示 觀 看 動 畫 演 示 想 一 想 AO BBBBBB B 角 兩 個 面 組 成 的 圖 形 ? 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 ， 把 這 個 平 面 分 成 兩 部 分 ， 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面 。從 一 條 直 線 引 出 的 兩 個 半 平 面 所 組 成 的 圖 形 叫 做二 面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面 角 的 棱 ， 這 兩 個 半 平面 叫 做 二 面 角 的 面 。l1、 半 平 面 ：2、 二 面 角 ：半 平 面 及 二 面 角 的 定 義 l棱 面面半平面半平面 觀 看 動 畫 演 示 1、 二 面 角 的 畫 法 ：（ 1） 、 平 臥 式（ 2） 、 直 立 式二 面 角 的 畫 法 與 記 法 2、 二 面 角 的 記 法 ： 面 1 棱 面 2（ 1） 、 以 直 線 為 棱 ， 以 為 半 平 面 的 二 面 角 記 為 ： l l , （ 2） 、 以 直 線 AB 為 棱 ， 以 為 半 平 面 的 二 面 角 記 為 ： , ABl A B二 面 角 的 畫 法 與 記 法 上 述 變 化 過 程 中 圖 形 在 變 化 ， 形 成 的“ 角 度 ” 的 大 小 如 何 來 確 定 ？ 1、 二 面 角 的 平 面 角 ： 以 二 面 角 的 棱 上 任 意 一 點 為 端 點 ， 在 兩 個 面 上 分 別 引垂 直 于 棱 的 兩 條 射 線 ， 這 兩 條 射 線 所 成 的 角 叫 做 二 面 角 的平 面 角 。OO ABA B AOB = BOA ? 等 角 定 理 ： 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 ， 并 且 方 向 相同 ， 那 么 這 兩 個 角 相 等 。 ）注 :（ 1） 二 面 角 的 平 面 角 與 點 的 位 置 無 關(guān) ， 只 與 二 面 角 的 張 角 大 小 有 關(guān) 。 （ 2） 二 面 角 是 用 它 的 平 面 角 來 度 量 的 ， 一 個 二 面 角 的 平 面 角 多 大 ， 就 說 這 個 二 面 角 是 多 少 度 的 二 面 角 。 （ 3） 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 。 （ 4） 二 面 角 的 取 值 范 圍 一 般 規(guī) 定 為 （ 0, ） 。二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法l觀 看 動 畫 演 示 2、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：1、 定 義 法 ：根 據(jù) 定 義 作 出 來 。2、 作 垂 面 ：作 與 棱 垂 直 的 平 面 與 兩 半 平 面的 交 線 得 到 。 注 意 ： 二 面 角 的 平 面 角 必 須 滿 足 ： （ 1） 、 角 的 頂 點 在 棱 上 。 （ 2） 、 角 的 兩 邊 分 別 在 兩 個 面 內(nèi) 。 （ 3） 、 角 的 邊 都 要 垂 直 于 二 面 角 的 棱 。 oA B o Ao A BB二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法 l l ll 角 BAO 邊 邊頂 點從 一 點 出 發(fā) 的 兩 條 射 線所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。定 義構(gòu) 成 邊 點 邊 （ 頂 點 ）表 示 法 AOB 二 面 角AB 面面棱 a 從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個半 平 面 所 組 成 的 圖 形 叫做 二 面 角 。面 直 線 面 （ 棱 ）二 面 角 l或 二 面 角 AB圖 形角 與 二 面 角 的 比 較 A .O解 ： 則 由 三 垂 線 定 理 得 AD . sin ADO= 432 ADO=60 . 二 面 角 l 的 大 小 為 60 .在 Rt ADO中 ， AOAD 例 1、 已 知 二 面 角 l ， A為 面 內(nèi) 一 點 ， A到 的距 離 為 2 ， 到 l 的 距 離 為 4。 求 二 面 角 l 的 大 小 。 lD 過 A作 AO 于 O， 過 O作 OD l 于 D， 連 AD，l4,32 ADAOADO 就 是 二 面 角 l 的 平 面 角 .分 析 ： 首 先 應(yīng) 找 到 或 作 出 二 面 角 的 平 面 角 ,然 后 證 明 這 個角 就 是 所 求 的 平 面 角 , 最 后 求 出 這 個 角 的 大 小 。3二 面 角 的 應(yīng) 用 舉 例 1 二 面 角 的 應(yīng) 用 舉 例 2 例 2、 如 圖 ， 山 坡 傾 斜 度 是 60度 ，山 坡 上 一 條 路 CD和 坡 底 線 AB成 30度 角 .沿 這 條 路 向 上 走 100米 ,升 高 了 多 少 ? A DC G HBA C BG DH 解 :因 為 CDG 是 坡 面 ,設(shè) DH 是 地 平 面 的 垂 線 段 ,DH 就 是 所 求 的 高 度 .作 HG AB,垂 足 為 G, 那 么 DG AB, DGH 就 是 坡 面 和 地 平 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 ,所 以 DGH= 060 . 060sin DGDH )(3.43325 60sin30sin100 60sin30sin 00 00 mCD 答 :沿 這 條 路 向 上 走 100 米 ,升 高 約 43.3 米 . 分 析 : 此 例 是 一 個 實 際 應(yīng) 用 題 , 可 先 抽 象 出 數(shù) 學(xué)模 型 , 如 圖 所 示 . 本 題 要 求 “升 高 了 多 少 米 ？ ” 即是 求 點 D到 水 平 面 的 距 離 DH.已 知 二 面 角 -AB-是 60度 , 只 要 過 D點 在 平 面 內(nèi) 作 ABDG , G是 垂足 , 再 連 結(jié) HG,則 根 據(jù) 三 垂 線 定 理 ,可 得 ABHG , 則 GH 就 是 該 二 面 角 的 平 面 角 , 即060DGH . 再 根 據(jù) 030DCH 及 直 角 三 角 形DGH和 DCG的 邊 角 關(guān) 系 , 就 可 以 求 出 DH . 觀 看 動 畫 演 示 課 堂 練 習(xí) AB CD1、 如 圖 ， 將 等 腰 直 角 三 角 形 紙 片 沿 斜 線 BC上 的 高 AD折 成 直 二 面 角 . 求 證 : 060, BACCDBD 解 :(略 )分 析 :由 直 二 面 角 的 定 義 可 知 , BDC 為 直 角 , 就 是 這 個 直 二 面 角 的 平 面 角 .所以 CDBD . 若 設(shè) aAD ,則 aCDBD ,即 可 求 得 : aBCACAB 2 ， 那 么 BAC 為 等 邊 三 角 形 , 所 以 060BAC . 1、 二 面 角 的 定 義 ：2、 二 面 角 的 畫 法 和 記 法 ：3、 二 面 角 的 平 面 角 ：4、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：畫 法 ： 直 立 式 和 平 臥 式記 法 ： 二 面 角 AB 二 面 角 l 1、 根 據(jù) 定 義 作 出 來2、 利 用 直 線 和 平 面 垂 直 作 出 來從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個 半平 面 所 組 成 的 圖 形 叫 做 二面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面角 的 棱 。 這 兩 個 半 平 面 叫做 二 面 角 的 面 。 1、 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 與 其 頂 點 在 棱 上 的 位 置 無 關(guān)2、 二 面 角 的 大 小 用 它 的 平 面 角 的 大 小 來 度 量 課 堂 小 結(jié)