《對(duì)數(shù)函數(shù) 典型例題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《對(duì)數(shù)函數(shù) 典型例題（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、對(duì)數(shù)函數(shù) 例1 求下列函數(shù)的定義域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=logx+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定義域?yàn)?｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令 得 故所求定義域?yàn)椋鹸｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令 ，得 故所求定義域?yàn)? ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 說明 求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮，真數(shù)大于零．底數(shù)大于零不等于1，若處在分母的位置，還要考慮不能使分母為零． 例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． （1）y=log2（x

2、-4）； （2）y=log0．5x2． 解：（1）定義域是（4，+∞），設(shè)t=x-4,當(dāng)x＞4時(shí)，t隨x的增大而增大，而y=log2t，y又隨t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的遞增區(qū)間． （2）定義域｛x｜x∈R，且x≠0｝，設(shè)t=x2，則y=log0．5t 當(dāng)x＞0時(shí)，t隨x的增大而增大，y隨t的增大而減小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的遞減區(qū)間． 當(dāng)x＜0時(shí)，t隨x的增大而減小，y隨t的增大而減小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的遞增區(qū)間． 例3 比較大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lgn）1．7

3、和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)y=log0．7x在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．因?yàn)?．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指數(shù)函數(shù)的底，本題歸為比較兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，故需對(duì)底數(shù)lgn討論． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10時(shí)，y=（lgn） x在R上是減函數(shù)，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10時(shí)，y=（lgn）2在R上是增函數(shù)，所以（lgn）1．7＞（lgn）2． （3）函數(shù)y=log2x和y=log5x當(dāng)x＞1時(shí)，y=lo

4、g2x的圖像在y=log5x圖像上方．這里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，須找出中間量“搭橋”，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解． 因?yàn)閘og35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 評(píng)析 要注意正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，尤其是第（3）小題，可直接利用例2中的說明得到結(jié)論． 例4 已知函數(shù)f（x）=loga（a-ax）（a＞1）， （1）求f（x）的定義域、值域． （2）判斷并證明其單調(diào)性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函數(shù)有意義，必須滿足a-ax＞0，即ax<

5、a．因?yàn)閍＞1，所以x＜1；又因?yàn)?＜a-ax＜a，所以f（x）=loga（a-ax）（a＞1）的值域?yàn)椋?∞，1） （2）設(shè)x1＜x2＜1，則a ＜a ＜a（因?yàn)閍＞1）．所以a-a ＞a-a ＞0，所以loga（a-a ）＞loga（a-a ），即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）這（-∞，1）上的減函數(shù)． （3）設(shè)y=loga（a-ax），則a-ax=ay,ax=a-ay,x=loga（a-ay）,所以 f-1（x）=loga（a-ax）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）． 由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）為（-∞，1）上的減函數(shù)，

6、所以 x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1． 評(píng)析 知道函數(shù)值大小關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性，要研究自變量取值范圍，應(yīng)直接用單調(diào)性得關(guān)于x的不等式，但要注意單調(diào)區(qū)間． 例5 已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值時(shí)，x的值． 分析 要求函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做兩件事，一是要求其表達(dá)式；二是要求出它的定義域，然后求值域． 解：∵f（x）=2+log3x， ∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+

7、6 =（log3x+3）2-3． ∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，9］， ∴要使函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）有定義，就須 ∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1 ∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13 ∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13． 說明 本例正確求解的關(guān)鍵是：函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）定義域的正確確定．如果我們誤認(rèn)為［1，9］是它的定義域．則將求得錯(cuò)誤的最大值22． 其實(shí)我們還能求出函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的值域?yàn)椋?，13］． 例6 （1）已知函數(shù)y=log3（x2-4mx+4m2+m+ ）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的

8、取值范圍； （2）已知函數(shù)y=loga［x2+（k+1）x-k+ （a＞0，且a≠1）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 點(diǎn)撥：題（1）中，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x2-4mx+4m2+m+ ＞0恒成立；題（2）中，x2+（k+1）x-k+ 取盡一切正實(shí)數(shù)． 解：（1）∵x2-4mx+4m2+m+ ＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立， ∴△=16m2-4（4m2+m+ ）=-4（m+ ）＜0， ∴ ＞0． 又∵m2-m+1＞0，∴m-1＞0，∴m＞1． （2）∵y∈R， ∴x2+（k+1）x-k+ 可取盡一切正實(shí)數(shù)． ∴△=（k+1）2-4（-k+ ）≥0， ∴k2+6k≥0，∴k≥0，或k≤-6

9、． 評(píng)析 本題兩小題的函數(shù)的定義域與值域正好錯(cuò)位．（1）中函數(shù)的定義域?yàn)镽，由判別式小于零確保；（2）中函數(shù)的值域?yàn)镽，由判別式不小于零確定． 例7 求函數(shù)y=log0．5（-x2+2x+8）的單調(diào)區(qū)間． 分析 由于對(duì)函數(shù)的底是一個(gè)小于1的正數(shù)，故原函數(shù)與函數(shù)u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的單調(diào)性相反． 解．∵-x2+2x+8＞0， ∴ -2＜x＜4， ∴ 原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，4）． 又∵ 函數(shù)u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上為增函數(shù)，在［1，4）上為減函數(shù)， ∴函數(shù)y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上為減函數(shù)，在［1，4）上為

10、增函數(shù)． 評(píng)析 判斷函數(shù)的單調(diào)性必須先求出函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集． 例8 已知a＞0且a≠1，f（logax）= （x-x-1）． （1）求f（x）; （2）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性； （3）對(duì)于f（x）,當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的取值范圍． 分析 先用換元法求出f（x）的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第（3）小題． 解：（1）令t=logax（t∈R），則x=at，且f（t）= （at-a-t）， ∴f（x）= （ax-a-x）（x∈R）． （2）∵f（-x）= （a-x-ax）=-f（x），且x∈R，∴f（x）為奇函數(shù)． a＞1時(shí)，ax-a-x為增函數(shù)，并且注意到 ，∴這時(shí)，f（x）為增函數(shù)． 0＜a＜1時(shí)，類似可證f（x）為增函數(shù)． ∴f（x）在R上是增函數(shù)． （3）∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，且f（x）為奇函數(shù)． ∴f（1-m）＜f（m2-1）． ∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)， ∴ ∴1＜m＜ ． 評(píng)析 題（3）的求解脫離了f（x）的具體形式，僅用到前面得到的函數(shù)的性質(zhì)