第 一 節(jié) 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 及 運(yùn) 算基 礎(chǔ) 梳 理 12 12 x-x )f(x-)f(x數(shù) 量 化視 覺 化1. 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 x1,x2 上 的 平 均 變 化 率(1)函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 x1,x2 上 的 平 均 變 化 率 為 ,(2)平 均 變 化 率 是 曲 線 陡 峭 程 度 的 “ ” ， 或 者 說 ， 曲 線 陡 峭 程度 是 平 均 變 化 率 的 “ ” . 2. 函 數(shù) f(x)在 x=x 0處 的 導(dǎo) 數(shù)（ 1） 定 義設(shè) 函 數(shù) y=f(x)在 區(qū) 間 (a,b)上 有 定 義 ， 若 x無 限 趨 近 于 0時(shí) ，比 值 無 限 趨 近 于 一 個(gè) 常 數(shù) A， 則 稱 f(x)在 x=x0處 可導(dǎo) ， 并 稱 該 常 數(shù) A為 函 數(shù) f(x)在 x=x0處 的 導(dǎo) 數(shù) ， 記 作 .0 x (a,b), 0f (x ) )f(x-)f(x x 0 x0 xy (2)幾 何 意 義函 數(shù) f(x)在 點(diǎn) x0處 的 導(dǎo) 數(shù) f (x0)的 幾 何 意 義 是 在 曲 線 y=f(x)上點(diǎn) . 處 的 .相 應(yīng) 地 ， 切 線 方 程為 .3. 函 數(shù) f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù)若 f(x)對 于 區(qū) 間 (a,b)內(nèi) 任 一 點(diǎn) 都 可 導(dǎo) ， 則 f(x)在 各 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 也 隨 著 自變 量 x的 而 ， 因 而 也 是 自 變 量 x的 函 數(shù) ， 該 函 數(shù) 稱 為 f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) ， 記 作 . 0 0( , )x f x 切 線 的 斜 率 0 0 0y-f(x )=f ( )( )x x x變 化 變 化 f (x). 原 函 數(shù) 導(dǎo) 函 數(shù)f(x)=kx+b(k,b為 常 數(shù) ) f (x)= . f(x)=C f (x)= .f(x)=x f (x)= .f(x)=x2 f (x)= .f(x)=x3 f (x)= . .f(x)= .f(x)=x a (a為 常 數(shù) )f(x)=ax(a 0且 a 1) 4. 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 1f(x) x x f (x)= . f (x)= .k012x23xf (x) 21-xf (x) 12 x a-1axxa ln a f(x)=logax(a 0且 a 1) .f(x)= f(x)= .f(x)=ln x .f(x)=sin x f(x)= .f(x)=cos x f(x)= .xe f (x) 1xln axef (x) 1 xcos xsinx5. 導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 算 法 則(1) f(x) g(x) = ; (2) Cf(x) = (C為 常 數(shù) );(3) f(x)g(x) = ;f (x) g (x)Cf (x)f (x)g(x)+f(x)g (x) 0g(x)g(x) (x)gf(x)-(x)g(x) fg(x)f(x)(4) 2 典 例 分 析題 型 一 利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 求 導(dǎo) 數(shù)【 例 1】 用 導(dǎo) 數(shù) 定 義 求 y=x2在 x=1處 的 導(dǎo) 數(shù) 值 .分 析 利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 ,按 求 導(dǎo) 數(shù) 的 步 驟 求 解 .解 當(dāng) x無 限 趨 近 于 0時(shí) ， 趨 近 于 2, y | x=1=2.學(xué) 后 反 思 利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 求 在 一 點(diǎn) x0的 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 鍵 是 對 y x進(jìn) 行靈 活 變 形 ， 若 求 f(x)在 開 區(qū) 間 (a,b)內(nèi) 的 導(dǎo) 數(shù) ， 只 需 將 x0看 成 是 (a,b)內(nèi) 的 任 意 點(diǎn) x,即 可 求 得 f (x). 2x x x2x x 1-x)(1 x f(1)-x)f(1xy 222 xy 舉 一 反 三1. 已 知 ， 利 用 定 義 求 y ,y |x=1.xy題 型 二 利 用 求 導(dǎo) 公 式 求 導(dǎo) 數(shù) 【 例 2】 求 下 列 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) .1-e 1e(2)y sin x;x(1)y xx2 xxx 1 xxxx xx x- xxxy ,x-xxy x=10 0 1 1 1y lim lim , | 2x x x 2x xy yx x 解 析 分 析 直 接 利 用 導(dǎo) 數(shù) 公 式 及 四 則 運(yùn) 算 法 則 進(jìn) 行 計(jì) 算 .1)-(e2e-1)-(e 1)(ee-1)-(ee 1)-(e 1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey 1-e 1ey 2x x2x xxxx 2x xxxxxx 學(xué) 后 反 思 準(zhǔn) 確 記 憶 求 導(dǎo) 公 式 及 四 則 運(yùn) 算 法 則 是 解 答 本 題 的 關(guān) 鍵 . 解 (1)y =( ) sin x+ (sin x)=2xsin x+x2cos x. (2) 2x 2x 舉 一 反 三2. 求 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) .題 型 三 導(dǎo) 數(shù) 的 物 理 意 義 及 在 物 理 上 的 應(yīng) 用【 例 3】 一 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動 的 方 程 為 s=8-3t 2.(1)求 質(zhì) 點(diǎn) 在 1,1+ t 這 段 時(shí) 間 內(nèi) 的 平 均 速 度 ；(2)求 質(zhì) 點(diǎn) 在 t=1的 瞬 時(shí) 速 度 . 1 11 1y x x 2 21 1 1 1 2 ,11 1 1 12 12 21 1 1x xy xx x x xxy x x x 解 析 分 析 第 （ 1） 問 可 利 用 公 式 求 解 ； 第 （ 2） 問 可 利 用 第 （ 1） 問 的結(jié) 論 求 解 ， 也 可 利 用 求 導(dǎo) 公 式 及 四 則 運(yùn) 算 法 則 求 解 .ts解 (1)質(zhì) 點(diǎn) 在 1,1+ t 這 段 時(shí) 間 內(nèi) 的 平 均 速 度 為(2)方 法 一 （ 定 義 法 ） ：質(zhì) 點(diǎn) 在 t=1時(shí) 的 瞬 時(shí) 速 度 v= t3-6 t s(1)-t)s(1ts 6- tslim 0t 方 法 二 （ 求 導(dǎo) 法 ） ：質(zhì) 點(diǎn) 在 t時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速 度 v=s (t)=-6t,當(dāng) t=1時(shí) ， v=-6. 學(xué) 后 反 思 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 是 通 過 函 數(shù) 的 平 均 變 化 率 、 瞬 時(shí) 變 化 率 、 物 體運(yùn) 動 的 瞬 時(shí) 速 度 、 曲 線 的 切 線 等 實(shí) 際 背 景 引 入 的 ， 所 以 在 了 解 導(dǎo) 數(shù) 概念 的 基 礎(chǔ) 上 也 應(yīng) 了 解 這 些 實(shí) 際 背 景 的 意 義 .對 于 作 變 速 運(yùn) 動 的 物 體 來 說 ，其 位 移 對 時(shí) 間 的 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 就 是 其 運(yùn) 動 的 速 度 對 時(shí) 間 的 函 數(shù) ， 速 度 對時(shí) 間 的 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 就 是 其 運(yùn) 動 的 加 速 度 對 時(shí) 間 的 函 數(shù) ， 這 是 導(dǎo) 數(shù) 的 物理 意 義 ， 利 用 導(dǎo) 數(shù) 的 物 理 意 義 可 以 解 決 一 些 相 關(guān) 的 物 理 問 題 舉 一 反 三3. 以 初 速 度 作 豎 直 上 拋 運(yùn) 動 的 物 體 ， t秒 時(shí) 的 高 度 為 ,求 物 體 在 時(shí) 刻 時(shí) 的 瞬 時(shí) 速 度 . 20 1s(t)=v t- gt2 0 0v (v 0) 0t解 析 ： 物 體 在 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速 度 為 . 0 01s( ) 22t v g t v gt 0t 0 0 0s( )t v gt 題 型 四 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 及 在 幾 何 上 的 應(yīng) 用【 例 4】 (14分 )已 知 曲 線(1)求 曲 線 在 點(diǎn) P（ 2， 4） 處 的 切 線 方 程 ；(2)求 曲 線 過 點(diǎn) P（ 2， 4） 的 切 線 方 程 . 34 x31y 3 分 析 (1)點(diǎn) P處 的 切 線 以 點(diǎn) P為 切 點(diǎn) ,關(guān) 鍵 是 求 出 切 線 斜 率k=f (2).(2)過 點(diǎn) P的 切 線 ， 點(diǎn) P不 一 定 是 切 點(diǎn) ， 需 要 設(shè) 出 切 點(diǎn) 坐 標(biāo) . 解 （ 1) y =x2,2 在 點(diǎn) P（ 2， 4） 處 的 切 線 的 斜 率 k=y |x=2=4,3 曲 線 在 點(diǎn) P（ 2,4） 處 的 切 線 方 程 為 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.4(2)設(shè) 曲 線 與 過 點(diǎn) P（ 2， 4） 的 切 線 相 切 于點(diǎn) ,則 切 線 的 斜 率 k=y | x=x0=x20.6 34x31y 3 ) 34 x31,A(x 300 切 線 方 程 為即 點(diǎn) P（ 2， 4） 在 切 線 上 ，即 x30-3x20+4=0, x30+x20-4x20+4=0, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x 0+1)(x0-2)2=0,解 得 x0=-1或 x0=2,.12故 所 求 的 切 線 方 程 為 4x-y-4=0或 x-y+2=0.14學(xué) 后 反 思 （ 1） 解 決 此 類 問 題 一 定 要 分 清 是 “ 在 某 點(diǎn) 處 的 切 線 ” ， 還 是“ 過 某 點(diǎn) 的 切 線 ” .（ 2） 解 決 “ 過 某 點(diǎn) 的 切 線 ” 問 題 ， 一 般 是 設(shè) 出 切 點(diǎn) 坐 標(biāo) (x0,y0),得 出 切 線方 程 y-y0=f (x0)(x-x0),然 后 把 已 知 點(diǎn) 代 入 切 線 方 程 求 (x0,y0)， 進(jìn) 而 求 出切 線 方 程 . 3 20 0 01 4y-( x ) x (x-x ),3 3 2 3 0 02 4y x x- x .8 3 3 2 3 0 02 44 2x x- x .10 3 3 舉 一 反 三4. 求 曲 線 y=ln(2x-1)上 的 點(diǎn) 到 直 線 2x-y+3=0的 最 短 距 離 .解 析 ： 設(shè) 曲 線 上 過 點(diǎn) 的 切 線 平 行 于 直 線 2x-y+3=0,即 斜 率 是 2， 則 .解 得 ,即 點(diǎn) P(1,0),點(diǎn) P到 直 線 2x-y+3=0的 距 離 為 , 曲 線 y=ln(2x-1)上 的 點(diǎn) 到 直 線 2x-y+3=0的 最 短 距 離 是 .0 0( , )P x y 0 0 x=x x=x 01 2y| = 2x-1 | = =22x-1 2x -1 0 x 1 0 0所 以 y 2 22-0+3 52 ( 1) 5題 型 五 復(fù) 合 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)【 例 5】 求 下 列 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) . 2 2(1) (1 sin ) ;(2) ln 1y x y x 分 析 先 確 定 中 間 變 量 轉(zhuǎn) 化 為 常 見 函 數(shù) ， 再 根 據(jù) 復(fù) 合 函 數(shù) 的求 導(dǎo) 法 則 求 導(dǎo) .也 可 直 接 用 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則 運(yùn) 算 . 2 (1) 1 sin 2(1 sin ) (1 sin )2(1 sin ) cos 2cos sin2y x x xx x x x 解 2 2 21 2 22 22 1(2) (ln 1) 111 1 1 12 11y x xx xx x xx 學(xué) 后 反 思 求 復(fù) 合 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) ， 關(guān) 鍵 是 理 解 復(fù) 合 過 程 ， 選 定 中間 變 量 ， 弄 清 是 誰 對 誰 求 導(dǎo) ， 其 一 般 步 驟 是 :(1)分 清 復(fù) 合 關(guān) 系 ， 適 當(dāng) 選 定 中 間 變 量 ， 正 確 分 解 復(fù) 合 關(guān) 系（ 簡 稱 分 解 復(fù) 合 關(guān) 系 ） ；（ 2） 分 層 求 導(dǎo) ， 弄 清 每 一 步 中 哪 個(gè) 變 量 對 哪 個(gè) 變 量 求 導(dǎo) 數(shù)（ 簡 稱 分 層 求 導(dǎo) ） .即 ： 分 解 （ 復(fù) 合 關(guān) 系 ） 求 導(dǎo) （ 導(dǎo) 數(shù) 相 乘 ） 舉 一 反 三5.求 下 列 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 。 1 cos21(1) ;(2)1 xy y xex 解 析 ： 1 3 2 2 22 2 32 2 2 21(1) 1 1 121 1 1y x x xxx x x x 1 cos 1 cos 1 cos1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos(2) 1 cossin 1 sinx x xx xx x xy xe e x ee x e xe xe x x x e 易 錯(cuò) 警 示【 例 】 已 知 曲 線 上 的 點(diǎn) P（ 0,0） ,求 過 點(diǎn) P(0,0)的 切 線 方 程 .錯(cuò) 解 在 點(diǎn) x=0處 不 可 導(dǎo) ， 因 此 過 P點(diǎn) 的 切 線 不 存 在 .錯(cuò) 解 分 析 本 題 的 解 法 忽 視 了 曲 線 在 某 點(diǎn) 處 的 切 線 的 定 義 .在 點(diǎn) P處 的切 線 是 指 曲 線 在 點(diǎn) P附 近 取 點(diǎn) Q， 當(dāng) 點(diǎn) Q趨 近 于 點(diǎn) P時(shí) ， 割 線 PQ的 極 限 位置 的 直 線 就 是 過 點(diǎn) P的 切 線 ， 因 此 過 點(diǎn) P的 切 線 存 在 ， 為 y軸 （ 如 下 圖 所示 ） . 3 23 x1xxxy 3 xy3 xy正 解 如 右 圖 ， 按 切 線 的 定 義 ， 當(dāng) x 0 時(shí) 割 線 PQ的 極 限 位 置 為 y軸 （ 此 時(shí) 斜 率 不存 在 ） ， 因 此 ， 過 點(diǎn) P的 切 線 方 程 為 x=0. 考 點(diǎn) 演 練10. 已 知 函 數(shù) 的 圖 象 都 過 點(diǎn)P(2,0),且 在 點(diǎn) P處 有 相 同 的 切 線 .求 實(shí) 數(shù) a,b,c的 值 . 3 2f x 2x ax g x bx c 與解 析 ： f(x)過 點(diǎn) （ 2,0） , ,解 得 a=-8,同 理 ， g(2)=4b+c=0. f (x)=6x2-8, 在 點(diǎn) P處 切 線 斜 率 .又 g (x)=2bx, 2b 2=16, b=4, c=-4b=-16.綜 上 ， a=-8,b=4,c=-16. 3f 2 2 2 a 2 0 2k f 2 6 2 8 16 11. 設(shè) 函 數(shù) f(x)滿 足 ， a,b,c為 常 數(shù) ， |a| |b|， 求 f (x) 解 析 : 將 中 的 x換 成 ，可 得將 其 代 入 已 知 條 件 中 得 , 1af x bf cx x 1af x bf cx x 1x 1 1af x bf , ( ) ( )c bcx f x f xx x a a 2bc b caf(x)+ x- f(x)=a a x 2 2 2 2 2c a cf(x)= ( -bx), f (x)= ( )a x a a bb b x 12. (2008寧 夏 )設(shè) 函 數(shù) (a,b Z),曲 線 y=f(x)在點(diǎn) (2,f(2)處 的 切 線 方 程 為 y=3.(1)求 f(x)的 解 析 式 ；（ 2） 證 明 函 數(shù) y=f(x)的 圖 象 是 一 個(gè) 中 心 對 稱 圖 形 ， 并 求 其 對稱 中 心 ；（ 3） 證 明 曲 線 y=f(x)上 任 一 點(diǎn) 的 切 線 與 直 線 x=1和 直 線 y=x所圍 三 角 形 面 積 為 定 值 ， 并 求 出 此 定 值 .1( )f x ax x b 解 析 : (1)f (x)= .于 是 ,解 得 21a- x b 212 321 02a ba b 91 481 3aab b 或1, , ( ) 1a b Z f x x x (2)證 明 :已 知 函 數(shù) 都 是 奇 函 數(shù) ， 函 數(shù) 也 是 奇 函 數(shù) ， 其 圖 象 是 以 原 點(diǎn) 為 中 心 的中 心 對 稱 圖 形 .由 可 知 f(x)的 圖 象 是 由 g(x)的 圖 象 沿 x軸 正 方 向 向 右 平 移 1個(gè) 單 位 ， 再 沿 y軸 正 方 向 向 上 平 移 1個(gè) 單 位 得 到 的 .故 函 數(shù) f(x)的 圖 象 是 以 點(diǎn) (1,1)為 中 心 的 中 心 對 稱 圖 形 .1 2 1,y x y x 1( )g x x x 1 1( ) 1 11 1f x x xx x （ 3） 證 明 ： 在 曲 線 上 任 取 一 點(diǎn) ,由 知 ，過 此 點(diǎn) 的 切 線 方 程 為 .令 x=1,得 , 切 線 與 直 線 x=1的 交 點(diǎn) 為 .令 y=x,得 , 切 線 與 直 線 y=x的 交 點(diǎn) 為 .直 線 x=1與 y=x交 點(diǎn) 為 (1,1).從 而 所 圍 三 角 形 面 積 為 所 以 所 圍 三 角 形 的 面 積 為 定 值 2. 0 0 01x , 1x x 0 2011 ( 1)f x x 20 0 020 01 111 ( 1)x xy x xx x 00 11xy x 00 1(1, )1xx 02 1x x 0 0(2 1,2 1)x x 0 0 00 011 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1x x xx x