力 的 累 積 效 應 ,F r W EF t I p 對 積 累對 積 累 動 能 、 功 、 動 能 定 理 、 機 械 能 守 恒 動 量 、 沖 量 、 動 量 定 理 、 動 量 守 恒力 的 瞬 時 效 應 加 速 度 a2-3 動 量 定 理 與 動 量 守 恒 定 律 一 、 質(zhì) 點 的 動 量 定 理 沖 量 （ 矢 量 ） 21 dtt tFI amF 由 可 得 ： tptmF ddd(d )v ppt pppdtF 0 00 d 0ppI 1221 d vv mmtFI tt tmtpF d(ddd )v 微 分 形 式積 分 形 式 動 量 定 理 在 給 定 的 時 間 間 隔 內(nèi) ， 外 力作 用 在 質(zhì) 點 上 的 沖 量 ， 等 于 質(zhì) 點 在 此 時 間 內(nèi)動 量 的 增 量 某 方 向 受 到 沖 量 ， 該 方 向 上 動 量 就 增 加 說 明 分 量 表 示 yytt yy mmtFI 1221 d vv zztt zz mmtFI 1221 d vv xxtt xx mmtFI 1221 d vv 1221 d vv mmtFI tt 1vm 2vmx y 例 9 一 質(zhì) 量 為 0.05 kg、速 率 為 10 ms-1的 剛 球 ， 以 與鋼 板 法 線 呈 45角 的 方 向 撞 擊在 鋼 板 上 ， 并 以 相 同 的 速 率和 角 度 彈 回 來 設(shè) 碰 撞 時 間為 0.05 s 求 在 此 時 間 內(nèi) 鋼 板所 受 到 的 平 均 沖 力 O 解 由 動 量 定 理 得 ： 1vm 2vmx y O/F I t 2 1I p p 2 cos sinv vp m i m j 1 cos sinv vp m i m j 2 1I p p 2 cosvm i 2 cos 141 Nv .I mF t t 方 向 與 軸 正 向 相 同 Ox FF 例 10 砂 子 從 h 高 處 落 到 以 速 率 水 平 向 右運 動 的 傳 送 帶 上 。 設(shè) 砂 子 落 到 傳 送 帶 上 即 刻 與傳 送 帶 一 起 運 動 。 求 傳 送 帶 給 予 砂 子 的 作 用 力的 大 小 與 方 向 ？ u 解 ： 設(shè) 單 位 時 間 內(nèi) 落 到 傳 送 帶 上 砂 子 的 質(zhì) 量為 ， 以 t t dt 時 間 內(nèi) 落 下 的 砂 子 dm 為 研 究對 象 ， 視 其 為 質(zhì) 點 ， dm = dt。dt 時 間 內(nèi) ， 落 下 的 砂 子 dm 的 動 量 改 變 0d d ( d )p m ui m j v 按 動 量 定 理 ， 質(zhì) 點 dm 所 受 合 外 力 為0d d ( d )p m ui m j vd ( 2 )t ui gh j d ( 2 )dpF ui gh jt 其 大 小 為 2 2F u gh F與 水 平 方 向 夾 角 為 1 2ghtg u 即 傳 送 帶 給 予砂 子 的 作 用 力 質(zhì) 點 系二 、 質(zhì) 點 系 的 動 量 定 理 1m 2m12F 21F1F 2F 20222212 d)(21 vv mmtFFtt 10111121 d)(21 vv mmtFFtt 對 兩 質(zhì) 點 分 別 應 用質(zhì) 點 動 量 定 理 ： )()(d)( 20210122112121 vvvv mmmmtFFtt 因 內(nèi) 力 ，02112 FF 故 將 兩 式 相 加 后 得 ：20222212 d)(21 vv mmtFFtt 10111121 d)(21 vv mmtFFtt ni iiini itt mmtF 1 01ex21 d vv 作 用 于 系 統(tǒng) 的 合 外 力 的 沖 量 等 于 系 統(tǒng)動 量 的 增 量 質(zhì) 點 系 動 量 定 理 N21ex FFFF 01 01ex21 d ppmmtF ni iiini itt vv0ppI 區(qū) 分 外 力 和 內(nèi) 力內(nèi) 力 僅 能 改 變 系 統(tǒng) 內(nèi) 某 個 物 體 的動 量 ， 但 不 能 改 變 系 統(tǒng) 的 總 動 量 .注 意 （ 1） F 為 恒 力tFI （ 2） F 為 變 力 )(d 1221 ttFtFI tt 討 論 F tt1 t2OF t 1 t2 tFO 物 理 學 大 廈的 基 石三 大守 恒 定 律 動 量 守 恒 定 律能 量 轉(zhuǎn) 換 與 守 恒 定 律角 動 量 守 恒 定 律三 、 動 量 守 恒 定 律 i ii itt i i pptFI 0ex0 d 質(zhì) 點 系 動 量 定 理 若 質(zhì) 點 系 所 受 的 合 外 力 0exex i iFF CpFtpF ,0,dd exex 動 量 守 恒 定 律則 系 統(tǒng) 的 總 動 量 不 變 (1) 系 統(tǒng) 的 總 動 量 不 變 ， 但 系 統(tǒng) 內(nèi) 任 一物 體 的 動 量 是 可 變 的 (2) 守 恒 條 件 ： 合 外 力 為 零 0exex i iFF 當 時 ， 可 近 似 地 認 為 系 統(tǒng) 總 動 量 守 恒 inex FF 討 論 (3) 若 ， 但 滿 足0exex i iFF 0 ex xFxi ix Cmp ixv有 xixi ixx CmpF v,0ex(4) 動 量 守 恒 定 律 是 物 理 學 最 普 遍 、 最 基本 的 定 律 之 一 yiyi iyy CmpF v,0ex zizi izz CmpF v,0ex 例 11. 質(zhì) 量 為 m的 人 站 在 一 條 質(zhì) 量 為 M 長 度 為L的 船 尾 上 ， 開 始 時 船 靜 止 。 求 ， 人 走 到 船 頭 時 ，船 移 動 的 距 離 (不 記 水 的 阻 力 )。 解 : 選 擇 m、 M為 系 統(tǒng) ， 設(shè) 某 時 刻 ， 人 與 船 的速 度 分 別 為 和 。 由 于 物 體 系 在 水 平 方 向 不受 外 力 作 用 ， 因 而 水 平 方 向 動 量 守 恒 。 mv Mv兩 邊 同 時 對 時 間 積 分 有0 M Mv v v vm mM m M m 0 0d dv vt tM mM t m t (1) 按 相 對 運 動 關(guān) 系 有 則 由 (1)式 得 M mmS SM (2) m m M MS S S (3) 將 (2) 代 入 (3) ， 其 中 當 人 從 船 尾 走 到 船 頭 時 有 m MS L 0 0d dv vt tM mM t m t (1) MSmSt0 dtMv 為 人 相 對 于 地 的 位 移 ， 用 表 示為 船 相 對 于 地 的 位 移 ， 用 表 示t0 dtmv 得 m mmS L SM m MS LM m 即 為 人 對 地 的 位 移 。 將 上 式 再 代 入 （ 2） 式 得mS M mm mS S LM M m 這 就 是 船 的 位 移 ， 負 號 表 示 沿 軸 負 方 向 移 動 四 、 質(zhì) 心 運 動 定 理1. 質(zhì) 心 板 上 C點 的 運 動軌 跡 是 拋 物 線 其 余 點 的 運 動 =隨 C點 的 平 動 +繞 C點 的 轉(zhuǎn) 動c c c c c cc 1r2r 質(zhì) 心 的 位 置 xz yo cr m1mim2 cir 1 1 2 2 11 2 . . . n i ii i ic i mrm r m r mrr m m m m 對 質(zhì) 量 離 散 分布 的 物 系 ,其 質(zhì) 心的 位 置 ： 1n i iiC m xx m 1n i iiC m yy m 1 zz n i iiC m m1 dx mm Cx 1 dy mm Cy 1 dz zC mm 對 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布 的 物 體 ： 對 密 度 均 勻 、 形 狀 對 稱 的 物 體 ， 質(zhì)心 在 其 幾 何 中 心 說 明 2. 質(zhì) 心 運 動 定 理 1r2r xz yo Cr m1mim2 cir1n i iic mrr m 1nc i iimr mr 1n iim m 1nC i iimr m r 上 式 兩 邊 對 時 間 t 求 一 階 導 數(shù) ， 得1d dd dnC iiir rm mt t 1nC i iimv mv 質(zhì) 心 的 動 量 等 于 各 質(zhì) 點 動 量 的 矢 量 和 1nc iip p ex CF ma 作 用 在 系 統(tǒng) 上 的 合 外 力 等 于 系 統(tǒng) 的 總質(zhì) 量 乘 以 質(zhì) 心 的 加 速 度 質(zhì) 心 運 動 定 律再 對 時 間 t 求 一 階 導 數(shù) ， 得 ex1 1 1d( )d dn i n ni iC ii ip dpma Ft t 1nc iip p 課 堂 練 習 ： 設(shè) 有 一質(zhì) 量 為 2m的 彈 丸 ,從 地 面 斜 拋 出 去 ,它飛 行 在 最 高 點 處 爆炸 成 質(zhì) 量 相 等 的 兩個 碎 片 ，其 中 一 個 豎 直 自 由 下 落 ， 另 一 個 水 平 拋 出 ，它 們 同 時 落 地 問 第 二 個 碎 片 落 地 點 在 何 處 ?CO m2m m x 解 選 彈 丸 為 一 系統(tǒng) ， 爆 炸 前 、 后 質(zhì) 心運 動 軌 跡 不 變 建 立圖 示 坐 標 系 ， CO xC x2 m22m m1 xxC為 彈 丸 碎 片 落 地 時 質(zhì) 心 離 原 點 的 距 離 21 2211 mm xmxmxC 01 x mmm 21 Cxx 22 CpFF i i inex一 般 情 況 碰 撞a 完 全 彈 性 碰 撞 動 量 和 機 械 能 均 守 恒b 非 完 全 彈 性 碰 撞 動 量 守 恒 ， 機 械 能 不 守 恒c 完 全 非 彈 性 碰 撞 動 量 守 恒 ， 機 械 能 不 守 恒 彈 性 和 非 彈 性 碰 撞五 、 碰 撞 完 全 彈 性 碰 撞（ 五 個 小 球 質(zhì) 量 全 同 ） 設(shè) 有 兩 個 質(zhì) 量 分 別 為 和 ， 速 度 分 別為 和 的 彈 性 小 球 作 對 心 碰 撞 ， 兩 球 的 速度 方 向 相 同 若 碰 撞 是 完 全 彈 性 的 ， 求 碰 撞 后的 速 度 和 20v 2m1m10v 1v 2v 取 速 度 方 向 為 正 向 。 2211202101 vvvv mmmm 由 動 量 守 恒 定 律 得 碰 撞 前 后 小 球 的 速 度 均 在 連 心 線 上 ， 上 式可 以 寫 為 標 量 形 式 2211202101 vvvv mmmm )()( 20221101 vvvv mm (1) 即 1 10 2 20 1 1 2 2+ +m m m mv v v v 實 驗 告 訴 我 們 ， 碰 撞 后 兩 個 小 球 的 分 離 速度 大 小 與 碰 撞 前 的 接 近 速 度 大 小 成 正 比 ， 其 比例 系 數(shù) 與 兩 球 的 材 料 性 質(zhì) 有 關(guān) ， 即 2 110 20e v vv v 追 擊 速 度分 離 速 度 2010 12 vv vve將 (2)式 與 (1)式 兩 邊 相 乘 得恢 復 系 數(shù) 定 義 :1.完 全 彈 性 碰 撞1e如 果 由 恢 復 系 數(shù) 定 義 有10 1 2 20v v v v (2) 2 2 2 21 10 1 2 2 20( ) ( )m mv v v v 即 2 2 2 21 10 2 20 1 1 2 21 1 1 12 2 2 2m m m mv v v v 由 、 可 解 得 ：(2)(1) 可 見 ， 系 統(tǒng) 的 能 量 （ 動 能 ） 守 恒 。 這 種 碰撞 稱 為 完 全 彈 性 碰 撞 。1 2 10 2 201 1 2( ) 2m m mm mv vv 2 1 20 1 102 1 2( ) 2m m mm mv vv （ 1） 若 21 mm 則 102201 , vvvv 1020102021 122010 2 , vvvvvv vvv v 由 討 論（ 2） 若 20vv2 21 mm ,則 1v 2vA1 m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后 , 0 20 v若 011 vv 則 討 論（ 3） 若 21 mm ,則 101 vv 1v 2vA1 m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后0201102012 122010 2 , vvvvvv vvv v 由 , 020 v若 012 2 vv 則 稱 完 全 非 彈 性 碰 撞2. 完 全 非 彈 性 碰 撞0e如 果 由 恢 復 系 數(shù) 定 義 有2 1v v v 碰 撞 后 兩 球 一 起 運 動 的 速 度 大 小 為 1 10 2 201 2m mm mv vv 動 能 損 失 2 2 21 10 2 20 1 221 2 10 201 21 1 1 ( )2 2 2( )2( )E m m m mm m m m v v vv v 3. 非 完 全 彈 性 碰 撞01 e 由 實 驗 方 法 測 定 ， 稱 非 完 全 彈 性 碰 撞得 碰 撞 后 兩 球 一 起 運 動 的 速 度 大 小 為 通 過 求 解 方 程 組 1 10 2 20 1 1 2 2m m m mv v v v 2 110 20e v vv v 1 2 10 2 2 201 1 2( ) ( )m em m emm mv vv 2 1 20 1 1 102 1 2( ) ( )m em m emm mv vv 一 質(zhì) 量 均 勻 分 布 的 柔 軟 細 繩 鉛 直地 懸 掛 著 ， 繩 的 下 端 剛 好 觸 到 水 平 桌面 上 ， 如 果 把 繩 的 上 端 放 開 ， 繩 將 落在 桌 面 上 。 試 證 明 ： 在 繩 下 落 的 過 程中 ， 任 意 時 刻 作 用 于 桌 面 的 壓 力 ， 等于 已 落 到 桌 面 上 的 繩 重 量 的 三 倍 。 oxx ( ) vp l x 2dd v ( )p l x gt 證 明 ： 取 如 圖 坐 標 ， 設(shè) 繩 長 為 .lt 時 刻 ， 系 統(tǒng) 總 動 量 補 充 例 題 （ 選 講 ） 根 據(jù) 動 量 定 理 :t 時 刻 ， 系 統(tǒng) 受 合 外 力 gN l2dd v ( )p l x gt gN l 柔 繩 對 桌 面 的 作 用 力 即 ：N N而 已 落 到 桌 面 上 的 柔 繩 的 重 量 為 mgxg 2 3(v )N xg xg 3N xg 所 以 作 用 于 桌 面 的 壓 力 ， 等 于 已 落 到 桌 面 上 的 繩重 量 的 三 倍 。 3N m g 2 2(v )xg oxv vdp dm dx x 證 明 二 ： 取 如 圖 坐 標 ， 設(shè) t 時 刻 已 有 x長 的柔 繩 落 至 桌 面 ， 隨 后 的 dt 時 間 內(nèi) 將 有質(zhì) 量 為 的 柔 繩 以 v 的 速 率 碰 到桌 面 而 停 止 ， 它 的 動 量 變 化 為 ：dx根 據(jù) 動 量 定 理 ， 桌 面 對 柔 繩 的 沖 力 為 ： 2v vdp dxF dt dt 2vF 柔 繩 對 桌 面 的 沖 力 即 ：FF 2 2v gx2F gx 已 落 到 桌 面 上 的 柔 繩 的 重 量 為mg gx 3 3N mg F gx mg