牛 頓 第 二 定 律 給 出 了 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動 狀 態(tài) 的 改 變 與力 的 關(guān) 系 ， 稱 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動 的 動 力 學(xué) 方 程 。 下 面 討論 剛 體 轉(zhuǎn) 動 的 動 力 學(xué) 方 程 ， 也 稱 轉(zhuǎn) 動 定 律 。3-2 轉(zhuǎn) 動 定 律 轉(zhuǎn) 動 慣 量一 、 剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動 定 律 作 為 質(zhì) 點(diǎn) 系 的 特 例 ， 剛 體 的 運(yùn) 動 應(yīng) 當(dāng) 服 從 質(zhì)點(diǎn) 系 角 動 量 定 理 ddLM t 沿 固 定 軸 軸 的 分 量 式 為 1.定 軸 轉(zhuǎn) 動 剛 體 的 角 動 量 對 z軸 的 角 動 量 即 z分 量 為dd Zz LM t式 中 和 分 別 為 質(zhì) 點(diǎn) 系 所 受 的 合 外 力 矩 與質(zhì) 點(diǎn) 系 角 動 量 沿 軸 的 分 量 。zM ZL剛 體 以 的 角 速 度 繞 z軸 作 定 軸 轉(zhuǎn) 動質(zhì) 量 元 對 o點(diǎn) 的 角 動 量 為im ( )v vi i i i i i i iL R mzk r m 整 個(gè) 剛 體 總 角 動 量 的 z分 量 為viz i i iL r m ( ) vi i i i iL zk r m 因 為 與 垂 直 ， 且 ， 則 其 大 小 為ir vi vi ir 2iz i i i i iL mr mr v2 2( ) ( )z i i i ii iL mr mr (1) 稱 剛 體 對 于 轉(zhuǎn) 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 ， 用 表示 ,由 剛 體 各 質(zhì) 量 元 相 對 于 固 定 軸 的 分 布 所 決 定 ，與 剛 體 的 受 力 及 運(yùn) 動 狀 態(tài) 無 關(guān) 。 即2( )i ii mr I 2= ( )z i ii mrI這 樣 式 (1)可 以 寫 為z zL I 因 為 是 定 軸 轉(zhuǎn) 動 ， 常 常 略 去 下 標(biāo) ， 通 常 寫 為 2= ( )I i ii mrL I可 見 ， 定 軸 轉(zhuǎn) 動 剛 體 的 角 動 量 等 于 轉(zhuǎn) 動 慣 量 與 角速 度 的 乘 積 。 2.定 軸 轉(zhuǎn) 動 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動 定 律由 質(zhì) 點(diǎn) 系 對 軸 的 角 動 量 定 理d= dZz LM t將 代 入 有z zL I d( ) dd d zz z zIM I It t 因 為 是 定 軸 轉(zhuǎn) 動 ， 常 略 去 下 標(biāo) ， 即 表 示 為 M I 上 述 結(jié) 論 稱 為 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 轉(zhuǎn) 動 定 律 ，也 稱 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 動 力 學(xué) 方 程 。 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 角 加 速 度 與 它 所 受 的 合外 力 矩 成 正 比 ， 與 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 成 反 比 .M I F ma 對 比 ： M F aI m轉(zhuǎn) 動 慣 量 ： 轉(zhuǎn) 動 慣 性 大 小 的 量 度 。 轉(zhuǎn) 動 慣 量 I 的 意 義 ： 轉(zhuǎn) 動 慣 性 的 量 度 . 轉(zhuǎn) 動 慣 量 的 單 位 ： kgm22i iiI mr 2dI r m 二 、 剛 體 轉(zhuǎn) 動 慣 量 的 計(jì) 算 M I 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 與 以 下 三 個(gè) 因 素 有 關(guān) ：（ 3） 與 轉(zhuǎn) 軸 的 位 置 有 關(guān) （ 1） 與 剛 體 的 質(zhì) 量 有 關(guān) （ 2） 與 剛 體 的 幾 何 形 狀 及 質(zhì) 量 的 分 布 有 關(guān) 說 明 竿子長些還是短些較安全？ 飛 輪 的 質(zhì) 量 為 什 么大 都 分 布 于 外 輪 緣 ？ v 質(zhì) 量 離 散 分 布2 2 2 21 1 2 2i i i iI mr mr mr mr I 的 計(jì) 算 方 法 v 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布2 2d i iiI mr r m ： 質(zhì) 量 元md 2 對 質(zhì) 量 線 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 線 密 度 lm dd 2 對 質(zhì) 量 面 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 面 密 度 Sm dd 2 對 質(zhì) 量 體 分 布 的 剛 體 ： 質(zhì) 量 體 密 度 Vm dd ： 質(zhì) 量 元md 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量2 2di iiI mr r m lOO 解 設(shè) 棒 的 線 密 度 為 ， 取 一 距 離 轉(zhuǎn) 軸 OO 為 處 的 質(zhì) 量 元 r rm dd l0 2 rrI d rd2 2 30 12 d 12/lI r r l 231mlr rrmrI 22 ddd 例 1. 一 質(zhì) 量 為 、 長 為 的 均 勻 細(xì) 長 棒 ，求 通 過 棒 中 心 并 與 棒 垂 直 的 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 。m lrd 2l2l OO 2121 ml 如 轉(zhuǎn) 軸 過 端 點(diǎn) 垂 直 于 棒 ORR 4R0 3 R2rr2I d rdr 例 2 一 質(zhì) 量 為 、 半 徑 為 的 均 勻 圓 盤 ，求 通 過 盤 中 心 O 并 與 盤 面 垂 直 的 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 .m R 解 設(shè) 圓 盤 面 密 度 為 ，在 盤 上 取 半 徑 為 ， 寬 為 的 圓 環(huán) r rd 2 Rm而rrm d2d 圓 環(huán) 質(zhì) 量 2mR21I 所 以rr2mrI 32 ddd 圓 環(huán) 對 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 2O CI I md 2.平 行 軸 定 理 質(zhì) 量 為 的 剛 體 ，如 果 對 其 質(zhì) 心 軸 的 轉(zhuǎn) 動慣 量 為 ， 則 對 任 一 與該 軸 平 行 ， 相 距 為 的轉(zhuǎn) 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量CI m d dC Om 質(zhì) 量 為 m， 長 為 L的 細(xì) 棒 繞 其 一 端 的 IP2 212PI mR mR 圓 盤 對 P 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 R mO2 212 3( )c LI I m mL 2cI I md 2112cI mL O1 d=L/2O1O2 O2 (2) 為 瞬 時(shí) 關(guān) 系 (3) 轉(zhuǎn) 動 中 與 平 動 中 地 位 相 同 maF M I(1) , 與 方 向 相 同 M I M說 明 轉(zhuǎn) 動 定 律 應(yīng) 用 M I 三 、 剛 體 轉(zhuǎn) 動 定 理 的 應(yīng) 用 例 3. 電 風(fēng) 扇 開 啟 電 源 時(shí) ， 經(jīng) t1時(shí) 間 達(dá) 到 額 定 轉(zhuǎn)速 ， 關(guān) 閉 電 源 時(shí) 經(jīng) t2時(shí) 間 停 止 。 設(shè) 電 風(fēng) 扇 的 轉(zhuǎn)動 慣 量 為 ， 且 電 機(jī) 的 電 磁 力 矩 與 摩 擦 力 矩 為 恒量 。 求 ： 電 風(fēng) 扇 電 機(jī) 的 電 磁 力 矩 。0 I由 轉(zhuǎn) 動 定 律 有 解 . 設(shè) 電 磁 力 矩 、 摩 擦 力 矩 分 別 為 、 M fM電 風(fēng) 扇 關(guān) 閉 過 程 中 ， 只 受 到 摩 擦 力 矩 的 作 用 ， 為 啟 動 角 加 速 度 ， 當(dāng) 電 風(fēng) 扇 達(dá) 到 額 定 轉(zhuǎn) 速 時(shí) 1 1fM M I (1) 0 1 1t (2) 當(dāng) 電 風(fēng) 扇 達(dá) 到 停 止 時(shí)設(shè) 電 風(fēng) 扇 關(guān) 閉 后 的 角 加 速 度 為 ， 于 是22fM I (3) 0 2 2 0t (4) 求 解 方 程 組 (1)(4)， 得 電 磁 力 矩 為)11( 210 ttIM 例 4. 一 定 滑 輪 半 徑 為 r ， 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ， 通 過一 輕 繩 兩 邊 系 質(zhì) 量 為 m1 和 m2 的 物 體 ， 繩 不 能 伸長 ， 繩 與 滑 輪 也 無 相 對 滑 動 。 求 ： 滑 輪 轉(zhuǎn) 動 的角 加 速 度 和 繩 的 張 力 。 I 解 . 建 立 坐 標(biāo) 如 圖 ， 對 m1 和 m2 因 為 繩 不 能 伸 長 有 (2) 1 1 1 1mg T ma 2 2 2 2m g T ma (1) 2 1y y C 對 時(shí) 間 求 二 次 導(dǎo) 數(shù) 得 對 滑 輪 按 轉(zhuǎn) 動 定 律 列 出 方 程2 1 0a a (3) 又 因 為 繩 與 滑 輪 無 相 對 滑 動1 2Tr Tr I (4) 求 解 方 程 組 (1)(5)得1a r (5) 1 2 21 2( )( )m m rgm m r I 22 11 21 222 22 21 2(2 )( )(2 )( )mr I mgT m m r Imr I m gT m m r I 將 m1 和 m2與 滑 輪 作 一 個(gè) 整 體轉(zhuǎn) 動 慣 量 1 2 21 2( )( )m m rgm m r I 2 21 2I mr mr I 1 2( )M m m gr 合 外 力 矩 所 以 解 法 2 穩(wěn) 定 平 衡 狀 態(tài) ， 當(dāng) 其 受 到 微 小 擾 動 時(shí) ， 細(xì)桿 將 在 重 力 作 用 下 由 靜 止 開 始 繞 鉸 鏈 O 轉(zhuǎn)動 試 計(jì) 算 細(xì) 桿 轉(zhuǎn) 動 到 與 豎 直 線 成 角 時(shí)的 角 加 速 度 和 角 速 度 例 5 一 長 為 l 、 質(zhì) 量為 m 勻 質(zhì) 細(xì) 桿 豎 直 放 置 ，其 下 端 與 一 固 定 鉸 鏈 O相接 ， 并 可 繞 其 轉(zhuǎn) 動 由 于此 豎 直 放 置 的 細(xì) 桿 處 于 非 m,lO mg 解 細(xì) 桿 受 重 力 和鉸 鏈 對 細(xì) 桿 的 約 束 力 作 用 ， 由 轉(zhuǎn) 動 定 律 得 NF12 sinmgl I 式 中 2ml31I 得 32 singl NFm,lO mg 由 角 加 速 度 的 定 義 lg dsin23d 積 分 得 )cos1(3 lg dd NFm,lO mgl2g3 sin 00 d23d0 lg sin