1 2 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 是 研 究 物 體 幾 何 運(yùn) 動(dòng) 的 科 學(xué) 。 研 究 對(duì) 象 ： 1)點(diǎn) ， 2)剛 體 學(xué) 習(xí) 目 的 ： 1)為 后 續(xù) 課 程 打 基 礎(chǔ) ， 2)直 接 運(yùn) 用 于 工 程 實(shí) 際 。 運(yùn) 動(dòng) 的 三 性 ： 相 對(duì) 性 ： 參 考 系 ;靜 系 ;動(dòng) 系 。 瞬 時(shí) 性 ： 瞬 時(shí) 、 時(shí) 間 間 隔 ： 瞬 時(shí) 時(shí) 間 點(diǎn) ， 時(shí) 間 間 隔 一 段 時(shí) 間 。 連 續(xù) 性 運(yùn) 動(dòng) 分 類 ： 1)點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) ， 2)剛 體 的 運(yùn) 動(dòng)引 言 3 4 41 點(diǎn) 的 一 般 運(yùn) 動(dòng) 42 剛 體 的 基 本 運(yùn) 動(dòng) 第 四 章 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 基 礎(chǔ) 5 本 章 重 點(diǎn) ：點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 的 自 然 法 ， 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 的 直 角 坐 標(biāo) 法 ，剛 體 平 動(dòng) 的 特 點(diǎn) ， 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 剛 體 內(nèi) 各 點(diǎn) 的 速 度和 加 速 度 。本 章 難 點(diǎn) ：自 然 法 和 切 向 加 速 度 、 法 向 加 速 度 。 6)(trr 4-1 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng)一 、 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 的 矢 量 法軌 跡 或 路 徑 ： 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 在 空 間 所 占 位 置 隨 時(shí) 間 連 續(xù) 變 化 而形 成 的 一 條 曲 線 。（ 一 ） 運(yùn) 動(dòng) 方 程1.參 考 系 ： 固 定 點(diǎn) O2.動(dòng) 點(diǎn) 的 位 置 ： 用 矢 徑 表 示r3.運(yùn) 動(dòng) 方 程 ： MOr4.軌 跡 ： 矢 徑 的 矢 端 線r 7 rtrtrv t ddlim0 rtrtvtva t 220 ddddlim （ 二 ） 速 度（ 三 ） 加 速 度 矢 量 、 瞬 時(shí) 量 大 小 ： trv dd 方 向 ： 沿 軌 跡 在 M點(diǎn) 的 切線 并 指 向 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 一 方 矢 量 、 瞬 時(shí) 量 大 小 ： 方 向 ： 沿 速 度 矢 端 線 的 切 線 并 指 向 速 度 矢 端 運(yùn) 動(dòng) 方 向tva dd tva dd注 意 8 （ 一 ） 運(yùn) 動(dòng) 方 程二 、 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 的 直 角 坐 標(biāo) 法1.參 考 系 ： Oxyz2.動(dòng) 點(diǎn) 的 位 置 ：（ x， y， z）3.運(yùn) 動(dòng) 方 程 ：x=f1(t)， y=f2(t)， z=f3(t)4.軌 跡 ： 從 運(yùn) 動(dòng) 方 程 中 消 去 t， 即 得 軌 跡 方 程 。 運(yùn) 動(dòng) 方 程 本 身是 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 。 9 （ 二 ） 速 度 ktzjtyitxtrv dddddddd kvjvivv zyx 2z2y2x vvvv ，vviv x ),cos( ，vvjv y ),cos( vvkv z ),cos( kzjyixr ztzvytyvxtxv zyx dd,dd,dd :的 大 小v方 向 ： 10 （ 三 ） 加 速 度 kajaiaktzjtyitx ktvjtvitvtva zyxzyx 222222 dddddd dddddddd zyx aaaa 222 ),cos( aaia x. dddd 22 zy xxxa ya xtxvtva 11 以 點(diǎn) 的 軌 跡 作 為 坐 標(biāo) 軸 來 確 定 動(dòng) 點(diǎn) 的 位 置 的 方 法 叫 自 然 法 。因 此 ， 此 方 法 必 須 已 知 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 。 （ 一 ） 運(yùn) 動(dòng) 方 程 s=f (t)三 、 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 的 自 然 法1.參 考 系 ： 用 確 定 了 原 點(diǎn) 和 正方 向 的 軌 跡 表 示 。2.位 置 ： 用 弧 坐 標(biāo) s（ 代 數(shù) 量 ）表 示3.運(yùn) 動(dòng) 方 程 ：注 意 ： 不 能 將 弧 坐 標(biāo) 與 路 程 的 概 念 混 為 一 談 。 12 （ 二 ） 自 然 軸 系 以 動(dòng) 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) ， 由曲 線 在 該 點(diǎn) 的 切 線 、 主法 線 、 副 法 線 構(gòu) 成 的 正交 軸 系 稱 為 自 然 軸 系 。nb 注 意 ： 是 變 矢 量nb為 單 位 矢 量nb 請 看 動(dòng) 畫 13 14返 回 15 （ 三 ） 速 度 vts srtssrts tssrtrv tt ttdd ddddlimlim )(limlim 00 00即 的 大 小 ：v stsv dd方 向 ： 沿 軌 跡 切 向當(dāng) v 0時(shí) ， 點(diǎn) 沿 弧 坐 標(biāo) 的 正 方 向 運(yùn) 動(dòng) ， 當(dāng) v 0時(shí) 則 相 反 。 16 tvtvvttva dddd)(dddd （ 四 ） 加 速 度 sv tssvtvtv t tt 02 00lim )(limlimdd )ddlim( 0 vtstst 17 由 圖 可 知 1dd)(lim|lim 00 sss tt 2sin22sin|2| 22sin,0,0 st 時(shí)當(dāng) 于 是1|曲 率 半 徑的 極 限 方 向 ， 即 指 向 曲 率 中 心 ， 亦 即 主 法 線 方 向 。 nvtva 2dd nvtv 2dd 即 18 banaaaaaa bnbn 比 較 前 式 得 ： 0,dd 2 bn anvatva 0,dd 2 bn avasvtva a（ 1） 切 向 加 速 度 ： 表 示 速 度 大 小 變 化 快 慢 的 程 度 法 向 加 速 度 ： 表 示 速 度 方 向 變 化 快 慢 的 程 度na 加 速 度 沿 副 法 線 方 向 的 分 量 ba 沿 切 線 。 注 意 ：指 向 曲 率 中 心 tvatva dd,dd 19 （ 2） 當(dāng) 0 時(shí) 指 向 軌 跡 正 向 （ 與 方 向 一 致 ） ，當(dāng) 0時(shí) 則 相 反 。 a aa與 v同 號(hào) 時(shí) 動(dòng) 點(diǎn) 作 加 速 運(yùn) 動(dòng) ， 異 號(hào) 時(shí) 作 減 速 運(yùn) 動(dòng)a（ 3） 加 速 度 的 大 小 和 方 向 ： nn aaaaa |arctg ,22 20 （ 五 ） 特 殊 情 況1.點(diǎn) 作 平 面 曲 線 運(yùn) 動(dòng) ， 上 述 結(jié) 論 完 全 成 立 （ 密 切 面 為 曲 線 所 在平 面 ） 。2.點(diǎn) 作 勻 速 曲 線 運(yùn) 動(dòng) ， 則 vtssnvaaav n 02 ,0, 常 量3.點(diǎn) 作 勻 變 速 曲 線 運(yùn) 動(dòng) ， 則 2, vaa n 常 量 )(2 21 0202 2000 ssavv tatvss tavv 21 判 斷 下 列 運(yùn) 動(dòng) 是 否 可 能 , 若 可 能 請 判 斷 是 什 么 運(yùn) 動(dòng) ?(加 速 運(yùn) 動(dòng) ) (不 可 能 ) (勻 速 曲 線 運(yùn) 動(dòng) ) (不 可 能 ）(不 可 能 )(不 可 能 ) (減 速 曲 線 運(yùn) 動(dòng) )思 考 題 ： 22 點(diǎn) M沿 著 螺 線 自 外 向 內(nèi) 運(yùn) 動(dòng) ， 它 走 過 的 弧 長 與 時(shí) 間 的 一 次 方 成 正比 ， 問 點(diǎn) 是 越 跑 越 快 ， 還 是 越 跑 越 慢 ？ 點(diǎn) 的 加 速 度 是 越 來 越 大 ，還 是 越 來 越 小 ？ 常 數(shù) btsvcbts dd 222 , ,0dd baabvatva nn 由 于 點(diǎn) 由 外 向 內(nèi) 運(yùn) 動(dòng) ,曲 率 半 徑 越 來 越 小 ,所 以 加 速 度越 來 越 大 。解 ： 思 考 題 ：故 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 快 慢 不 變 。 23 例 1細(xì) 桿 O1A以 的 規(guī) 律 繞 O1轉(zhuǎn) 動(dòng) ， w為 常 量 。 桿 上套 一 小 環(huán) M， 小 環(huán) 又 同 時(shí) 套 在 半 徑 為 R的 固 定 圓 環(huán) 上 ， 試 求 小環(huán) 的 速 度 、 加 速 度 。 tw 解 ： 以 小 環(huán) M為 動(dòng) 點(diǎn)已 知 軌 跡 ， 用 自 然 法將 M放 在 任 意 位 置 考 慮 O2（ ）（ +） s（ 1） 運(yùn) 動(dòng) 方 程 tRRs w 22 （ 2） 速 度 )(2dd 常 量wRtsv v方 向 沿 切 向 （ 即 OM）（ 3） 加 速 度 2請 看 動(dòng) 畫 24返 回 25O2（ ） （ +） sv0dd tva 222 4)2( ww RRRvan 222 4 w Raaaa n 的 大 小 ：方 向 ： 恒 指 向 圓 心 。 a另 解 ： 用 直 角 坐 標(biāo) 法 26 （ 1） 運(yùn) 動(dòng) 方 程 xy 2設(shè) M（ x， y） tRRx w 2cos2cos tRRy w 2sin2sin （ 消 去 t即 得 軌 跡 方 程 ： ）222 Ryx （ 2） 求 v tRxv x ww 2sin2 tRyvy ww 2cos2 wRvvvv yx 2.22 的 大 小 ： xv yvv 27x y 2xv yvv方 向 ： w 2cos2cos.),cos( tvvjv yv OM（ 3） 求 a tRva xx ww 2cos4 2 tRva yy ww 2sin4 2 222 4. wRaaaa yx 的 大 小 ： 2 jv即 ： 28x y xa ya方 向 ： )290cos( 2sin .),cos( w t aaja y即 ： MO（ 與 半 徑 方位 相 同 ， 指 向 相 反 ）a a 29 矢 量 法 用 于 公 式 推 導(dǎo) ； 直 角 坐 標(biāo) 法 和 自 然 法 用 于 計(jì) 算 ：綜 述 ：自 然 法 的 優(yōu) 點(diǎn) 是 物 理 意 義 鮮 明 ， 較 直 角 坐 標(biāo) 法 簡 便 。 缺 點(diǎn)是 要 事 先 知 道 軌 跡 ， 因 而 適 用 范 圍 有 限 。直 角 坐 標(biāo) 法 的 優(yōu) 點(diǎn) 是 適 用 范 圍 廣 （ 在 軌 跡 未 知 時(shí) 只 能 用 直角 坐 標(biāo) 法 ） 。 缺 點(diǎn) 是 一 般 較 自 然 法 麻 煩 。有 些 題 需 要 用 兩 種 方 法 聯(lián) 合 求 解 ， 此 時(shí) ：2z2y2x2n2 aaaaaa 30 *例 2 已 知 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 為 ： x=t2-t, y=2t（ t以 s計(jì) ， x、 y以 m計(jì) ） 。 求 ：（ 1） 軌 跡由 運(yùn) 動(dòng) 方 程 消 去 t， 得 0422)2( 22 xyyyyx 或（ 2） t=1s時(shí) 的 速 度 、 加 速 度 2dd,12dd tyvttxv yx 2222 2)12( tvvv yx0dd,2dd tvatva yyxx 222 m/s2 yx aaa當(dāng) t=1s時(shí) ， v=2.24m/s， a=2m/s2。 31 （ 3） t=1s時(shí) 的 切 向 加 速 度 、 法 向 加 速 度 及 此 時(shí) 點(diǎn) 所 在 位 置 的曲 率 半 徑 4)12( )12(2dd 2 t ttva 當(dāng) t=1s時(shí) ， a=0.894m/s222 )( aaan 當(dāng) t=1s時(shí) ， an=1.19m/s2 nn avva 22 由 當(dāng) t=1s時(shí) ， =2.80m 32剛 體 的 平 行 移 動(dòng) 和 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 大 量 存 在 于 工 程 實(shí) 際 ， 而 且 剛 體的 任 何 運(yùn) 動(dòng) 都 可 以 看 成 是 這 兩 種 運(yùn) 動(dòng) 的 組 合 。 他 們 是 研 究 點(diǎn)的 復(fù) 雜 運(yùn) 動(dòng) 和 剛 體 的 復(fù) 雜 運(yùn) 動(dòng) 的 基 礎(chǔ) 。 4-2 剛 體 的 基 本 運(yùn) 動(dòng)剛 體 的 運(yùn) 動(dòng) 平 行 移 動(dòng)定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)平 面 運(yùn) 動(dòng)定 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng)一 般 運(yùn) 動(dòng) 剛 體 的 基 本 運(yùn) 動(dòng)剛 體 的 復(fù) 雜 運(yùn) 動(dòng) 33車 身 作 直 線 平 動(dòng) 34BC曲 線 平 動(dòng)OA定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 35 36定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 37OB作 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)CD作 平 動(dòng) AB、 凸 輪 均 作 平 動(dòng) 38由 A,B 兩 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 式 : 而)()( trr,trr BBAA ABAB rrr AB在 運(yùn) 動(dòng) 中 方 向 和大 小 始 終 不 變 ， 即constrAB （ 一 ） 剛 體 平 動(dòng) 的 定 義 : 剛 體 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 其 體 內(nèi) 任 意 直 線 始 終 與 其 初 始 位 置 平 行 。 由 于 研 究 對(duì) 象 是 剛 體 ,所 以 運(yùn) 動(dòng) 中 要 考 慮 其 本 身 形 狀 和 尺寸 大 小一 、 剛 體 的 平 行 移 動(dòng) (平 動(dòng) ) 39 )0dd(dd)(dddd trvtrrrttrv ABAAABABB AA ABA BB atr rrt tra 2222 22dd )(dd dd:同 理（ 二 ） 剛 體 平 動(dòng) 的 特 點(diǎn) ： 各 點(diǎn) 軌 跡 形 狀 完 全 相 同 且 相 互 平 行 。 在 同 一 瞬 時(shí) 各 點(diǎn) 具 有 相 同 的 速 度 、 加 速 度 。 40注 意 ： 平 動(dòng) 直 線 平 動(dòng)曲 線 平 動(dòng)平 動(dòng) 直 線 運(yùn) 動(dòng) 41 二 、 剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)（ 一 ） 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 定 義 剛 體 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 如 果 體 內(nèi) 或 其 擴(kuò) 展 部 分 有 一 直 線 始 終 保 持不 動(dòng) ， 則 這 種 運(yùn) 動(dòng) 稱 為 剛 體 繞 固 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 。 固 定 不 動(dòng) 的 直 線 稱 為轉(zhuǎn) 軸 。（ 二 ） 轉(zhuǎn) 動(dòng) 方 程 -轉(zhuǎn) 角 ,單 位 弧 度 (rad) =f(t)-轉(zhuǎn) 動(dòng) 方 程 方 向 規(guī) 定 :右 手 螺 旋 法 則 或 ： 從 z 軸 正 向 看 去 ： 42 （ 三 ） 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 速 度 和 角 加 速 度 1.角 速 度 ： )rad/s( ddlim : 0 代 數(shù) 量 ， 單 位 ：定 義 w ttt工 程 中 常 用 轉(zhuǎn) 速 n 單 位 ： 轉(zhuǎn) /分 (r / min)n與 w的 關(guān) 系 為 : 30602 nn w 43 2.角 加 速 度 : 設(shè) 當(dāng) t 時(shí) 刻 為 w , t + t 時(shí) 刻 為 w+ w， 則 與 w方 向 一 致 為 加 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) , 與 w 方 向 相 反 為 減 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) 3.勻 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) 和 勻 變 速 轉(zhuǎn) 動(dòng)w =常 數(shù) 勻 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) =常 數(shù) 勻 變 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) 。 ww w ww 2 21202 2000 ttt 與 點(diǎn) 的 運(yùn)動(dòng) 相 類 似 。 ww 2d2dddlim0 tttt （ 代 數(shù) 量 ， 單 位 ： rad/s2） 00 w t 44 w , 對(duì) 整 個(gè) 剛 體 而 言 (各 點(diǎn) 都 一 樣 )； v, a 對(duì) 剛 體 中 某 個(gè) 點(diǎn) 而 言 (各 點(diǎn) 不 一 樣 )。三 、 轉(zhuǎn) 動(dòng) 剛 體 內(nèi) 各 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度（ 一 ） 各 點(diǎn) 的 速 度 剛 體 繞 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 時(shí) ， 體 內(nèi) 除 轉(zhuǎn) 軸 以 外的 各 點(diǎn) 都 在 與 轉(zhuǎn) 軸 垂 直 的 平 面 內(nèi) 作 圓周 運(yùn) 動(dòng) 。 研 究 任 一 點(diǎn) M：R轉(zhuǎn) 動(dòng) 半 徑 45M RsM點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 ：速 度 大 小 ： w RRttsv )(dddd方 向 ： 轉(zhuǎn) 動(dòng) 半 徑 與 一 致（ 二 ） 各 點(diǎn) 的 加 速 度 ww RtRRttva dd)(dddd 222 )( ww RRRvan 4222 w Raaa n 2 tan w naa方 向 ： a 轉(zhuǎn) 動(dòng) 半 徑 與 一 致 ， an指 向轉(zhuǎn) 軸 46 同 一 瞬 時(shí) 剛 體 內(nèi) 各 點(diǎn) 的 速 度 、 加 速 度 的 大 小 都 與 該 點(diǎn) 到 轉(zhuǎn)軸 的 距 離 成 正 比 。 剛 體 內(nèi) 各 點(diǎn) 的 速 度 都 與 該 點(diǎn) 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 半 徑 垂 直 ； 同 一 瞬 時(shí) 各點(diǎn) 的 全 加 速 度 與 該 點(diǎn) 轉(zhuǎn) 動(dòng) 半 徑 夾 角 相 同 。（ 三 ） 轉(zhuǎn) 動(dòng) 剛 體 內(nèi) 各 點(diǎn) 的 速 度 、 加 速 度 的 分 布 規(guī) 律 47 工 程 中 ,常 用 一 系 列 互 相 嚙 合 的 齒 輪 來實(shí) 現(xiàn) 變 速 ,它 們 的 基 本 原 理 是 什 么 呢 ? 四 、 輪 系 傳 動(dòng)（ 一 ） 齒 輪 傳 動(dòng) 內(nèi)嚙合外嚙合 請 看 動(dòng) 畫 48返 回 49 DDCC DCDC rr vv,vv ww CDCDDCDCCD ZZrrnni ww由 于 兩 輪 接 觸 處 沒 有 相 對(duì) 滑 動(dòng) ：Z齒 輪 的 齒 數(shù)i傳 動(dòng) 比 ： 主 動(dòng) 輪 與 從 動(dòng) 輪 角 速 度 （ 或 轉(zhuǎn) 速 ） 比 當(dāng) 兩 輪 轉(zhuǎn) 向 相 同 時(shí) 為 正 ， 相 反 時(shí) 為 負(fù) 50 （ 二 ） 皮 帶 輪 系 傳 動(dòng) BA vv BBAA rr ww ABBAAB rri ww 51 五 、 角 速 度 和 角 加 速 度 的 矢 量 表 示 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度 的 矢 積 表 示（ 一 ） 角 速 度 和 角 加 速 度 的 矢 量 表 示kww方 向 如 圖 kktt dddd ww 按 右 手 定 則 規(guī) 定 ， 的 方 向 。w 52 （ 二 ） 剛 體 內(nèi) 任 一 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度 的 矢 積 表 示 |sin rrRv www rv w trrtt rtva ddddd )(ddd www vr w no aRvv aRrr 290sin| sin| www ra van w 相 同的 方 向 與而 rv w 方 向 分 別 相 同與與又 navar w , 53 例 3已 知 ： 重 物 A的 aA=1m/s2（ 常 數(shù) ） ， 初 瞬 時(shí) 速 度 v0=1.5m/s，R=0.5m， r=0.3m， 繩 子 不 可 以 伸 長 ， 求 滑 輪 D點(diǎn) 在 3s時(shí) 的加 速 度 。 2rad/s 2 RaRa AC rad/s3 000 RvRvCw ） 常 數(shù)（ （ ）解 ： 輪 的 角 加 速 度 ：開 始 時(shí) 輪 的 角 速 度 ：rad/s 9 0 tww 3s時(shí) 輪 的 角 速 度 ： （ ） 54 滑 輪 D點(diǎn) 在 3s時(shí) 的 加 速 度 ： 2m/s6.0 raD 22 m/s3.24 ranD w 41.1)3.246.0arctan(m/s3.24 )()( 2 22 nDDD aaaDanDa Da 55 *例 4 已 知 ： 圓 輪 O由 靜 止 開 始 作 等 加 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) ， OM 0.4m， 在 某 瞬 時(shí) 30,m/s 40 2 Ma求 ： 轉(zhuǎn) 動(dòng) 方 程 ; t 5s時(shí) ， 點(diǎn) 的 速 度 和 法 向 加 速 度 的 大 小 。 sin MaRa 2rad/s 50sin OMaOMa M 解 ： 22200 25502121,0 tttt ww 225t轉(zhuǎn) 動(dòng) 方 程 56 ttRvtt M 20504.0 ,50 0 www 222 m/s250004.0100 Rva MnM當(dāng) 5s時(shí) ， m/s100520 Mv 57 *例 5試 畫 出 圖 中 剛 體 上 兩 點(diǎn) 在 圖 示 位 置 時(shí) 的 速 度 和加 速 度 。 ),( 2121 ABOOBOAO 58