人教版數(shù)學(xué)必修五第一章 解三角形 重難點(diǎn)解析第一章 課文目錄11正弦定理和余弦定理 12應(yīng)用舉例 13實(shí)習(xí)作業(yè) 【重點(diǎn)】1、正弦定理、余弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。2、在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；3、三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用；實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解決。4、結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題。5、能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系。6、推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目?！倦y點(diǎn)】1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。2、勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用，正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。3、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖，能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件。4、靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題。5、利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題?！疽c(diǎn)內(nèi)容】一、正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過(guò)A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過(guò)C作垂直于得： = =正弦定理的應(yīng)用正弦定理可以用來(lái)解兩種類型的三角問(wèn)題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):2、余弦定理余弦定理用語(yǔ)言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍即： 若用三邊表示角，余弦定理可以寫(xiě)為余弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊注意：在（0，）范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性若cosA0則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA0，則A為鈍角3、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣這與RtABC中，C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例4、三角形的有關(guān)定理：內(nèi)角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r為內(nèi)切圓半徑)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）、分析題意，弄清已知和所求；（2）、根據(jù)提意，畫(huà)出示意圖；（3）、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知所求；（4）、正確運(yùn)用正、余弦定理?！镜湫屠}】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題，而B(niǎo)的平分線BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例5在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A,C及邊c解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=45<90且b<a,所以有兩解A=60或A=120(1)當(dāng)A=60時(shí),C=180-(A+B)=75， c=,(2)當(dāng)A=120時(shí),C=180-(A+B)=15 ，c=思維點(diǎn)撥：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論例6ABC中，若，判斷ABC的形狀。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC為等腰或直角三角形解二： 由題設(shè)：化簡(jiǎn)：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC為等腰或直角三角形思維點(diǎn)撥：判斷三角形的形狀從角或邊入手例7在ABC中，已知，成等差數(shù)列，b=1, 求證：1<a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因?yàn)?<A<120，所以30<A+30<150,故1<2sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c<1 03(a-c)2<3, 4-3(a-c) 24,即(a+c) 24, a+c2a+c>1, 1<a+c2思維點(diǎn)撥：邊角互化是解三角形問(wèn)題常用的手段例8已知O的半徑為R，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求ABC面積S的最大值解：由已知條件得即有 ，又 所以當(dāng)A = B時(shí)，思維點(diǎn)撥：三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)例9在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km ，并以10 km / h的速度不斷增加，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲。解：(一) 如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向. 在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)為 此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是， 其中t+60， 若在t時(shí)，該城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有即即， 解得.答：12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲解(二)設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得例10如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB = 變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。例11AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、，CD = a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例12如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = 177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.例13如圖,一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC = 7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度約為1047米例14如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例15在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因?yàn)?sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例16某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡(jiǎn)得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因?yàn)閟inBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解【考題解析】高考在考什么【考題回放】1設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，則是的（ A ）（A）充分條件 （B）充分而不必要條件 （C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件2在中，已知，給出以下四個(gè)論斷： 其中正確的是（ B ） （A） （B） （C） （D）3在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_(kāi).4如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（）A和都是銳角三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形5己知A、C是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tanA, tanC是方程x2-px+1-p0(p0，且pR)，的兩個(gè)實(shí)根，則tan(A+C)=_，tanA,tanC的取值范圍分別是_ _和_ _，p的取值范圍是_；(0，)；(0，)；，1) 6在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA.【專家解答】 設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BE=x 在BDE中可得，解得，（舍去）故BC=2，從而，即 又，故，高考要考什么【考點(diǎn)透視】本專題主要考查正弦定理和余弦定理【熱點(diǎn)透析】三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 學(xué)生需要掌握的能力：(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正(余)弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問(wèn)題，注意隱含條件的挖掘 突破重難點(diǎn)【范例1】在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為。（1） 判斷ABC的形狀；（2） 求ABC的面積。解析（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=, sinB=sin(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16【點(diǎn)晴】此題主要考查三角函數(shù)變換及正弦定理的應(yīng)用.用正弦定理化邊為角，再以角為突破口，判斷出ABC的形狀，最后由已知條件求出三條邊，從而求面積.【文】在ABC中，若tanAtanB，試判斷ABC的形狀解析 由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得A、B為三角形的內(nèi)角，sinA0，sinB02A2B或2A2B，AB或AB所以ABC為等腰三角形或直角三角形【點(diǎn)晴】三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a2b2c2，a2b2>c2（銳角三角形），a2b2c2（鈍角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索【范例2】中，內(nèi)角.的對(duì)邊分別為.，已知.成等比數(shù)列，且（1）求的值；（2）若，求的值解析（1）由得，由得，（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是： 故【點(diǎn)晴】 以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向，因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解斜三角形中的靈活應(yīng)用.【文】在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.解析 【點(diǎn)睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用比較廣泛.【范例3】已知ABC的周長(zhǎng)為6，成等比數(shù)列，求（1）ABC的面積S的最大值；（2）的取值范圍解析 設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b=ac 在ABC中得,故有又從而（），即（） 【點(diǎn)睛】 三角與向量結(jié)合是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn).問(wèn)題當(dāng)中的字母比較多，這就需要我們采用消元的思想，想辦法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當(dāng)?shù)闹髯冊(cè)髯冊(cè)墙獯饐?wèn)題的基本元素，有效的控制和利用對(duì)調(diào)整解題思路是十分有益處的 【變式】在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, ABC的外接圓半徑R=，且滿足.(1) 求角B和邊b的大小；(2) 求ABC的面積的最大值。解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2)= 當(dāng)A=時(shí), 的最大值是【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的最值問(wèn)題在三角形中的應(yīng)用【范例4】某觀測(cè)站C在城A的南20西的方向上，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南40東，在C處測(cè)得距C為31千米的公路上B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到達(dá)D處，此時(shí)C、D間距離為21千米，問(wèn)還需走多少千米到達(dá)A城？解析 據(jù)題意得圖02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，CAB=60設(shè)ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中得所以還得走15千米到達(dá)A城【點(diǎn)晴】 運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之【變式】已知半圓O的直徑AB=2，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OP=2，Q為半圓上任意一點(diǎn)，以PQ為一邊作等邊三角形PQR（P、Q、R為順時(shí)針排列），問(wèn)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，四邊形OPRQ面積最大，并求這個(gè)最大面積.解析 設(shè)面積，而POQ面積S2=，四邊形OPRQ面積.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題.自我提升1在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinAsinB( B )（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但無(wú)最小值（C）.既無(wú)最大值也無(wú)最小值 （D）.有最大值1但無(wú)最小值2已知非零向量與滿足且則為（ D ）（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D）三邊均不相等的三角形3ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則C的大小是 （ A ）（A） （B） （C）或 （D）或4.一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( A )(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 . （0，2）6已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,若的內(nèi)角A滿足,則A的取值范圍是 _7數(shù)列a n中，首項(xiàng)a12，前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）判斷數(shù)列a n是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論？（2）若對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以a n，a n+1，a n+2為邊長(zhǎng)都能構(gòu)成三角形，求t的取值范圍。解析 (1)略（2）【文】在中，.的對(duì)邊分別為.。（1） 若a,b,c 成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解析 (1) , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), f(B)=sinB+cosB= 的值域?yàn)?2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展開(kāi),化簡(jiǎn),得 , , cosB=8在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值.解析 按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，又設(shè)BAP=，DPA=，BDP=2，再設(shè)AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 060，6060+2180，當(dāng)60+2=90，即=15時(shí)，sin(60+2)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.【文】在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足（）求角大??；（）若，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀解析（）， ， （）由余弦定理，得， 所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)此時(shí)為正三角形解三角形 檢測(cè)題班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 成績(jī) 一、選擇題:1在ABC中，下列式子不正確的是 A B C D2在ABC中，則的值為 A B C D23在ABC中，若，則ABC是 A等邊三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形4 ，則三角形的形狀為 A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形5在ABC中，則B等于 A B或 C D或 6在ABC中，已知，則此三角形的最大內(nèi)角是 A1200 B1500 C600 D9007在ABC中，“A=B”是“”的 A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件8銳角ABC中，B=2A，則的取值范圍是 A B C D二、填空題：9在ABC中，若，則AC= ；10在ABC中，則BAC= ；11一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東300，處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東750，且與它相距海里，此船的航速是 ；12在銳角三角形ABC中，已知，則BAC= ， .三、 解答題：13已知三角形ABC的外接圓半徑為1，且角A、B、C成等差數(shù)列，若角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，求的取值范圍.14在ABC中，求的值和三角形的面積.15ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。16在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，且. 求的值； 若，求.參考答案一、選擇題：1 C2 C3 B4 A5 A6 B7 B8 D二、填空題：9. 3 10. 30 11.32海里/小時(shí) 12.60 2三、解答題：13 14. 三角形的面積為15解：A、B、C為ABC的三內(nèi)角 令A(yù)是ABC的內(nèi)角 x可以取到，由拋物線的圖像及性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，為其最大值。 此時(shí)16.（1）A，B，C是ABC的內(nèi)角 （2）A 是ABC的內(nèi)角 又 是ABC的一邊