第 一 章 知 識(shí) 點(diǎn) 總 結(jié)1.復(fù) 數(shù) 是 指 形 如 的 數(shù) ,實(shí) 部 記 為 , 虛部 記 為 . xz Rez x iy yz Im2. 模 : ; 輻 角 : ; 輻 角 主 值 : ;22 yxzr kzArgz 2arg zarg 0,0 0,0arctan 0,02 0arctanarg yx yxxy yxxxyz 3.表 示 方 法 )sin(cos)sin(cos irizz (3)三 角 表 示 irez (4)指 數(shù) 表 示 z x iy (5)代 數(shù) 表 示 1)相 等 ;4.運(yùn) 算2)四 則 運(yùn) 算 ,及 運(yùn) 算 規(guī) 律 ;3)共 軛 運(yùn) 算 ,及 運(yùn) 算 規(guī) 律 ; )sin()cos( 21212121 irrzz4) 1 21 1 1 2 1 22 2 ( )12 cos( ) sin( )iz r iz rr er 5) nkinknk erzw 2)( 12,1,0 nk zn 6)方 根 運(yùn) 算 : ),(),()( yxivyxuzfw )()()( tiytxtz 5.實(shí) 變 復(fù) 值 函 數(shù) :復(fù) 變 函 數(shù) : 0 00 0( ) ( )( ) limz z f z f zf z z z dzzfdw )( 0 ,u v v ux y x y 6. 復(fù) 變 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分7. C-R(Cauchy-Riemann)條 件 yuiyvxvixuzf )( xviyvyuixu ),(),()( yxivyxuzf E iyxz ),(),( yxvyxu ),( yx8.可 導(dǎo) 的 充 要 條 件 : 函 數(shù)在 區(qū) 域 內(nèi) 一 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) 的 充 分 必 要條 件 是 ： 在 點(diǎn) 處 可 微 、且 滿 足 C-R條 件 .)(zf 9. 可 寫 成 以 下 四 種 形 式 ： 2)函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 解 析 與 它 在 這 一 區(qū) 域 可 導(dǎo) 是 等 價(jià) 的 3） 解 析 一 定 可 導(dǎo) ， 但 可 導(dǎo) 不 一 定 解 析 。10.解 析 與 奇 點(diǎn)1)定 義 :如 果 函 數(shù) 在 的 某 一 鄰 域 內(nèi) 處 處 可 導(dǎo) ， 則 稱 在 處 解 析 ； 如 果 在 區(qū) 域 內(nèi) 每 一 點(diǎn) 解 析 ， 則 稱 在 內(nèi) 解 析 ， 或 稱 是 內(nèi) 的 一 個(gè) 解 析 函 數(shù) )(zf 0z)(zfE 0z )(zf)(zf E)(zf E4） 不 解 析 的 點(diǎn) 稱 為 奇 點(diǎn) 。 11. 指 數(shù) 函 數(shù) )sin(cosexp yiyeez xz 1)定 義 : 2） 性 質(zhì) : exp zz ea. 在 復(fù) 平 面 內(nèi) 處 處 解 析 ；zz exp)(exp b. ；0zec. ； 12. 三 角 函 數(shù) sin , cos2 2iz iz iz ize e e ez zi (sin ) cos ,z z (cos ) sin .z z1） 定 義 ：2） 性 質(zhì) ：在 復(fù) 平 面 內(nèi) 是 解 析 的 ， 且 13. 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) lnw Lnz z iArgz Lnz與 lnz之 間 的 關(guān) 系 是 ：n ln 2L z z k i 0 1, 2 ,k ， 14. 乘 冪 注 : 1.由 于 是 多 值 的 ， 因 而 一 般 來(lái) 講 也 是 多 值 的 定 義 中 的 如 果 取 主 值 ，所 得 結(jié) 果 稱 為 的 主 值 2 .當(dāng) 是 特 殊 的 或 時(shí) , 就 是 我 們 所 熟悉 的 冪 函 數(shù) 或 .21zz 1Lnz 21zz1Lnz1lnz 12 ln zze 21zz2z n n1 nz n z 1221 Lnzzz ez 定 義 : 習(xí) 題 ： ;1)3;31)2;5)1.1 ii ：將 下 列 復(fù) 數(shù) 化 為 指 數(shù) 式 ;1)3 ;231)2 ;55)1 32i iie ei ei 解 ： ;27)2;)31(1.2 310 i） 求 下 列 各 式 的 值 ： ii iei i 3512512)2321(1024 )320sin320(cos22311 10103210 ）解 ： ).2321(3,3),2321(3 ,2,1,0 ),32sin()32(cos(27272727)2 210 332333 iwwiw k kikee iki 其 中 3.1) ( ) (cos sin );2 ( ) sin cosh cos sinhyf z e x i xf z x y i x y 討 論 下 列 函 數(shù) 的 可 導(dǎo) 性 與 解 析 性 。） ；( ) (cos sin )cos sinsin sin cos cos . ( )yy yy y y yf z e x i xu e x v e xu v u ve x e x e x e xx y y xC R f z 1)解 ： 因 ， 即， ，而 ， ， ，在 復(fù) 平 面 處 處 連 續(xù) ， 且 處 處 滿 足 方 程 。 故 在 復(fù) 平 面 上處 處 可 導(dǎo) ， 處 處 解 析 . ( ) sin cosh cos sinhsin cosh cos sinhcos cosh cos coshsin sinh sin sinh ( )f z x y i x yu x y v x yu vx y x yx yu vy y x yy x C R f z （ 2） 因 ， 即， ，而 ， ，在 復(fù) 平 面 處 處 連 續(xù) ， 且 處 處 滿 足 方 程 .故 在 復(fù) 平 面 上處 處 可 導(dǎo) ， 處 處 解 析 . ;Im,1)3;)1)(2);43(1.4 zeiiiLn zi 求設(shè)） 計(jì) 算 ： )34arctan)12(5ln)2)34(arctan(5ln )2)43(arg(5ln)43(43ln)43(1 kiki kiiiiArgiiLn）解 ： ,2,1,0 k )2sin(ln)2(cos(ln)1)(2 )24(242ln )24(2(ln)1(1(ln)1( iee eeei kki kiiiiArgiiiiLni ,2,1,0 k )24(2ln )2)1(arg(2ln)1(1ln)1()3 ki kiiiiArgiiLnz ,2,1,0 k kz 24Im 內(nèi) 是 解 析 的 。在 區(qū) 域?yàn)?何 值 時(shí) ， 函 數(shù)問 0 arctan)ln()(.5 22 x xyiyxazfa 內(nèi) 是 解 析 的 。在 區(qū) 域時(shí) ， 函 數(shù)即 ， 當(dāng) 上 成 立 時(shí) ，在 區(qū) 域內(nèi) 連 續(xù) ， 且在 區(qū) 域 則解 ： 0)(21 ,120, 0 ,2,2 ,arctan),(),ln(),( 22222222 22 xzfa axyuxvyvxu x yx xyvyx yxvyx ayyuyx axxu xyyxvyxayxu 第 二 章 知 識(shí) 點(diǎn) 總 結(jié)1. 曲 線 : 連 續(xù) 曲 線 ,簡(jiǎn) 單 曲 線 ,簡(jiǎn) 單 閉 曲 線 , 光 滑 曲 線 , 按 段 光 滑 曲 線 . 正 方 向 : 1)起 點(diǎn) 到 終 點(diǎn) . 2)當(dāng) 觀 察 者 順 此 方 向 前 進(jìn) ,曲 線 C所 圍 區(qū) 域 在 C的 左 手 . 區(qū) 域 : 單 連 域 , 多 連 域 . .)(limd)( 1 knk knC zfzzf 2.積 分 的 定 義 : 3.積 分 的 性 質(zhì) C( )g z( )f z設(shè) ， 在 曲 線 上 可 積 ， 則CC( ) ( )C Cf z dz f z dz 1) ， 與 反 向 ；K( ) ( ) C CKf z dz K f z dz 2) ， 為 常 數(shù) ； 4.柯 西 積 分 定 理 定 理 4: . , )()(d)( , )( )( , )( 10 011 0 內(nèi) 的 兩 點(diǎn)為 域這 里 那 末的 一 個(gè) 原 函 數(shù)為 內(nèi) 處 處 解 析在 單 連 通 域如 果 函 數(shù) Bzz zGzGfzfzG Bzfzz 5.“ 牛 頓 -萊 布 尼 茲 ” 公式 C zzz zfizf CzD DCDzf .d)(21)( , , , , )( 000 那 么內(nèi) 任 一 點(diǎn)為于 它 的 內(nèi) 部 完 全 含閉 曲 線內(nèi) 的 任 何 一 條 正 向 簡(jiǎn) 單 為內(nèi) 處 處 解 析在 區(qū) 域如 果 函 數(shù)6.柯 西 積 分 公 式 定 理 :（ 柯 西 積 分 公 式 ） . , )( ),2,1(d)( )(2 !)( : , )( 0100)( DzDzfC nzzz zfinzf nzf C nn 而 且 它 的 內(nèi) 部 全 含 于線任 何 一 條 正 向 簡(jiǎn) 單 閉 曲 的內(nèi) 圍 繞的 解 析 區(qū) 域?yàn)?在 函 數(shù)其 中導(dǎo) 數(shù) 為 階它 的的 導(dǎo) 數(shù) 仍 為 解 析 函 數(shù)解 析 函 數(shù) 7.定 理 :（ 高 階 導(dǎo) 數(shù) 公 式 ） 習(xí) 題 ： 1)設(shè) 是 由 點(diǎn) 0到 點(diǎn) 3的 直 線 段 與 點(diǎn) 3到 點(diǎn) 的 直 線 段 組 成 的 折 線 ， 求 積 分 ReC zdz 12 1 22 11010C z=0 z=3 3 ,0 1,9Re 3 , Re 3 3 .2z=3 z=3+i 3 ,0 1,Re 3,Re 3 3. 9Re Re Re 3.2Cc C C Cc c z x xz x zdz x dxz iy y zzdz idy izdz zdz zdz i 的 方解 ： 將 分 為 兩 段 ， 從 到 ， 的 方 程 為再 從 到 ，因 此 程 為 3 i 202 . c o s ;2i z d z 計(jì) 算 ： 2 200 cos 2sin 2cos ;2 2i iz zdz i 解 ： 3.沿 指 定 曲 線 的 正 向 計(jì) 算 下 列 積 分 ：2 2(1) ( 0) : ;C dz a C z a az a ， 00( ) 1 ( ) 1 1.C f z dz C z f z z zz z （ 2） ， ： ； 在 上 解 析 ， 2 31(3) , : 1;( 1)( 1)C dz C z rz z s in( 4 ) , : 1 .C z d z C zz 1 12 . z ac z adz i iz a z a z a a 解 ： (1)只 有 一 個(gè) 奇 點(diǎn) 在 內(nèi) ， 則0 00 0 .1( )C z z Cf z d zz z （ 2 ） 因 為 ， 所 以 在 外 ，則 2 31 0.( 1)( 1)C C dzz z （ 3） 被 積 函 數(shù) 在 內(nèi) 均 無(wú) 奇 點(diǎn) ，故 0sin 2 s zn 0,i 0zc Czdz i zz （ 4） 內(nèi) 有 一 個(gè) 奇 點(diǎn) 所 以 1 2 1 232co4.12 s 2 3sin 34C C zC z dz C z C zze zdz C zz 計(jì) 算 下 列 積 分（ ） ， ： 為 正 向 ， ： 為 負(fù) 向 （ ） ， ： 為 正 向 1 2 1 23 3 3cos cos cosc c c cz z zdz dz dzz z z （ 1） 解 ： 1 23 3cos cosc cz zdz dzz z 1 2 0 02 31 12 (cos ) 2 (cos ) 02! 2!z zC z C zi z i z 為 正 向 ， ： 為 負(fù) 向 ， 由 高 階 導(dǎo) 數(shù) 積 分式 公 式 得：原 223 2 1 2 1s in : 3 2 , 2 .4 s in s ins in 2 24 2 22 z z zzz z i z ie z C z i iz e z e ze z z i z id z d z d zz z i z i 因 為 在 內(nèi) 的 奇 點(diǎn) 為則 2 22 2s i n 2 s i n ( 2 )2 22 2 2 2s i n 2 s i n 2( )2 2i ii ie i e ii ii i i ie i e i 2 2sin 2 sin 2 cosh 22i ie ei i i 23 sin sin 2 co sh 2 .4zz e z d z i iz 即 2( 1) (0) 1( ) .v x y ff z u iv ， ，5.由 調(diào) 和 函 數(shù)求 解 析 函 數(shù) 2 22 22 , 2( 1)2( 1) ( )( ) 2 ( ) .( 1) .v vy xx yu v x yx yu vy y y y cy xu x y c 解 ： ，因 為 ， 所 以 u=(x-1) ， 、， 所 以 2 22 2( ) ( 1) 2 ( 1) ,(0) 1 1( ) ( 1) 1 2 ( 1) .f z x y c i x yf cf z x y i x y 由 得 ， 則 有