數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)課程特點(diǎn)：1、數(shù)字電路重要的專業(yè)基礎(chǔ)課2、數(shù)字電路不難，新的思維方法3、重視應(yīng)用，分析設(shè)計(jì)題為主。4、只講知識(shí)點(diǎn)、難點(diǎn)和重點(diǎn)，多講習(xí)題5、網(wǎng)上答疑 課件 http:/ 應(yīng)用PSpice仿真 第一章 數(shù)制和碼制1.1 數(shù)字量和模擬量數(shù)字量：時(shí)間上和數(shù)值上都離散變化的物理量，最小數(shù)量單位 模擬量：時(shí)間上和數(shù)值上都連續(xù)變化的物理量。處理數(shù)字信號(hào)(Digital Signal)的電路稱為數(shù)字電路，處理模擬信號(hào)（Analog Signal)的電路稱為模擬電路。數(shù)字信號(hào)傳輸可靠、易于存儲(chǔ)、抗干擾能力強(qiáng)、穩(wěn)定性好。數(shù)字信號(hào)是一種脈沖信號(hào)(Pulse Signal)，邊沿陡峭、持續(xù)時(shí)間短，凡是非正弦信號(hào)都稱為脈沖信號(hào)。 數(shù)字信號(hào)有兩種傳輸波形，電平型、脈沖型。 電平型數(shù)字信號(hào)以一個(gè)時(shí)間節(jié)拍內(nèi)信號(hào)是高電平還是低電平來表示“1”或“0”，脈沖型數(shù)字信號(hào)是以一個(gè)時(shí)間節(jié)拍內(nèi)有無脈沖來表示“1”或“0”。 1.2 幾種常用的數(shù)制數(shù)制中允許使用的數(shù)碼個(gè)數(shù)稱為數(shù)制的基數(shù)。常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制。D=kj Ni ，ki是第j位的系數(shù)，N是基數(shù)，N =10，2，8，16；Ni稱為第i位的權(quán)，10i， 2i ，8i，16i。2345=2103+3102+4101+5100 （1）十進(jìn)制：十進(jìn)制數(shù)一般用下標(biāo)10或D表示，如2310，87D等。（2）二進(jìn)制：基數(shù)N為2的進(jìn)位計(jì)數(shù)制稱為二進(jìn)制（Binary），它只有0和1兩個(gè)有效數(shù)碼，進(jìn)位關(guān)系 “逢二進(jìn)一，借一為二”。二進(jìn)制數(shù)下標(biāo)2或B，如1012，1101B等。(1001.11)2=123+022+021+120+12-1+12-2 =(9.75)10（3)八進(jìn)制：基數(shù)N為8的進(jìn)位計(jì)數(shù)制，共8個(gè)有效數(shù)碼，0 1 2 3 4 5 6 7，下標(biāo)8或O。 (456.1) 8=482+581+680+18-1=(302.125)10 （4）十六進(jìn)制：基數(shù)N為16，十六進(jìn)制有09、A、B、C、D、E、F共16個(gè)數(shù)碼，“逢十六進(jìn)一，借一為十六”。下標(biāo)16或H表示，如(A1)16，(1F)H等。 (3AE.7F)16 =3162+10161+14160+716-1+1516-2 =(942.4960937)10 1.3 不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換（1）二十轉(zhuǎn)換：按位權(quán)展開，將所有值為1的數(shù)位的位權(quán)相加。 【例1.1】 （11001101.11）B =1 27+1 26+0 25+0 24+1 23+1 22+0 21+1 20+1 2-1+1 2-2=128+64+8+4+1+0.5+ 0.25=（205.75）D （2)十二轉(zhuǎn)換 要分別對(duì)整數(shù)和小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分轉(zhuǎn)換除2取余法。【例1.2】 (13)D=( )B第一次的余數(shù)最低有效位(LSB)，最后一次的余數(shù)最高有效位(MSB)(98)10=( )2 1011 00001 1111011100010 小數(shù)部分轉(zhuǎn)換乘2取整法 第一次積的整數(shù)MSB，最后一次積的整數(shù)LSB?！纠?.3】 (0.8125)D=( )B 積的整數(shù)0.81252=1.625 1 MSB 0.6252=1.25 10.252=0.5 0 0.52=1 1 LSB(0.8125)D=( 0.1101 )B (3)十六十轉(zhuǎn)換 按位權(quán)展開 【例1.7】 (1A7.C)H=1162 +10161+7160+1216-1 =1256+1016+7+120.0625=(423.75)D(4)十十六轉(zhuǎn)換 與十二轉(zhuǎn)換方法相似，整數(shù)部分轉(zhuǎn)換除16取余法，小數(shù)部分轉(zhuǎn)換乘以16取整法 【例1.8】(287)D=轉(zhuǎn)換過程：287/16=17余15 17/16=1余1 【例1.9】 (0.62890625) D=(0.A1)H 轉(zhuǎn)換過程：0.6289062516=10.0625 0.062516=1 (11F)H (5)二十六轉(zhuǎn)換 【例1.12】( 10111010111101.101 )B =(0010 1110 1011 1101 . 1010 )B =(2EBD.A )H(6)十六二轉(zhuǎn)換 【例1.13】十六進(jìn)制數(shù)：(1 C 9. 2 F )H 二進(jìn)制數(shù)： ( 1 1100 1001 . 0010 1111 )B（7)二八轉(zhuǎn)換【例1.14】 (010 111 011.101 100)B =(273 . 54)O （8)八二轉(zhuǎn)換 ( 361.72) O =(11 110 001.111 010)B 1.5碼制在數(shù)字系統(tǒng)中，常用0和1的組合來表示不同的數(shù)字、符號(hào)、事物，叫做編碼，這些編碼組合稱為代碼（Code)。代碼可以分為數(shù)字型的和字符型的，有權(quán)的和無權(quán)的。數(shù)字型代碼用來表示數(shù)字的大小，字符型代碼用來表示不同的符號(hào)、事物。有權(quán)代碼的每一數(shù)位都定義了相應(yīng)的位權(quán)，無權(quán)代碼的數(shù)位沒有定義相應(yīng)的位權(quán)。有權(quán)碼：8421、2421、5421 、 5211碼無權(quán)碼：余3碼、余3循環(huán)碼、格雷碼。 十進(jìn)制數(shù)碼8421碼余3碼2421碼5211碼余3循環(huán)碼0123456789 0000000100100011010001010110011110001001 0011010001010110011110001001101010111100 0000000100100011010010111100110111101111 0000000100100011011110001100110111101111 0010011001110101010011001101111111101010 三種常用的代碼:8421BCD碼，格雷(Gray)碼，ASCII碼。（1）8421BCD碼：BCD（Binary Coded Decimal）碼，即二十進(jìn)制代碼，用四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)碼。 8421BCD碼是有權(quán)碼，四位的權(quán)值自左至右依次為： 8、4、2、1。數(shù)值8421BCD0123456789 0000000100100011010001010110011110001001 余3碼 = 8421BCD碼+3例如：(0101)8421BCD=(1000)余3碼8421BCD碼表示方法：(2010)10=(0010 0000 0001 0000) 8421BCD 數(shù)值余3碼8421BCD0123456789 0011010001010110011110001001101010111100 0000000100100011010001010110011110001001 （2）格雷(Gray)碼：格雷碼是一種無權(quán)循環(huán)碼，它的特點(diǎn)是:相鄰的兩個(gè)碼之間只有一位不同。十進(jìn)制數(shù) 格雷碼十進(jìn)制數(shù) 格雷碼01234567 0000000100110010 0110011101010100 89101112131415 1100110111111110 1010101110011000 （3）ASCII碼 ASCII碼，即美國(guó)信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼(American Standard Code for Information Interchange)，是目前國(guó)際上廣泛采用的一種字符碼。 ASCII碼用七位二進(jìn)制代碼來表示128個(gè)不同的字符和符號(hào)。 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治布爾于1849年首先提出的，稱為布爾代數(shù)。邏輯代數(shù)是研究邏輯變量間的因果關(guān)系，是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯變量是使用字母表示的變量，只有兩種取值1、0，代表兩種不同的邏輯狀態(tài)：高低電平、有無脈沖、真或假、1或0。 2.1 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 邏輯代數(shù)基本運(yùn)算有與、或、非三種，邏輯與、邏輯或和邏輯非。 1.邏輯與 只有決定某事件的全部條件同時(shí)具備時(shí)，該事件才發(fā)生，邏輯與，或稱邏輯乘and。 開關(guān)A=B=1開關(guān)接通，電燈Y=1燈亮，A=B=0開關(guān)斷開、燈滅，邏輯與“”，寫成Y=AB或Y=AB A B Y0 00 11 01 1 0001與邏輯符號(hào) and邏輯真值表(Truth Table) ：自變量的各種可能取值與函數(shù)值F的對(duì)應(yīng)關(guān)系。與邏輯真值表 2.邏輯或 決定某事件的諸多條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備時(shí)，該事件都會(huì)發(fā)生，或稱邏輯加or。 開關(guān)A和B中有一個(gè)接通或一個(gè)以上接通（A=1或B=1）時(shí)，燈Y都會(huì)亮（Y=1），邏輯或“+”。 寫成Y=A+B A B F0 00 11 01 1 0111或邏輯真值表或邏輯符號(hào) or 3.邏輯非 在只有一個(gè)條件決定某事件的情況下，如果當(dāng)條件具備時(shí)，該事件不發(fā)生；而當(dāng)條件不具備時(shí)，該事件反而發(fā)生，稱為邏輯非，也稱為邏輯反not。開關(guān)接通（A=1）時(shí)，電燈Y不亮（Y=0），而當(dāng)開關(guān)斷開（A=0）時(shí)，電燈Y亮（Y=1）。邏輯反，寫成 A Y01 10非邏輯真值表非邏輯符號(hào) inverterY A 4.其他常見邏輯運(yùn)算常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有:與非、或非、異或、同或等運(yùn)算的表達(dá)式：與非： 先與后非或非： 先或后非與或非表達(dá)式： 先與再或后取非與非邏輯或非邏輯 A B Y A B Y0 00 11 01 1 1110 0 00 11 01 1 1000 與或非邏輯的真值表 A B C D Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1110111011100000ABY CDABY BAY nand nor 異或邏輯A B Y0 00 11 01 1 0110異或表達(dá)式： A、B不同，Y為1；A、B相同，Y為0?？梢宰C明：奇數(shù)個(gè)1相異或，等于1； 偶數(shù)個(gè)1相異或，等于0。A 0=A A=1, 1 0=1; A=0, 0 0=0; A=1, 1 1=0 ; A=0, 0 1=1 A A=0 0 1 0 1 1 1 11 10 1 01BABABAY AA 1 1AA 同或邏輯A B Y0 00 11 01 1 1001異或邏輯A B Y0 00 11 01 1 0110同或表達(dá)式： Y=A B=A、B相同，Y為1；A、B不同，Y為0。 A B= A B= A 0= A 1=A A A=1 A =0 A B= A B B=A BAABBAAA A BABAB BABA 2.2 邏輯代數(shù)的公式1 基本公式 關(guān)于變量和常量的公式 00=0 0+0=0 11=1 1+1=1 01=0 0+1=1(1) 0A=0 (2) 0+A=A (3) 1A=A (4) 1+A=1互補(bǔ)律(5)(6)重疊律(7) AA=A (8) A+A=A 交換律(9) AB=BA (10)A+B=B+A 結(jié)合律(11)A(BC)=(AB)C (12)A+(B+C)=(A+B)+C 0AA 1AA 0110 分配律(13)A(B+C)=AB+AC (14)A+BC=(A+B)(A+C)用真值表證明公式 A+BC=(A+B) (A+C)A B C BC A+BC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 00010001 00011111 A+B A+C (A+B) (A+C)00111111 01011111 00011111 反演律（德摩根定律 ）(15) (16) 還原律(17) A B0 00 11 01 1 1000 1000 1110 1110BABA BAAB BA BAABBAAA 2 常用公式（1）A+AB=A 證明：A+AB =A1+AB =A(1+B) =A1=A 例如：(A+B)+(A+B)CD =A+B（2） 應(yīng)用分配律 證明： CBA CBABACBABA )( 在兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果其中一項(xiàng)是另一個(gè)項(xiàng)的一個(gè)因子，則另一項(xiàng)可以被吸收。 一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子是另一乘積項(xiàng)的補(bǔ)，這個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子是多余的。BABAA )()( BAAA BAA 例如：BA BA )(1 （3）證明：（4）A(A+B)=A 證明：A(A+B) =AA+AB =A+AB =A(1+B) =A1 =A ABABA 當(dāng)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們分別包含B和 兩個(gè)因子而其它因子相同，則兩項(xiàng)可以合并，可將B和 兩個(gè)因子消去。 變量A和包含A的和相乘時(shí)，結(jié)果等于A。B BAA BBA 1 )( BABA （5）證明：CAABBCCAAB 在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)中的一個(gè)因子的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則由這兩個(gè)與項(xiàng)其余的因子組成的第三個(gè)與項(xiàng)是多余項(xiàng)。DABABC BCAABCCAAB CAAB CDDABABC CDDBAABC )( )( AABCCAAB BCCAAB 例：)1()1( BCACAB DBAABC )( 推論：例：CAAB BCDECAAB FGCCDDABABC FGCCDDBAABC )( 在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)中的一個(gè)因子的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則包含這兩個(gè)與項(xiàng)其余因子作為因子的與項(xiàng)是多余項(xiàng)。DBAABC )( （6） 證明： 證明：)( BACACAAB 交叉互換律（7）證明：AABA BAABA BABAAABAAABA )( BAAABAAABA )( BCCAABAABACA )( BCCAAB ABA )1(CAAB 2.3 邏輯代數(shù)的基本定理代入定理： 在一個(gè)邏輯等式兩邊出現(xiàn)某個(gè)變量（邏輯式）的所有位置都代入另一個(gè)變量（邏輯式），則等式仍然成立。 例：已知 在等式兩邊出現(xiàn)B的所有位置都代入BC 左邊 右邊 等式仍然成立例：已知 在等式兩邊B的位置都代入B+C 左邊右邊 等式仍然成立BAAB CBABCABCA )( CBABCA BABA CBACBACBA )( CBACBABA 反演定理 對(duì)一個(gè)邏輯函數(shù)Y進(jìn)行如下變換：將所有的“”換成“”， “”換成“”， “0”換成“1”， “1”換成“0”， 原變量換成反變量， 反變量換成原變量，則得到函數(shù)Y的反函數(shù)例：注意兩點(diǎn)：保持原函數(shù)中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；邏輯式上（不是單個(gè)變量上）的反號(hào)可以保持不變。YDACBAY DCABAY )( 對(duì)偶定理 對(duì)一個(gè)邏輯函數(shù)Y進(jìn)行如下變換： 將所有的“”換成“”， “”換成“”， “0”換成“1”， “1”換成“0”， 則得到函數(shù)Y的對(duì)偶函數(shù)Y。 例：Y1=A(B+C) Y1 =A+BC Y2=AB+AC Y2=(A+B)(A+C) 對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對(duì)偶函數(shù)亦相等。例：已知A(B+C)=AB+AC則兩邊求對(duì)偶 A+BC=(A+B)(A+C) )(3 DCBAY CDABY 3 CDBAY )(4 DCABY 4 )0(5 CABAY )1)(5 CABAY 2.4 邏輯函數(shù)的描述方法(1) 邏輯函數(shù)的表示方法 邏輯函數(shù)常用的描述方法有邏輯表達(dá)式、真值表、卡諾圖、邏輯圖和波形圖等。邏輯真值表 用來反映變量所有取值組合及對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格，稱為真值表。例如，在一個(gè)判奇電路中，當(dāng)A、B、C三個(gè)變量中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，輸出Y為1；否則，輸出Y為0。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001判奇電路的真值表 從真值表寫邏輯函數(shù)式： Y=1的組合，1寫原變量0寫反變量，乘積項(xiàng)相加。001 010 100 111判奇電路的表達(dá)式： A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001ABCCBACBACBA ABCCBACBACBAY 表達(dá)式 常用的邏輯表達(dá)式有與或表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式、與非與非表達(dá)式、或非或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式等。與或表達(dá)式： 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式： 或與表達(dá)式： 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式：與非與非表達(dá)式：或非或非表達(dá)式：與或非表達(dá)式：DACABY CDABY ABCDDABCDCBAY )( DCABAY )()( DCBADCBADCBAY CDABY DCBAY 邏輯圖 由邏輯門電路符號(hào)構(gòu)成的，表示邏輯變量之間關(guān)系的圖形稱為邏輯電路圖，簡(jiǎn)稱邏輯圖。DCP BP AP 321 325 214 PPP PPP )(54 DCBBAY PPY 波形圖（時(shí)序圖）列出真值表A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 01100101 (2) 不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換表達(dá)式真值表 首先按自然二進(jìn)制碼的順序列出所有邏輯變量的不同取值組合，確定出相應(yīng)的函數(shù)值。 邏輯函數(shù) 10X X10 0X1從邏輯式列出真值表 1XX X01 010 Y=m 1+m2+m4+m5+m6+m7 A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 01111110A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 01 0 11 1 01 1 1 01101111ACCBBAY CBACBAY 真值表表達(dá)式A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001ABCCBACBACBAY 邏輯式邏輯圖邏輯圖邏輯式 BABAY BA (3)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 ： 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。最小項(xiàng)表達(dá)式：每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量?jī)H出現(xiàn)一次。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱最小項(xiàng)。 n變量的最小項(xiàng)有2n個(gè)。ABC三變量的最小項(xiàng)有最小項(xiàng)的性質(zhì)（了解）(1)每個(gè)最小項(xiàng)都有一個(gè)取值組合使其值為1，其余任何組合均使該最小項(xiàng)為0。(2)全體的最小項(xiàng)之和為1。 (3)任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0。(4)相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)，消去一對(duì)不同的因子。只有一個(gè)因子不同的最小項(xiàng)具有相鄰性。ABCCBACBA 000 001 111 最小項(xiàng)編號(hào)：最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)變量取值組合的大小，為最小項(xiàng)編號(hào)。例： 對(duì)應(yīng)的變量取值組合為101，其大小為5，所以 的編號(hào)為5，記為m5。最小項(xiàng)變量取值組合，原變量取值為1；反變量取值為0?！纠?】 求最小項(xiàng)表達(dá)式?；?Y(A,B,C)=m i(i=1,2,4,5,6,7) 或Y(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7) 一個(gè)與項(xiàng)如果缺少一個(gè)變量，生成兩個(gè)最小項(xiàng)；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少兩個(gè)變量，生成四個(gè)最小項(xiàng)；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少n個(gè)變量，則生成2n個(gè)最小項(xiàng)。 CBA CBACBACBAY CBACBAACCBBA CBACBAY )()( CBACBACBACBACBACABABC 765421 mmmmmm ABCCABCBACBACBACBA 【例2】從真值表寫出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。 解： = m1+ m2+ m4+ m7 =mi (i=1,2,4,7) A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 01101001ABCCBACBACBACBAY ),（ 最大項(xiàng)表達(dá)式 每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。 標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱最大項(xiàng)。 例：最大項(xiàng) 的變量取值組合為010，其大小為2，因而， 的編號(hào)為2，記為M2。)( CBA )( CBA 由真值表求函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式時(shí)，找出真值表中函數(shù)值為0的對(duì)應(yīng)組合，將這些組合對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)相與?！纠?已知邏輯函數(shù)的真值表，寫出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。解：函數(shù)F的最大項(xiàng)表達(dá)式為A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 10010110 = M 1M2M4M7 = Mk(1,2,4,7) )()()(),( CBACBACBACBACBAY 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換 同一函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)與或式中最小項(xiàng)的編號(hào)和標(biāo)準(zhǔn)或與式中最大項(xiàng)的編號(hào)是互補(bǔ)的，最小項(xiàng)的編號(hào)與最大項(xiàng)的編號(hào)在同一邏輯函數(shù)的表達(dá)式不相同。邏輯函數(shù) ， 則Y=0的最小項(xiàng)之和為 得到最小項(xiàng)編號(hào)最小項(xiàng)十進(jìn)制變量取值A(chǔ) B Cm 0m1m2m3m4m5m6m7 01234567 0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 imY ik kmY ik kMY最大項(xiàng)編號(hào)最大項(xiàng)M0M1M2M3M4M5M6M7 ijM m CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA ABCCABCBA CBABCA CBA CBA CBA了解00 mM 【例】已知寫出最小項(xiàng)和最大項(xiàng)表達(dá)式。=(1,2,4,7)=(0,3,5,6)【例】已知寫出標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。= (1,3,5,7) =(0,2,4,6) ABCCBACBACBACBAY ),( )()()( CBACBACBACBA ABCCBACBACBACBAY ),( )()()( CBACBACBACBAY )()()( CBACBACBACBAY CABCBACBACBA 2.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 最簡(jiǎn)表達(dá)式有很多種，最常用的有最簡(jiǎn)與或表達(dá)式和最簡(jiǎn)或與表達(dá)式。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式必須滿足的條件：(1)乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。(2)乘積項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。最簡(jiǎn)或與表達(dá)式必須滿足的條件有：(1)或項(xiàng)個(gè)數(shù)最少。(2)或項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。常見的化簡(jiǎn)方法有公式法和卡諾圖法兩種。CBACACDCBABCY 一、公式法化簡(jiǎn) 公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，是利用邏輯代數(shù)的基本公式，對(duì)函數(shù)進(jìn)行消項(xiàng)、消因子。常用方法有以下四種。并項(xiàng)法 將兩個(gè)與項(xiàng)合并為一個(gè)，消去其中的一個(gè)變量?！纠?吸收法 A+AB=A 吸收多余的與項(xiàng)?！纠?Y=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =A BABABAABY ABAAB 1 )()( AA BABABAAB 消因子法 消去與項(xiàng)多余的因子?！纠肯?xiàng)法 進(jìn)行配項(xiàng)，以消去更多的與項(xiàng)?！纠緽ABAA DDCCBCAABY DCCBCAAB BCCAABCAAB DCEADBDBAY DCBAAB 1 DCBAB DBA DCEDBDBA DCEADADBDBA AD 配項(xiàng)法A+A=A， 配項(xiàng)，能更加簡(jiǎn)化表達(dá)式。方法方法1 AA ABCBCACBAY CBCBBABAY )()( ABCBCABCACBA ）AABCCCBA ()( BCBA CACBBA )()()( CBABCACBCBACBABA CBACBACBCBABCABA CBAACBCCBABA )()( 公式法常用5種化簡(jiǎn)方法并項(xiàng)法吸收法 A+AB=A消因子法 消項(xiàng)法配項(xiàng)法A+A=A，ABAAB BABAA BCCAABCAAB 1 AA )( BACBCBBABACBCBBAY 【例】 CBCABA CBCBCABACACBCBBA )( )( BACACBCBBACABACBCBBA 【例】求與非-與非式 兩次求反 )( GFADECBDBDBCBCAABY CBDCDB DBDCCB DCDBCB DCCBDBAY DCCBDBAY DCCBDBA DCCBDBDBA )( GFADECBDBDBCBA )( GFADECBDBDBCBCBA )()( GFADECBDBDBCBCBA 【例】 求Y的對(duì)偶式并化簡(jiǎn)再求對(duì)偶式 求或非-或非式 兩次求反 )()()()()( FEDFBFECADBCABAAY DEFFBCEFABDCAABAY )()( FBDBACYY )( FBDBACYY FBBDCAA FBBDCA FBDBCA 二、卡諾圖法化簡(jiǎn)1.表示最小項(xiàng)的卡諾圖 將邏輯變量分成兩組，分別在兩個(gè)方向用循環(huán)碼形式排列出各組變量的所有取值組合，構(gòu)成一個(gè)有2n個(gè)方格的圖形，每一個(gè)方格對(duì)應(yīng)變量的一個(gè)取值組合。具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在位置上也相鄰地排列。BCA 01 101 011010100 110 CBACABCBACBA BA 方格中的數(shù)字為該方格對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的十進(jìn)制數(shù)，稱該方格的編號(hào)。 一個(gè)四變量函數(shù)的卡諾圖，方格中的0和1表示在對(duì)應(yīng)變量取值組合下該函數(shù)的取值。 真值表卡諾圖 找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，在卡諾圖中具有相應(yīng)編號(hào)的方格中標(biāo)上1 。 A B C D F A B C D F0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1 01101101 1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 1 1 0 11 1 1 01 1 1 1 01010010 1 11 1 11 11 0000 0 00 0 表達(dá)式卡諾圖 【例】 畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。 一個(gè)與項(xiàng)如果缺少一個(gè)變量，對(duì)應(yīng)卡諾圖中兩個(gè)方格；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少兩個(gè)變量，對(duì)應(yīng)卡諾圖中四個(gè)方格；一個(gè)與項(xiàng)如果缺少n個(gè)變量，則對(duì)應(yīng)卡諾圖中2 n個(gè)方格。DCABDABACY 1 11 111 1000 0 000 00 DCABDBAACDCABDABACY 卡諾圖標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 =(0,2,7,8,10,13) 1 0 0 1 2 0 AB CD 00 01 00 01 0 0 1 7 0 11 10 11 0 113 0 0 10 1 8 0 0 1 10 0000 0010 0111 1000 1010 1101 DCABDCBADCBABCDADCBADCBAY 卡諾圖標(biāo)準(zhǔn)或與式 【例】 =(1,5,9,15) 1 0 1 11 AB CD 00 01 00 01 1 0 5 1 1 11 10 11 1 1 015 1 10 1 0 9 1 1 0001 0101 1001 1111 )()()( DCBADCBADCBADCBAY 2.卡諾圖化簡(jiǎn)法求最簡(jiǎn)與或式卡諾圖的相鄰性 最小項(xiàng)的相鄰性定義：兩個(gè)最小項(xiàng)，只有一個(gè)變量的形式不同，其余變量的都不變，這兩個(gè)最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。 卡諾圖的相鄰性判別：在卡諾圖的兩個(gè)方格中，如果只有一個(gè)變量的取值不同，其余變量的取值都不變，則這兩個(gè)方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。111 110 100 000CBACBACABABC 卡諾圖化簡(jiǎn)法的一般規(guī)律（1）兩個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去一個(gè)變量。 000 001 00X 001 011 0X1 101 001 X01 BACBACBA CABCACBA CBCBACBA 100 110 1X0 0101 1101 X1010011 1011 X011CACABCBA CDBCDBACDBA DCBDCABDCBA （2）四個(gè)相鄰的1格圈在一起，消去兩個(gè)變量。0000 + 0010 1000 + 10101 11 1 00X0 10X0+ =X0X0 DB （3）八個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去三個(gè)變量。 (4）2n個(gè)相鄰的1方格圈在一起，消去n個(gè)變量。 2n個(gè)相鄰的1方格對(duì)應(yīng)的2n個(gè)最小項(xiàng)中，有n個(gè)變量的形式變化過，將它們相或時(shí)可以消去這n個(gè)變量，只剩下不變的因子。（5）如果卡諾圖中所有的方格都為1，將它們?nèi)υ谝黄?，結(jié)果為1。 卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟和原則 卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的一般步驟：（1）畫出函數(shù)的卡諾圖；（2）先圈孤立1格；（3）再圈只有一個(gè)方向的最小項(xiàng)（1格）組合；（4）合并其余最小項(xiàng)，每個(gè)圈內(nèi)必須有一個(gè)1格未被圈過。（5）寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。 Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)寫出最簡(jiǎn)與或式。DBABCDCBDADCBAY 1 11 111 111 DCBA BDA DCBC DBA 卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的原則：（1）每個(gè)1格至少被圈一次。當(dāng)某個(gè)方格被圈多于一次時(shí)，相當(dāng)于對(duì)這個(gè)最小項(xiàng)使用同一律A+A=A，并不改變函數(shù)的值。（2）每個(gè)圈中至少有一個(gè)1方格是其余所有圈中不包含的。 如果一個(gè)圈中的任何一個(gè)1方格都出現(xiàn)在別的圈中，則這個(gè)圈就是多余的。（3）任一圈中不能包含0格。（4）圈的個(gè)數(shù)越少越好。 圈的個(gè)數(shù)越少，得到的與項(xiàng)就越少。（5）圈越大越好。 圈越大，消去的變量越多，所得與項(xiàng)包含的因子就越少。每個(gè)圈中包含的1方格的個(gè)數(shù)必須是2的整數(shù)次方。 【例】化簡(jiǎn)函數(shù) 寫出最簡(jiǎn)與或式。解： 填卡諾圖 CB1 11 11 1 11 11D )()( ADCBBADY )()( ADCBBADY CBD DBACBBDDA 【例】 Y=m（0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15），寫出最簡(jiǎn)與或式。 （a）兩次求反實(shí)現(xiàn)與非-與非表達(dá)式 （b） DCACABACDBCADBY 1 1 1 1ACD DCACABACDBCADBY DCACBADCACBABDY DCACBADCACBABDY DCA DBBCACAB 3. 卡諾圖化簡(jiǎn)求最簡(jiǎn)或與式 對(duì)相鄰的0格進(jìn)行合并?！纠?，最簡(jiǎn)或與式。解：方法直接圈0格，寫或與表達(dá)式兩次求反實(shí)現(xiàn)或非-或非表達(dá)式方法圈0格，求反函數(shù)最簡(jiǎn)與或式求與或非式：圈0格， 寫反函數(shù) 最簡(jiǎn)與或式。取反DCBADCBABACDAY (A+B+C) AB)()( CBADBBAY CBADBABY )()( CBADBBAY ABDBCBAY ABDBCBAY CBA DB )( DB)( BA)()()( CBADBBAYY 再取反Y 2.6 帶無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng) 無關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的統(tǒng)稱變量的某些取值組合是不會(huì)發(fā)生的，這些不會(huì)發(fā)生的組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。對(duì)變量所有可能的取值，約束項(xiàng)的值都等于0。對(duì)變量約束的具體描述叫做約束條件。例如，AB+AC=0，(5,6,7)=0, d(5,6,7)等。在真值表和卡諾圖中，約束一般記為“”或“”d”。例：交通燈，紅黃綠(RYG)亮為1，控制電路(F)正常工作為1。約束條件：GYRGYRGYRF 0 RYGGRYGYRYGRGYR 有時(shí)我們只關(guān)心變量某些取值組合情況下函數(shù)的值，而對(duì)變量的其他取值組合所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不加限定，取0或者取1都可以，例如8421BCD碼。函數(shù)值取值可0可1的變量組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)常稱為任意項(xiàng)。約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)。對(duì)具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，加不加無關(guān)項(xiàng)，要以得到的函數(shù)表達(dá)式最簡(jiǎn)為原則。在用卡諾圖化簡(jiǎn)具有無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)時(shí)，無關(guān)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格可圈也可以不圈。0000-1001，1010、1011、1100、1101、1110、1111 對(duì)應(yīng)的輸入不出現(xiàn) 2.帶約束項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 下面舉例來說明帶約束項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。【例】 求函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 約束條件 解:下面分別用公式法和卡諾圖法進(jìn)行求解。（1）公式法。由約束條件得：DBCADCBACBAY 00 DCACDADBCADCBACBAY 0 DCACDA CABACBA )( )( CCBACACBA )( DDCACBACDADCACBA DCACBADCBBACBA )( （2）卡諾圖法 約束條件 和 用X表示 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為 約束條件無關(guān)項(xiàng)可圈，可不圈，圈內(nèi)必須有1格。X XX XDBCADCBACBAY CABAY DCACDA 0 DCACDA 0 DCACDA CA BA 3.帶任意項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)【例】 求函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。Y=(0,2,3,4,8)+d(10,11,12,13,14,15) 解:最簡(jiǎn)與或表達(dá)式如下：圈0格化簡(jiǎn)時(shí)，無關(guān)項(xiàng)可以作為0格X X X XX XCBDCY DC CB 【例】 已知真值表，其中“”表示任意項(xiàng)，求最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。 解：A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 111 1 0 0 XXCBAY ACB 1、將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換8421BCD2009D=（0010 0000 0000 1001）8421BCD18.84D=(0001 1000.1000 0100) 8421BCD2、卡諾圖運(yùn)算：兩個(gè)卡諾圖可以進(jìn)行與、或、異或、同或運(yùn)算?？ㄖZ圖取反得出反函數(shù)的卡諾圖。 Y1=A B C DY2=A B C D 思考題1、邏輯函數(shù)有幾種表示方法？詳細(xì)敘述每種表示方法和相互之間如何轉(zhuǎn)換。改變邏輯函數(shù)真值表中輸入值的排列順序，對(duì)函數(shù)有無影響？舉例說明。2、什么是卡諾圖化簡(jiǎn)法？其優(yōu)點(diǎn)是什么？舉4變量卡諾圖的例子說明。3、如何用卡諾圖化簡(jiǎn)方法實(shí)現(xiàn)與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式和與或非表達(dá)式？舉例說明。4、舉例說明什么是約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和無關(guān)項(xiàng)？如何用卡諾圖化簡(jiǎn)。不利用無關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)，對(duì)函數(shù)會(huì)有什么影響？5、對(duì)給定邏輯函數(shù)求反時(shí)，如何處理變換后的優(yōu)先順序和式中所有的非運(yùn)算符號(hào)？舉例說明。 各組任選其中一題，一頁A4紙論述即可，手寫不要打印。不許抄襲，抄襲者兩組都沒有成績(jī)。