第 四 節(jié) 函 數(shù) 單 調(diào) 性 與 凹 凸 性 一、函數(shù)的單調(diào)性定理1設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù),在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).(1)若在I內(nèi),0)( xf則)(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加.(2)若在I內(nèi),0)( xf則)(xf在區(qū)間I上單調(diào)減少.證明(1)任取, 21 Ixx 且21 xx 則)(xf在, 21 xx上連續(xù),在),( 21 xx內(nèi)可導(dǎo).由拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn)),( 21 xx使得 )()( 12 xfxf )( 12 xxf 內(nèi)在又內(nèi)在IxfI ,0)( 0)( f )()( 12 xfxf 0 即)()( 21 xfxf :按定義得 )(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加.(2)類似可證注：反之不然.即)(xf在區(qū)間I上單調(diào)增加在I內(nèi)0)( xf(單調(diào)減少) ) 0)( ( xf反例: ,),()( 3上單調(diào)增加在 xxf 0)0( f但,),()( 31上單調(diào)增加在 xxg .)0(不存在但g 在討論)(xf的單調(diào)性時(shí),在定義域中如有使得導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),應(yīng)先求出它們.例1討論函數(shù)xxy sin在2,0 上的單調(diào)性解y xcos1)2,0( x時(shí), xy cos1 0 xxy sin在2,0 上是單調(diào)增加的. 例2討論函數(shù)593)( 23 xxxxf的單調(diào)性解定義域: ),( )( xf 963 2 xx )32(3 2 xx )3)(1(3 xx )3)(1(3 xx令)( xf 0解得x ,1 3它們將定義域分為: ,1,( ,3,1 ),3 )1,( x時(shí), )( xf 0在1,( 上, )(xf是單調(diào)增加的.)3,1(x時(shí), )( xf 0 在3,1上, )(xf是單調(diào)減少的.),3( x時(shí), )( xf 0在),3 上, )(xf是單調(diào)增加的. 例3證明:當(dāng))2,0( x時(shí),有xx tan分析:即證0tan xx令xxxf tan)(即)0()( fxf 所以,只需證: .,) 2,0)(即可上是單調(diào)增加的在xf 證令xxxf tan)( )( xf 1sec2 x x2tan)2,0( x時(shí), xxf 2tan)( 0上是單調(diào)增加的在)2,0)( xf當(dāng))2,0( x時(shí),有)0()( fxf 即xx tan 0即 xx tan 二. 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)先看兩條曲線:它們有何不同？向上彎向下彎彎曲的方向不同怎樣描述曲線的彎曲方向？函數(shù)的凹凸性（凹的）（凸的） xyo xy oa b a b1x 2x2 21 xx )(xfy )( 1xf )( 2xf2 )()( 21 xfxf )(xfy 1x 2x2 21 xx )2( 21 xxf )( 1xf )( 2xf2 )()( 21 xfxf 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 2 )()()2( 2121 xfxfxxf )2( 21 xxf 定義設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù).如果對(duì)于任意兩點(diǎn)Ixx 21,都有2 )()()2( 2121 xfxfxxf 則稱函數(shù))(xf在區(qū)間上 I的圖形 是凹的.) ( ( 凸 )( )定理2設(shè))(xf在區(qū)間I上連續(xù),在區(qū)間I內(nèi)二階可導(dǎo),那么(1)若在I內(nèi),0)( xf則)(xf在I上是凹的.(2)若在 I內(nèi),0)( xf則)(xf在I上是凸的. 證(1)任取兩點(diǎn), 21 Ixx 不妨設(shè)21 xx )(xf在I內(nèi)二階可導(dǎo),因而在I內(nèi)一階可導(dǎo),又)(xf在I上連續(xù)在2, 211 xxx 上,應(yīng)用拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn), )2,( 21 11 xxx 使得)2)()()2( 1211121 xxxfxfxxf 即2)()()2( 121121 xxfxfxxf (1) 同理,在,2 221 xxx 上,應(yīng)用 拉格朗日中值定理得:至少存在一點(diǎn)),2( 2212 xxx 使得)2)()2()( 2122212 xxxfxxfxf 即2)()2()( 122212 xxfxxfxf (2)(2)-(1)得)2(2)()( 2112 xxfxfxf 2)()( 1212 xxff 2).()( 1212| xxxf x ) ( 21 2)( 1212 xxf (拉格朗日中值定理) 在區(qū)間I內(nèi) 0)( f )2(2)()( 2112 xxfxfxf 2)( 1212 xxf 0即2 )()()2( 2121 xfxfxxf 按定義得: )(xf在I上是凹的.(2)類似可證. 注:反之不然.反例: 4)( xxf 在),( I上是凹的,但0)0( f ),0(, 0,(,)( 32 xx xxxg在),( I上是凹的,但)0(g不存在. 在討論凹凸性時(shí),應(yīng)先求出使0)( xf或)( xf不存在的點(diǎn). 例4討論下列函數(shù)的凹凸性（1）xy ln（2）3xy 解（1）定義域：),0( xy 1 21 xy ,),0(時(shí)x 21 xy 0 )(xf在),0( 上是凸的. （2）定義域：),( 23 xy xy 6 令0 y解得0 x它將定義域分為：,0,( ),0 ,)0,(時(shí)x xy 6 0 )(xf在0,(上是凸的. ,),0(時(shí)x xy 6 0 )(xf在),0 上是凹的. 定義曲線上凹凸性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)稱為拐點(diǎn).在上例中,點(diǎn))0,0(是曲線3xy 的拐點(diǎn).例5求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn) （1）143 34 xxy（2）31xy 解(1)定義域: ),( 23 1212 xxy xxy 2436 2 )32(36 xx令0 y解得32 ,0 x 它們將定義域分為：,0,( ,32,0 ),32 ,)0,(時(shí)x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在0,(上是凹的.,)32,0(時(shí)x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在32,0上是凸的.,),32(時(shí)x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在),32 上是凹的. 點(diǎn))2711,32( ),1,0(是拐點(diǎn)凹區(qū)間: ,0,( ),32 凸區(qū)間: 32,0（2）定義域：),( , 3 131 3 232 xxy 3592 xy0 x時(shí), y 3 59 2x不存在它將定義域分為：,0,( ),0 ,)0,(時(shí)x 3 59 2 xy 0 )(xf在0,(上是凹的.,),0(時(shí)x 3 59 2 xy 0 )( xf在),0 上是凸的.拐點(diǎn): )0,0(凹區(qū)間: 0,(凸區(qū)間: ),0 定理若點(diǎn))(,( 00 xfx是曲線)(xfy 的拐點(diǎn),且)(xfy 在0 x處二階可導(dǎo),則0)( 0 xf反之不然.反例: ,4xy 0)0( y但點(diǎn))0,0(不是 4xy 的拐點(diǎn). 小 結(jié)1. 函數(shù)的單調(diào)性的判別單調(diào)區(qū)間，即：?jiǎn)卧鰠^(qū)間，單減區(qū)間2.函數(shù)的凹凸性的判別凹凸區(qū)間，即：凹區(qū)間，凸區(qū)間拐點(diǎn)3.應(yīng)用：利用單調(diào)性，可證不等式. 作 業(yè)P152 習(xí)題3-41，3(1),(3),(4),(6) ，5(單) , 6， 8(單) ， 9(單) ，10 (1)(3), 12考慮：p153, 4 , 7