概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 下 頁 1)( k kk pxXE dxxxfXE )()( 1 )()()( k kk pxgXgEYE dxxfxgXgEYE )()()()( dxdyyxfyxgYXgEZE ),(),(),()( 1.離 散 型2.連 續(xù) 型3.Y= g(X)Z=g(X,Y) 復(fù) 習(xí) ijji j i pyxgYXgEZE ),(),()( ( ) ( , )E X xf x y dxdy 二 維 離 散 型 數(shù) 學(xué) 期 望的 計 算 : 分 兩 步 進(jìn) 行 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 下 頁 1)( k kk pxXE dxxxfXE )()( 1 )()()( k kk pxgXgEYE( ) ( ) ( ) ( )E Y E g X g x f x dx dxdyyxfyxgYXgEZE ),(),(),()( 1.離 散 型2.連 續(xù) 型 Y= g(X)Z=g(X,Y)復(fù) 習(xí) ijji j i pyxgYXgEZE ),(),()( ( ) ( , )E X xf x y dxdy Y= g(X)Z=g(X,Y) 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 下 頁 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì) (復(fù) 習(xí) )性 質(zhì) 1 E（ C） = C ； 其 中 C為 常 數(shù) 性 質(zhì) 2 E（ CX） = C E（ X）性 質(zhì) 3 E（ X+Y） = E（ X） +E（ Y） 性 質(zhì) 4 設(shè) X， Y是 兩 個 相 互 獨 立 的 隨 機(jī) 變 量 ， 則 有 E（ XY） = E（ X） E（ Y）推 廣（ 1） E（ X1+X2+Xn） = E（ X1） +E（ X2） +E（ Xn）(3) 若 X1， X2， ， Xn相 互 獨 立 ， 則 E ( X1 X2 Xn） = E(X1) E(X2) E(Xn)（ 2） E（ C1X1+C2X2+CnXn） = E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn)特 別 E（ E（ X） ） = E（ X） 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 4.2 方 差0. 方 差 概 念 的 引 入 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 是 一 個 重 要 的 數(shù) 學(xué) 特 征 ， 反 應(yīng) 了 隨 機(jī) 變 量 取 值 的 平 均 大 小 ， 但 只 知 道 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 是 不 夠 的 .引 例 1： 從 甲 、 乙 兩 車 床 加 工 的 零 件 中 各 取 件 ， 測 得 尺 寸 如 下 ： 甲 ： 8， 9， 10， 11， 12； 乙 ： 9.6， 9.8， 10， 10.2， 10.4已 知 標(biāo) 準(zhǔn) 尺 寸 為 10(cm),公 差 d=0.5cm, 問 那 一 臺 車 床 好 ？以 X 甲 ， X乙 分 別 表 示 甲 、 乙 兩 車 床 加 工 零 件 的 長 度 . 易 得 ： E(X甲 ) =E(X乙 ) 10。 雖 然 甲 乙 車 床 加 工 零 件 的 均 值 相 等 ， 但 其 零 件 的 質(zhì) 量 有 顯 著差 異 ， 甲 加 工 的 零 件 只 有 件 合 格 ， 乙 加 工 全 合 格 .108 119 1210考 慮 E(|X-E(X)|) EX-E(X)2 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 X 8 9 10P 0.3 0.2 0.5Y 8 9 10P 0.2 0.4 0.4引 例 2 有 甲 、 乙 兩 人 射 擊 ， 他 們 的 射 擊 技 術(shù) 用 下 表 給 出 .X表 示 甲 擊中 環(huán) 數(shù) ， Y表 示 乙 擊 中 環(huán) 數(shù) ， 誰 的 射 擊 水 平 高 ？5.0102.093.08)( XE 4.0104.092.08)( YE解 ： =9.2(環(huán) )=9.2(環(huán) ) 因 此 ， 從 平 均 環(huán) 數(shù) 上 看 ， 甲 乙 兩 人 的 射 擊 水 平 是 一 樣 的 ，但 兩 人 射 擊 水 平 的 穩(wěn) 定 性 是 有 差 別 的 。 76.05.02.9102.02.993.02.98)( 222 XD 624.04.02.9104.02.992.02.98)( 222 YD 這 表 明 乙 的 射 擊 水 平 比 較 穩(wěn) 定 . 下 頁 偏 離 期 望平 方 的 期望 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 定 義 設(shè) X是 隨 機(jī) 變 量 ， 如 果 EXE(X)2存 在 ， 則 稱EX-E（ X） 2為 X的 方 差 ， 記 為 D(X)即1. 方 差 的 概 念并 稱 為 X的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 或 均 方 差 記 為 (X) 。)(XD D(X)=EX E(X)2 下 頁2. 方 差 的 實 際 意 義隨 機(jī) 變 量 X的 方 差 反 映 出 X的 取 值 與 其 數(shù) 學(xué) 期 望 的 偏 離 程度 若 較 小 ， 則 X取 值 比 較 集 中 ， 否 則 ， X取 值 比 較 分散 因 此 ， 方 差 是 刻 畫 X取 值 分 散 程 度 的 一 個 量 (波 動性 大 小 ) ( )D X ( )D X 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 其 中 PX=xk=pk k=1,2,3,. 1 2)()( k kk pXExXD連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 dxxfXExXD )()()( 2離 散 型 隨 機(jī) 變 量3.方 差 的 計 算 22 )()()( XEXEXD 4. 方 差 計 算 公 式公 式 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回= E(X2) - E(X)2 22 )()()( XEXEXD 4. 方 差 計 算 公 式公 式證 明 ： D（ X） = EX - E(X)2= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2= E(X2) - 2E(X)E(X)+ E(X)2 例 1 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X （ 0-1） 分 布 ， 其 概 率 分 布 為 PX=1= p， PX=0=q， 0 p 1， p+q=1， 求 D(X) 解 ： 因 E(X)= p， 而 E(X 2)= 12p + 02q = p，于 是 D(X)= E（ X 2） - E（ X） 2= p - p2 = p q下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 例 2 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X具 有 概 率 密 度0 1 1 0(1 ) (1 ) 0 x x dx x x dx 2 2( ) ( )E X x f x dx , 求 D(X).所 以 61)()()( 22 XEXEXD 1 , 1 0( ) 1 , 0 10, x xp x x x 其 它)(xf( ) ( )E X xf x dx 0 12 21 0 1(1 ) (1 ) 6x x dx x x dx 解 ： 下 頁或 16)()()()( 22 dxxfxdxxfXExXD 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 例 3. ,1,0, ， 且 相 互 獨 立設(shè) UYX解 ： ( ) 1,0 1; ( ) 1,0 1( , ) 1,0 1, 0 1.X Yf x x f y yf x y x y 10 0 )(2 x dyyxdx 10 22 )2(2 dxxx 31 10 10 |),(|)(|)1( dxdyyxdxdyyxfyxYXE 10 10 00 )()( yx dxxydydyyxdx xy0 xy 1 1 (1) (| |);(2) (| |).E X Y D X Y 求 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 22 )()()()2( YXEYXEYXD 因 為 )( 2YXE dxdyyxfyx ),(| 2 10 10 2| dxdyyx 61)2(1 0 10 22 dxdyyxyx 22 )()()( YXEYXEYXD 從 而 181)31(61 2 10 10 2)( dxdyyx 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差1) 0 -1分 布 概 率 分 布 為 X 1 0pk p 1-pE（ X） = 1 p + 0 (1-p) = p 2) 二 項 分 布 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X B（ n， p） ， 其 概 率 分 布 為 :D（ X） = E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq nk nk nk knkknkknk qpknk nkqpCkpkXE 0 0 0 )!(! !)( nk nk knkknk qpknk nnpqpknk n1 1 1)!()!1( )!1()!()!1( ! 10 1)!1()!( )!1(nj jnjqpjnj nnp 1)( nqpnp .nppqnkqpCkXP knkkn 1,2,1,0, 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 2) 二 項 分 布 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X B（ n， p） ， 其 概 率 分 布 為 :D（ X） =E（ X2） - E（ X） 2所 以 D（ X） =E（ X 2） - E（ X） 2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq )()1()1()( 2 XEXXEXXXEXE nk knkkn npqpCkk0 )1( nk knk npqpknk nkk0 )!(! !)1( nk knk npqpknk npnn 2 22 )!()!2( )!2()1( nppnnnpqppnn n 222 )1()()1( pqnkqpCkXP knkkn 1,2,1,0, 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差3) 泊 松 分 布 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X （ ） ， 其 概 率 分 布 為 ：， k = 0,1,2,3, 0 10 )!1(!)( k kk k ekekkXE 1 1)!1(k kke )!:( 0 xk k ekx 注 意 0 )!(j jje ee ekkXP k! 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差3) 泊 松 分 布 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X P（ ） ， 其 概 率 分 布 為 ：， k = 0,1,2,3, 0D（ X） =E（ X2） - E（ X） 2 )1()1()( 2 XEXXEXXXEXE 0 !)1(k k ekkk 22 ee ekkXP k!因 此 , D（ X） = E（ X2） - E（ X） 2 =2 +-2 =下 頁超 幾 何 分 布 略 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回22 )()()( XEXEXD 222 )2()(31 bababa 12)( 2ab 4) 均 勻 分 布 設(shè) X Ua,b 概 率 密 度 為 ： 其 它,0 ,1)( bxaabxf ba dxabxdxxxfXE 1)()( 2 ba ba dxabxdxxfxXE 1)()( 222 3 22 baba 5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 00)()( xx xdedxxedxxxfXE 1| 000 dxedxexe xxx , 0( ) 0 , 0 xe xp x x )f 0 222 )()( dxexdxxfxXE x tx 令 0 221 dtet t 22 2)3(1 22 )1(2)( XD 21 5) 指 數(shù) 分 布 設(shè) X E() 概 率 密 度 為 ：5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差故 ， 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 2 22 )(21)( xexf ， （ x +) 令 dxexXE x 2 22 )(21)( 得,tx dtedtetXE tt 22 22 21)(21)( 6) 正 態(tài) 分 布 設(shè) X N（ , 2） 概 率 密 度 為 ：5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差 下 頁 其 中 第 一 項為 奇 函 數(shù) 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 2 22 )(21)( xexf ， （ x +)6) 正 態(tài) 分 布 設(shè) X N（ , 2） 概 率 密 度 為 ：5. 常 見 分 布 的 期 望 與 方 差 22( )2 2 21( ) ( ) ( ) e d2 xD X E X E X x x 下 頁2 222 22 2 2 -e d ( )2 t xt t t 2 22 +2 2- ( e )| e d2 t tt t 分 步 積 分 法 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 6. 方 差 的 性 質(zhì)性 質(zhì) 1 D(C)= 0性 質(zhì) 2 D(CX)= C 2 D(X) 性 質(zhì) 3 D(X+C)= D(X)， D(aX+b)= a2 D(X) 性 質(zhì) 4 若 X， Y是 兩 個 相 互 獨 立 的 隨 機(jī) 變 量 ， 則 有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 性 質(zhì) 5 D(X） = 0 的 充 要 條 件 是 P X = E(X) =1 推 廣 若 X 1,X2,Xn相 互 獨 立 ， 則 D(X1+X2+Xn) =ni iXD1 )(方 差 的 性 質(zhì) （ 下 設(shè) a， b， C均 為 常 數(shù) ） 下 頁練 習(xí) ： 若 X1,X2,X3相 互 獨 立 ， 期 望 分 別 為 9， 10， 12； 方 差 分 別 為 2， 1， 4， 求 Y = 2 X1+3X2+X3 的 期 望 和 方 差 。 60 21 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 證 明 ： (2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X)(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X)而 EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y) = E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)由 于 X,Y相 互 獨 立 ， 故 有 E(XY)= E(X)E(Y) 從 而 有 EXE(X)YE(Y)= 0 (4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)， 于 是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)練 習(xí) ： 若 X， Y相 互 獨 立 ， 證 明 D（ X-Y） = D（ X） +D（ Y） 下 頁 此 處 接 著 引 入 協(xié) 方差 與 相 關(guān) 系 數(shù) 的 概念 P87-89 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回D（ X） =D（ X1+X2+Xn） 令 i=1,2,n顯 然 Xi 均 服 從 （ 0-1） 分 布 , 即 E（ Xi） = p, D(Xi) = pq （ i =1， 2， ， n）且 X1， X2， ， Xn相 互 獨 立 。于 是 E（ X） = E（ X1+X2+Xn） = E（ X1） +E（ X2） +E（ Xn） = np=D（ X 1） +D（ X2） +D（ Xn） = npq 解 ： 則 X= X1+X2+Xn （ 注 意 ： 以 上 是 新 方 法 的 立 意 和 核 心 ！ ）例 4 在 n 重 貝 努 里 試 驗 中 ， 用 X 表 示 n 次 試 驗 中 事 件 A 發(fā) 生 的 次數(shù) ， 記 P(A)= p， 求 E(X)， D(X) 本 題 旨 在 給 出 一 種 新 的 解 題 方 法 下 頁 不 出 現(xiàn)次 試 驗 中第 出 現(xiàn)次 試 驗 中第 Ai AiXi ,0,1 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 例 5 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 的 期 望 E（ X） 和 方 差 D（ X ） 都 存 在 ，則 稱 XD XEXX *為 X 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 隨 機(jī) 變 量 ， 試 求 和 XE XD XD XEXEXE * 注 意 到 均 為 常 數(shù) ， 再 由 期 望 及 方 差 的 性質(zhì) 可 得 ： XDXE 、解 1 0E X E XD X X E XD X D D X 1 D X E XD X 1 1.D XD X 下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 小 結(jié) 21/ 2(b-a)2/12npqpqD（ X） 1/ (a+b)/2nppE（ X） N( , 2)E( )U(a,b)P( )B（ n,p)0 - 1分 布 D（ X） =EX-E（ X） 2 1 2)()( k kk pXExXD 22 )()()( XEXEXD 1.方 差 的 定 義 與 計 算3.常 見 分 布 的 期 望 與 方 差2.D(X)的 性 質(zhì) () dxxfXExXD )()()( 2下 頁 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 下 頁 練 習(xí)1.設(shè) X表 示 獨 立 射 擊 目 標(biāo) 10次 所 擊 中 目 標(biāo) 的 次 數(shù) ， 每 次 擊 中 的 概 率為 0.4則 E(X2)=( ) 2.隨 機(jī) 變 量 X服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ， 則 E(X+e-2X)= ( ). 3.隨 機(jī) 變 量 X與 Y獨 立 ， 且 X N（ 1， 2） ， Y N（ 0， 1） ,則Z=2X-Y+3的 期 望 與 方 差 分 別 為 （ ） 二 、 單 選 題一 、 填 空 題 設(shè) 和 是 兩 個 隨 機(jī) 變 量 ， 則 下 式 正 確 的 是 （ ） ( ) ( ) ( ) ( )A E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) ( )B D X Y D X D Y ( ) ( ) ( ) ( )C E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) ( )D D XY D X D Y三 、 計 算 題 * 設(shè) 有 n個 同 樣 的 盒 子 和 n個 同 樣 的 小 球 分 別 編 號 為 1,2,3,， n將 n個 球 隨 機(jī) 地 放 入 n個 盒 子 中 去 ， 每 個 盒 子 放 一 個 球 ， 求 與 盒 子 編 號 相 同 的 小 球 數(shù) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 18.4 435, 9 (A) 概 率 統(tǒng) 計 下 頁 結(jié) 束返 回 作 業(yè) ： 112頁 10, 11,12 結(jié) 束