勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 磁 場(chǎng) 指 導(dǎo) 老 師 ： 孫 老 師 和 助 教 老 師莫 建 勇 pb05203125 庫(kù) 侖 定 律 只 告 訴 我 們 一 個(gè) 靜 止 的點(diǎn) 電 荷 的 成 場(chǎng) 規(guī) 律 ,那 么 當(dāng) 點(diǎn) 電 荷勻 速 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 的 成 場(chǎng) 規(guī) 律 怎 樣 呢 ? 怎 樣 求 解 一 個(gè) 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 對(duì)另 一 個(gè) 點(diǎn) 電 荷 的 作 用 力 呢 ？ 回 答是 可 以 運(yùn) 用 狹 義 相 對(duì) 論 的 理 論 來(lái)進(jìn) 行 求 解 .問 題 的 提 出 ： 若 在 一 個(gè) 慣 性 參 考 系 k中 ,q2是 靜 止 的 ， 而 q1相 對(duì) k系 勻 速 運(yùn) 動(dòng) ， 在 k系 中 若 要 求 q2對(duì) q1的作 用 力 則 直 接 用 庫(kù) 侖 定 律 即 可 ； 若 要 求 q1對(duì)q2的 作 用 力 ， 可 以 取 另 一 個(gè) 關(guān) 于 q1靜 止 的 慣性 參 考 系 k 系 ， 先 在 k 系 中 求 出 有 關(guān) 的物 理 量 ， 然 后 用 狹 義 相 對(duì) 論 中 的 慣 性 系 k與k 系 之 間 的 變 換 公 式 ， 將 k 系 中 的 物 理量 轉(zhuǎn) 化 到 k系 中 ， 這 樣 就 可 以 求 出 在 k系 中 q1對(duì) q2的 作 用 力 了 ， 并 可 以 進(jìn) 一 步 求 得 勻 速 運(yùn)動(dòng) 的 點(diǎn) 電 荷 所 成 的 電 磁 場(chǎng) ,并 可 檢 驗(yàn) 靜 電 磁場(chǎng) 中 的 一 些 定 理 在 這 種 情 況 下 是 否 成 立 ?；?本 想 法 : 主 要 內(nèi) 容 : 求 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 形 成 的 電 場(chǎng) 驗(yàn) 證 電 場(chǎng) 的 高 斯 定 理 和 檢 驗(yàn) 靜 電 場(chǎng) 環(huán) 路 定 理 求 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 形 成 的 磁 場(chǎng) 驗(yàn) 證 磁 場(chǎng) 的 高 斯 定 理 導(dǎo) 出 畢 奧 -沙 伐 爾 定 理 在 做 具 體 工 作 之 前 引 進(jìn) 一 個(gè) 基 本 假 設(shè) ： 電 荷 量 不 變 原 理 ： 一 個(gè) 系 統(tǒng) 中 總 電 量 ， 在 不同 的 慣 性 系 中 觀 察 都 是 一 樣 的 對(duì) 這 條 基 本 假 設(shè) 的 幾 點(diǎn) 看 法 ： 1.通 常 氣 體 宏 觀 上 是 顯 電 中 性 的 ， 假 如帶 電 物 體 的 總 電 量 與 它 的 運(yùn) 動(dòng) 狀 （ 即參 考 系 的 選 擇 ） 有 關(guān) 的 話 ， 那 么 我 們知 道 氣 體 中 例 如 氧 氣 中 的 質(zhì) 子 與 電 子的 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 不 相 同 的 ， 也 就 是 說(shuō) 氧 氣分 子 對(duì) 外 是 有 電 性 的 ， 若 說(shuō) 這 個(gè) 電 量很 小 不 易 被 觀 測(cè) 到 ， 那 么 一 個(gè) 系 統(tǒng) 中的 大 量 分 子 的 總 和 一 定 是 容 易 測(cè) 到 的 ，所 以 說(shuō) 明 帶 電 物 體 的 總 電 量 與 其 運(yùn) 動(dòng)狀 態(tài) 無(wú) 關(guān) 。 我 們 知 道 電 荷 有 一 個(gè) 很 重 要 的 特 點(diǎn) ：電 荷 是 量 子 化 的 。 如 果 說(shuō) 電 荷 總 量 與其 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 有 關(guān) 的 話 ， 那 么 我 們 知 道在 狹 義 相 對(duì) 論 中 標(biāo) 量 一 般 是 在 原 慣 性系 K中 測(cè) 量 ， 乘 以 或 除 以 一 個(gè) 因 子 或 者其 它 形 式 。 總 之 一 般 都 是 以 V為 自 變 量的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 這 與 電 荷 是 量 子 化 的 相對(duì) 矛 盾 。 所 以 總 電 量 應(yīng) 該 是 一 個(gè) 與 兩慣 性 系 相 對(duì) 速 度 V無(wú) 關(guān) 的 常 量 ， 即 總 電 量 的 不 變 原 理。 在 精 度 較 高 的 電 子 荷 質(zhì) 比 實(shí) 驗(yàn) 中 ， 高速 運(yùn) 動(dòng) 的 帶 電 粒 子 的 荷 質(zhì) 比 的 測(cè) 定 實(shí)驗(yàn) 證 明 符 合 如 下 關(guān) 系 式 ： cvmcvme mme 2202200 1;1 這 就 說(shuō) 明 電 子 的 總 電 荷 不 隨 其 運(yùn)動(dòng) 狀 態(tài) 改 變 而 改 變 . 一 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 的 電 場(chǎng)在 慣 性 系 k中 , 設(shè) 當(dāng) k系 與 k 系 的 原 點(diǎn) 重 合 時(shí) t=t =0rzqqryqqrxqq zyx FFF 30 2130 2130 21 4;4;4 根 據(jù) 狹 義 相 對(duì) 論 力 的 變 換 公 式 cucvFcucvFcucF xzzxyxx vFvFv FuvF yx 2 222 2222 1 1;1 1;1 由 上 述 公 式 可 得 : 2222 1;1; cvFcvFFF zzyyxx FF 注 :為 書 寫 方 便 下 文 令 bcvacvb 111 1; 2222 所 以 得 到 k系 中 的 作 用 力 rzqaqryqaqrxqq zyx FFF 30 2130 2130 21 4;4;4 Lorentz Transformations得 到 : zzyyvtxacvvtxx ;1 22 所 以 k系 中 作 用 力 的 最 終 表 達(dá) 式 : 2222222 zyvtxazyxr 232222021 232222021 232222021444 zyvtxa zqaq zyvtxa yqaq zyvtxa vtxqaqFFF zyx 所 以 k系 中 作 用 力 的 矢 量 表 達(dá) 式 : 2222 2/302112 )( )(4 zyvtxa zkyjivtxqaqF 12222 2/302121 )( )(4 Fzyvtx zkyjivtxqqF 上 式 可 知 牛 頓 第 三 定 律 在 這 種 情 況下 是 不 成 立 的 由 作 用 力 我 們 可 以 直 接 得 到 電 場(chǎng) 直 角坐 標(biāo) 系 下 的 表 達(dá) 式 : 2222 2301 )( )(4 zyvtxaaq zkyjivtxE 把 電 場(chǎng) 用 球 坐 標(biāo) 表 示 ： rbaE r q sin )1(4 2 2320 2 1 從 上 式 可 以 清 晰 地 看 到 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 的 點(diǎn) 電 荷 激發(fā) 的 電 場(chǎng) 不 再 是 球 對(duì) 稱 了 .下 面 考 察 兩 個(gè) 特 殊的 位 置 : 1.=0 02221 104 EarE raq a 1 在 點(diǎn) 電 荷 速 度 方 向 電 場(chǎng) 減 小 為 原 來(lái) 的 a的 平 方 分 之 一 。 2. 00 212320 2 1 414 )( EarrbaE raqrq a 1 在 點(diǎn) 電 荷 速 度 方 向 電 場(chǎng) 增 強(qiáng)為 原 來(lái) 的 a倍 。 用 兩 幅 圖 來(lái) 對(duì) 比 靜 止 點(diǎn) 電 荷 和 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn)電 荷 所 激 發(fā) 電 場(chǎng) 的 差 異 ： 二 .驗(yàn) 證 靜 電 場(chǎng) 高 斯 定 理 ba ba dbqdxq dqdq dqdsdE baxba abaSinba SinbRa R arctanarctan011 22 232320 0 22 23200 2 2320 20 0 2 23220 2 cos22 cos22 sin 4 sin1 1cos1 1 可 見 ,以 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 為 球 心 的 球 面為 高 斯 面 是 滿 足 高 斯 定 理 的 ,其 他 任 意一 個(gè) 封 閉 的 曲 面 都 是 滿 足 高 斯 定 理 的 ,證 明 同 靜 電 學(xué) 中 一 樣 ,詳 見 胡 友 秋 等 編著 的 電 磁 學(xué) p27頁(yè) 。 00arctan00 sin qbbqbq ba 二 .檢 驗(yàn) 靜 電 場(chǎng) 環(huán) 路 定 理 ： 1sin11 1 sin11 sinsin1 EE ErE EE EE rr rr rr rr rrr rrE 所 以 其 旋 度 為 : 0sin14 cossin3 2/52320 braqbE這 就 說(shuō) 明 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 的 點(diǎn) 電 荷 激 發(fā) 的電 場(chǎng) 不 再 滿 足 靜 電 場(chǎng) 環(huán) 路 定 理 ! 三 .勻 速 運(yùn) 動(dòng) 點(diǎn) 電 荷 的 磁 場(chǎng) 事 實(shí) 上 在 上 半 部 分 中 q1在 q2就 已 經(jīng) 激 發(fā) 出 磁場(chǎng) 了 ,但 由 于 q2是 靜 止 的 ,所 以 不 能 通 過(guò) 洛 侖茲 力 檢 測(cè) 出 來(lái) ,所 以 必 須 讓 q2動(dòng) 起 來(lái) ！ 同 前 面 方 法 得 到 k 系 中 的 作 用 力 0;2 zyytvx 222122222 12221 0;1 ytvvazyxr zyytvvacvtvxx Lorentz Transformations得 到 : 下 面 進(jìn) 行 q2的 速 度 在 兩 個(gè) 慣 性 坐 標(biāo) 系 中 的 轉(zhuǎn)換 ,從 而 求 出 在 k系 中 的 作 用 力 04 44 44 3021 2/32221220 213021 2/32221220 12213021 rzqqF ytvva yqqryqqF ytvva tvvqaqrxqqFzyx 由 狹 義 相 對(duì) 論 速 度 變 換 公 式 : 0;2 zyx uuvu 0;1 2 21 12 zyx uucvvvvu 01 1 11 1 1 11 2 1 221 2 212 1 221 2 1 2 12 1 21 cuv cvF cvvaFcuv cvFF Fcuv cuvFcuv FucvFF xzz yxyy xx xxxxxF 所 以 得 到 k系 中 的 作 用 力 04 14 2/32221220 2 2121 2/32221220 1221 F ytvva cvvyqaqF ytvva tvvqaqF zy x 取 t=0時(shí) 刻 來(lái) 說(shuō) 明 問 題 0;4 1;0 20 2 2121 Fy cvvqaqFF zyx 若 q2相 對(duì) 于 k系 是 靜 止 的 ,則 有 (t=0) 0;4;0 20 21 FyqaqFF zyx 比 較 兩 種 情 況 得 到 ： 2 2120 214 cvvyqaqF y 正 是 因 為 q2在 k系 中 以 v2沿 x軸 正 向 運(yùn) 動(dòng)而 多 出 這 么 一 項(xiàng) ,這 就 是 Lorentz力 !又因 為 : )( 22 BvqF B 通 過(guò) 比 較 得 到 : 212014 cvyaqB 對(duì) 一 般 情 況 有 : EvcB 21由 前 面 得 到 的 電 場(chǎng) 表 達(dá) 式 得 到 磁 場(chǎng) : )sin1( sin4 )sin1(4 sin1 2 2322 10 2 2320 2 12 bra vq bra vqcB 下 面 驗(yàn) 證 磁 場(chǎng) 的 高 斯 定 理上 式 即 q1為 在 q2處 激 發(fā) 的 磁 場(chǎng) 四.驗(yàn)證磁場(chǎng)高斯定理: 0sin1sin4sin1 sin1sinsin11 2 232 2022 bra vqr rrrB BBBrr r所 以 在 這 種 情 況 磁 場(chǎng) 高 斯 定 理 是 成 立 的 五 .畢 奧 -沙 伐 爾 定 理 的 證 明 該 電 場(chǎng) 是 由 靜 止 的 離 子 和 運(yùn) 動(dòng) 的 電 子激 發(fā) 電 場(chǎng) 的 合 成 1.離 子 激 發(fā) 的 電 場(chǎng)因 為 離 子 是 靜 止 的 ,由 靜 電 場(chǎng) 的 高 斯 定 理 :rrElrlE 22 11 2.電 子 激 發(fā) 的 電 場(chǎng) 由 前 面 得 到 : 2222 )( 2301 )(4 zyvtxaaq zkyjivtxE 因 為 電 流 是 穩(wěn) 恒 的 ,所 以 不 妨 取 t=0 dxrxa zkyjxiaEd 2/322204 由 對(duì) 稱 性 ,電 場(chǎng) 其 垂 直 于 導(dǎo) 線 : rdraar dxarxar dxrxa raE 0222220 2/322220 2/322202 2cos4 14 4 A處 的 電 場(chǎng) : 022 0021 rEEE 由 于 A點(diǎn) 是 任 意 的 ,所 以 通 電 直 導(dǎo) 線 周 圍 不存 在 電 場(chǎng) .下 面 考 察 A處 的 磁 場(chǎng) : )sin1( sin4 2 23220 bra qvB r rlIddlrI dlbraI dxbrav bra dxvBd 3020 2220 2220 2 23220 4sin4 sin231sin4 sin231sin4 )sin1( sin)(4 這 就 是 著 名 的 畢 奧 -沙 伐 爾 定 理 ,這 里用 狹 義 相 對(duì) 論 就 可 以 很 容 易 地 導(dǎo) 出 .總 結(jié) :從 歷 史 上 看 ,相 對(duì) 論 很 大 程 度 上 起 源 于 電磁 學(xué) 的 理 論 研 究 ,只 是 嘗 試 了 運(yùn) 用 已 學(xué) 過(guò)的 狹 義 相 對(duì) 論 來(lái) 解 決 一 些 簡(jiǎn) 單 問 題 ,中 間肯 定 難 免 有 些 不 妥 之 處 ,請(qǐng) 各 位 老 師 指 正 參 考 文 獻(xiàn) ： 電 磁 學(xué) 胡 友 秋 等 中 國(guó) 科 大 出 版 社 The Feynman Lectures On Physics 力 學(xué) 楊 維 閎 中 國(guó) 科 大 出 版 社 運(yùn) 動(dòng) 系 統(tǒng) 的 電 磁 場(chǎng) 屠 德 雍 高 教 出 版 社 電 動(dòng) 力 學(xué) 虞 福 春 等 北 京 大 學(xué) 出 版 社 肯 定 有 不 足 之 處 懇 請(qǐng) 大 家 指 正 謝 謝 大 家 !