AB rrr 一 、 位 移 與 路 程 jyyixx ABAB )()( 平 面 運(yùn) 動 : xy BBrAr A ro AB xx AB yy 三 維 運(yùn) 動 : ，jyixr AAA ，jyixr BBB kjyixr z 222 z yxr 1-2 位 移 速 度 加 速 度 路 程 ( )s ),( 1111 zyxP ),( 2222 zyxP )( 1tr1P )( 2tr 2Px yOz從 P1到 P2：路 程 21PPs ss(3) 位 移 是 矢 量 ， 路 程 是 標(biāo) 量 位 移 與 路 程 的 區(qū) 別(1) 兩 點(diǎn) 間 位 移 是 唯 一 的 r(2) 一 般 情 況 sr 1r 1P 2r 2Pr xyOz r注 意 kjyixr z 212121 z yx222222 zyxr 222 z yxr的 意 義 不 同 rrr ， ， rr 二 、 速 度 與 速 率 1. 平 均 速 度 )()( trttrr 在 時 間 內(nèi) ， 質(zhì) 點(diǎn)位 移 為 t r)( ttr B)(tr A xy sojyix trv jtyitx ji yx vv 2 2v v vx y 2. 瞬 時 速 度 （ 簡 稱 速 度 ）trtrt ddlim0 v jtyitx dddd v ji yx vv 若 質(zhì) 點(diǎn) 在 三 維 空 間 中 運(yùn) 動 ， 其 速 度kji yx zvvvv xyo vyv xv2 2 2x y v v v v vz 3. 平 均 速 率 與 速 率v st 0 ddv limt s st t d dd dv tr set t 速 度 大 小 速 率當(dāng) 時 ,0t d d tr se r s 討 論平 均 速 度 大 小 不 等 于 平 均 速 率 4.自 然 角 坐 標(biāo) 下 的 速 度d d tr se 在 自 然 坐 標(biāo) 系 下 ， 同 時 用 大 小 和 方 向 來表 示 速 度 矢 量 。 d d =d dv vt tr se et t 課 堂 練 習(xí)1、 質(zhì) 點(diǎn) 作 曲 線 運(yùn) 動 ， 判 斷 下 列 說 法 的 正 誤 。rr r r rs rs rs dsrd dsrd 2、 一 運(yùn) 動 質(zhì) 點(diǎn) 在 某 瞬時 位 于 位 矢 的端 點(diǎn) 處 ， 其 速 度 大 小 為),( yxr trdd（ A） （ B）drdt 22 )dd()dd( tytx （ C） （ D）注 意 )(tr xyoy xdsdt d dr r d dr s 平 均 加 速 度 BvBv與 同 方 向va xyOa t v 反 映 速 度 大 小 和方 向 隨 時 間 變 化 快 慢的 物 理 量1. 平 均 加 速 度 與 加 速 度 AvA Av Bv三 、 加 速 度 x y za ai a j ak 222222d dd dd dd dd dd dxx yy xa t tya t ta t t zz vvv z加 速 度 大 小 2 2 2x y za a a a 加 速 度 大 小 2 2x ya a a 質(zhì) 點(diǎn) 作 三 維 運(yùn) 動 時 加 速 度 為 (瞬 時 )加 速 度直 角 坐 標(biāo) 下 dddd d dvvv yxa i jt t t 2 2 22 2 2d d dd d d x yr x yi j ai a jt t t 2.自 然 角 坐 標(biāo) 下 的 加 速 度dd dd d dv v v tt ea et t t 切 向 單 位 矢 量 的 時 間 變 化 率 ？ 0 lim tt et dd tet dd n et 法 向 單 位 矢 量d dsds d vn n e et lim net 2ddv vt ne et ddv ta t 2vna 切 向 加 速 度 (速 度 大 小 變 化 )法 向 加 速 度 (速 度 方 向 變 化 )dd dd d dv v v tt ea et t t 2 2t na a a 22 2d( ) ( )dv vt O tene a )(ta)(tr ( )tv 求 導(dǎo)求 導(dǎo) 積 分積 分四 、 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動 學(xué) 兩 類 基 本 問 題 1） 由 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動 方 程 可 以 求 得 質(zhì) 點(diǎn) 在 任一 時 刻 的 位 矢 、 速 度 和 加 速 度 ； 2） 已 知 質(zhì) 點(diǎn) 的 加 速 度 以 及 初 始 速 度 和 初 始位 置 , 可 求 質(zhì) 點(diǎn) 速 度 及 其 運(yùn) 動 方 程 第 一 類 問 題 a , v已 知 運(yùn) 動 學(xué) 方 程 ， 求求 （ 1） 質(zhì) 點(diǎn) 的 軌 跡 ；（ 3） t =1s 時 切 向 加 和 法 向 加 速 度 大 小 。 解例 1： 已 知 一 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動 方 程 24 3 2( ) jr t i t （ 2） 從 t =0 到 t =1s 的 位 移 大 小 及 方 向 ；（ 1） 由 可 知 24 3 2( ) jr t i t 24tx ty 23消 去 t 得 軌 跡 方 程 2)3( yx （ 2）其 大 小 為 1 0 4 5 3 4 2( ) ( )r r r i j j i j 2 24 2 2 5r 方 向 為 2tan 0 54yx .（ 3） 由 得 速 度 大 小 為 d 8 2dr ti jt v 2 2(8 ) 4 2 16 1v t t 故 2d 32d 16 1vt ta t t 32(1) 17ta 24 3 2( ) jr t i t 又 d 8da it v 2 2 232 8 17(1) 8 194(m/s )17 17na . 2222 8 ttn aaaa 所 以 解 ： 以 船 到 岸 的 距 離 為 x 軸 ， 岸 高 為 y 軸 建立 坐 標(biāo) ， 如 圖 所 示 。 例 2: 以 恒 定 的 速 率 拉 動 纖 繩 , 絞 車 定 滑 輪離 水 面 的 高 度 為 h, 求 小 船 向 岸 邊 移 動 的 速 度 。 0v 任 意 時 刻 小 船 到 岸 邊 的 距 離 x滿 足 兩 邊 對 時 間 t 求 導(dǎo) 數(shù) , 得 2 2d dd dlx lt tx 222 hlx d dxt顯 然 就 是 小 船 在 水 平 方 向 的 速 度 分 量 。 d dd dv x l lt x t船 即 負(fù) 號 表 示 沿 x 軸 負(fù) 方 向 。 為 拉 動 纖 繩 的 速 率 , 由 于 纖 繩 在 縮 短 , 因 此 0v 0dd vlt 00 cosvv vlx 船 代 入 得 d dd dv x l lt x t船 d dd dv x l lt x t船 即 xyo AB l v 課 堂 練 習(xí) ： 如 圖 A、 B 兩 物 體 由 一 長 為 的剛 性 細(xì) 桿 相 連 ， A、 B 兩 物 體 可 在 光 滑 軌 道上 滑 行 如 物 體 A以恒 定 的 速 率 向 左 滑行 , 當(dāng) 時 , 物lv60 體 B的 速 率 為 多 少 ？ 解 j tyB ddv 222 lyx 兩 邊 求 導(dǎo) 得 0dd2dd2 tyytxx xyo AB l vd dx x jy t 沿 軸 正 向Bv y當(dāng) 時 ，o60 1.73=Bv vvv txx dd jvtg 解 ： 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 大 小 例 3:質(zhì) 點(diǎn) 沿 半 徑 為 的 圓 周 按 的 規(guī) 律 運(yùn) 動 ， 式 中 s為 質(zhì) 點(diǎn) 離 圓 周 上 某 點(diǎn) 的 弧長 , 、 b 都 是 常 量 ， 求 質(zhì) 點(diǎn) 在 任 意 時 刻 的速 度 和 加 速 度 R 20vs t bt 0v 0d 2dv vs btt 切 向 加 速 度 大 小 d 2dv ta bt 加 速 度 大 小 法 向 加 速 度 大 小 22 0( 2 )vvn bta R R 42 2 2 0 2( 2 )4 vt n bta a a b R 加 速 度 與 半 徑 的 夾 角 20( 2 )arctan 2vtna bta bR 兩 邊 積 分 d ( )dv a t t 有得 0 0 ( )dv v ta t t 用 分 量 表 示 為 0 0d ( )dvv v tt a t t 第 二 類 問 題 已 知 加 速 度 和 初 始 條 件 ， 求 r, vd( ) dva t t 由 0 0 0 00 0 ( )d( )d( )dv vv vv v tx x xty y ytz z za t ta t ta t t 兩 邊 積 分同 樣 由 d( ) dv rt t d dvr t 有得 0 0 ( )dvtr r t t 用 分 量 表 示 為 0 0d ( )dvr tr tr t t 0 0 0 00 0 ()d()d()dvvvt xt yt zx x t ty y t tz z t t 解 1） jat 16dd v t 0 0vv jt- 16 0 vv 26 8 8r t i t j k 代 入 初 始 條 件 kr 80 代 入 初 始 條 件 jt d16 d v 6 16 i t j vv trdd tjtir )d 166( d 練 習(xí) ： 已 知 ja 16 kri 8,6 00 v, t = 0 時 ， trr 0 0 0 6i v求 ： 1） 和( )v t ( )r t2） 28 6 8r k t i t j 得 例 4 已 知 一 個 質(zhì) 點(diǎn) 作 直 線 運(yùn) 動 ， 其 加 速度 為 ， 初 始 時 刻 質(zhì) 點(diǎn) 位 于 原 點(diǎn) ， 初速 度 為 零 。 試 求 任 意 時 刻 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 和 位 置 。3 2va 解 ： 在 直 線 運(yùn) 中 ddva t 即 d dd 3 2v vvt a 兩 邊 積 分 0 ddt 3 2vv vvto 將 上 式 代 入 得 0 0d 1 (3 2)3 2 3 vvv v ln v |vt 1 3 2ln3 2v即 ： 32( 1)3v te 0 0 ( )dvtx x t t 得 30 2( 1)d3t tx e t 3 0 32 1( )3 32 1 1( )3 3 3|t tte te t 作 變 換 例 5 已 知 一 個 質(zhì) 點(diǎn) 作 直 線 運(yùn) 動 ， 其 加 速度 為 ， 若 質(zhì) 點(diǎn) 在 原 點(diǎn) 處 的 速 度 大 小為 ， 試 求 質(zhì) 點(diǎn) 在 任 意 坐 標(biāo) 處 的 速 度 大 小22 6a x 0v解 ： 按 題 意 有 2d 2 6dva xt d d d dd d d dv v vvxt x t x 即 2d d 2 6d dv vva xt x 分 離 變 量 得 2d (2 6 )dv v x x 兩 邊 積 分 0 20d (2 6 )dvv v v x x x 積 分 得 3 2 04 4v vx x