任 一 物 理 量 在 某 一 定 值 附 近 往 復(fù) 變 化 均 稱 為 振 動(dòng) . 機(jī) 械 振 動(dòng) 物 體 圍 繞 一 固 定 位 置 往 復(fù) 運(yùn) 動(dòng) . 周 期 和 非 周 期 振 動(dòng) 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 最 簡(jiǎn) 單 、 最 基 本 的 振 動(dòng) .諧 振 子 作 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 物 體 . 例 如 一 切 發(fā) 聲 體 、 心 臟 、 海 浪 起 伏 、 地 震 以 及 晶 體中 原 子 的 振 動(dòng) 等 .簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 復(fù) 雜 振 動(dòng)合 成分 解13-1 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 第 十 三 章 振 動(dòng) kl0 xmoA A 彈 簧 振 子 的 振 動(dòng) 00 Fx makxF xtx 222dd mk2令 xa 2 x xF mo )sin(dd tAtxv xtAtxa 2222 )cos(dd 積 分 常 數(shù) ， 根 據(jù) 初 始 條 件 確 定)cos( tAx xtx 222dd 驗(yàn) 證 ： tx 圖tv 圖ta 圖 TAA 2A 2A xva tttAAo oo TT )cos( tAx 0取2T )2cos( tA )sin( tAv )cos(2 tA )cos(2 tAa )cos( tAx一 振 幅 maxxA二 周 期 、 頻 率 kmT 2彈 簧 振 子 周 期2T 周 期 21 T 頻 率 22 T 圓 頻 率 )(cos TtA 周 期 和 頻 率 僅 與 振 動(dòng) 系統(tǒng) 本 身 的 物 理 性 質(zhì) 有 關(guān)注 意 tx 圖AA x T2T to13-2 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 中 的 振 幅 周 期 、 頻 率 和 相 位 1） ),( vxt 202） 相 位 在 內(nèi) 變 化 ， 質(zhì) 點(diǎn) 無 相 同 的 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) ； 三 相 位 t3） 初 相 位 描 述 質(zhì) 點(diǎn) 初 始 時(shí) 刻 的 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) . )0( t ) (2 nn相 差 為 整 數(shù) 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 全 同 .（ 周 期 性 ）20 ( 取 或 ) tx 圖AA x T2T to)sin( tAv )cos( tAx 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 中 ， 和 間 不 存 在 一 一 對(duì) 應(yīng) 的 關(guān) 系 .x v v vv 22020 v xA 00tan x v四 常 數(shù) 和 的 確 定A 000 vv xxt初 始 條 件 cos 0 Ax sin0 Av 對(duì) 給 定 振 動(dòng) 系 統(tǒng) ， 周 期 由 系 統(tǒng) 本 身 性 質(zhì) 決 定 ，振 幅 和 初 相 由 初 始 條 件 決 定 .)sin( tAv )cos( tAx cos0 A 2 0sin0 Av 2 0sin 取 0,0,0 vxt已 知 求 討 論 xv o)2 cos( tAx AA x T2T to 以 為原 點(diǎn) 旋 轉(zhuǎn) 矢量 的 端 點(diǎn)在 軸 上 的投 影 點(diǎn) 的 運(yùn)動(dòng) 為 簡(jiǎn) 諧 運(yùn)動(dòng) .xA oxo Acos0 Ax 當(dāng) 時(shí)0t 0 x13-3 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 以 為原 點(diǎn) 旋 轉(zhuǎn) 矢量 的 端 點(diǎn)在 軸 上 的投 影 點(diǎn) 的 運(yùn)動(dòng) 為 簡(jiǎn) 諧 運(yùn)動(dòng) .xA o xo Att t)cos( tAx 時(shí) )cos( tAx 旋 轉(zhuǎn)矢 量 的端 點(diǎn) 在 軸 上 的 投影 點(diǎn) 的 運(yùn)動(dòng) 為 簡(jiǎn) 諧運(yùn) 動(dòng) . xA （ 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 需 的 時(shí) 間 ）2T 用 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 畫 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 圖tx AAx2A to ab xAA 0討 論 相 位 差 ： 表 示 兩 個(gè) 相 位 之 差 . 1） 對(duì) 同 一 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) ， 相 位 差 可 以 給 出 兩 運(yùn) 動(dòng) 狀態(tài) 間 變 化 所 需 的 時(shí) 間 . )()( 12 tt)cos( 1 tAx )cos( 2 tAx 12 ttt at 3 TTt 612 3 v 2A bt 0 x to 同 步 2） 對(duì) 于 兩 個(gè) 同 頻 率 的 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) ， 相 位 差 表 示 它們 間 步 調(diào) 上 的 差 異 .（ 解 決 振 動(dòng) 合 成 問 題 ）)cos( 111 tAx )cos( 222 tAx)()( 12 tt 12 x to 為 其 它 超 前落 后txo 反 相 例 1 一 質(zhì) 量 為 的 物 體 作 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) ， 其 振幅 為 ， 周 期 為 ， 起 始 時(shí) 刻 物 體 在kg01.0m08.0 s4 x m04.0處 ， 向 軸 負(fù) 方 向 運(yùn) 動(dòng) （ 如 圖 ） .試 求Ox （ 1） 時(shí) ， 物 體 所 處 的 位 置 和 所 受 的 力 ； s0.1t o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv解 m08.0A 1s22 T o08.0 04.0 04.0 08.0 m/x30 0v m04.0,0 xt 代 入 )cos( tAxcos)m08.0(m04.0 3A 3 3)s2cos()m08.0( 1 tx m08.0A 1s22 T o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv 3)s2cos()m08.0( 1 tx s0.1t 代 入 上 式 得 m069.0 xxmkxF 2 )m069.0()s2)(kg01.0( 21 N1070.1 3 kg01.0m o08.0 04.0 04.0 08.0 m/xv （ 2） 由 起 始 位 置 運(yùn) 動(dòng) 到 處 所 需 要的 最 短 時(shí) 間 . m04.0 x 法 一 設(shè) 由 起 始 位 置 運(yùn) 動(dòng) 到 處 所需 要 的 最 短 時(shí) 間 為 m04.0 xt 3)s2cos()m08.0(m04.0 1 ts2 3)21(arccos t s667.0s32 o08.0 04.0 04.0 08.0 m/x解 法 二 33 起 始 時(shí) 刻 時(shí) 刻t t3t s667.0s32 t1s2 例 2 如 圖 所 示 ， 一 輕 彈 簧 的 右 端 連 著 一 物 體 ， 彈簧 的 勁 度 系 數(shù) ， 物 體 的 質(zhì) 量 . （ 1） 把 物 體 從 平 衡 位 置 向 右 拉 到 處 停下 后 再 釋 放 ， 求 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 方 程 ； 1mN72.0 k g20m m05.0 xm05.0 x 10 sm30.0 v （ 3） 如 果 物 體 在 處 時(shí) 速 度 不 等 于 零 ，而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 運(yùn) 動(dòng) 方 程 .2A （ 2） 求 物 體 從 初 位 置 運(yùn) 動(dòng) 到 第 一 次 經(jīng) 過 處 時(shí) 的速 度 ； m/xo 0.05 o x解 （ 1） 11 s0.6kg02.0 mN72.0 mk m05.0022020 xxA v 0tan 00 x v 0 或 A由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 0)cos( tAx )s0.6cos()m05.0( 1 t o xA2A 解 )cos( tAx )cos( tA 21)cos( Axt 3 5 3 或t A3t由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 tA sinv 1sm26.0 （ 負(fù) 號(hào) 表 示 速 度 沿 軸 負(fù) 方 向 ）Ox 2A （ 2） 求 物 體 從 初 位 置 運(yùn) 動(dòng) 到 第 一 次 經(jīng) 過 處 時(shí) 的速 度 ； 解 m0707.022020 vxA 1tan 00 x v 4 3 4 或 o xA 4)cos( tAx 4)s0.6cos()m0707.0( 1 t m05.0 x 10 sm30.0 v （ 3） 如 果 物 體 在 處 時(shí) 速 度 不 等 于 零 ，而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 運(yùn) 動(dòng) 方 程 .因 為 ， 由 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 圖 可 知 400 v 13-4 單 擺 l TF P轉(zhuǎn)動(dòng)正向 mglmglM sin sin5 ， 時(shí)動(dòng) 力 學(xué) 分 析 ： lgt 22dd O A m22ddtJmgl 2mlJ 一 單 擺 Pz *OFdFrM sin M Fr d : 力 臂d 剛 體 繞 O z 軸 旋 轉(zhuǎn) , 力 作 用 在 剛 體 上 點(diǎn) P , 且 在 轉(zhuǎn) 動(dòng)平 面 內(nèi) , 為 由 點(diǎn) O 到 力 的作 用 點(diǎn) P 的 徑 矢 . Fr FrM 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸 Z 的 力 矩 F 力 矩 M 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 角 加 速 度 與 它 所 受 的 合 外 力 矩 成正 比 ， 與 剛 體 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 成 反 比 . 轉(zhuǎn) 動(dòng) 定 律 JM )cos(m tlg2令 glT 2 222dd t lgt 22dd l TF P轉(zhuǎn)動(dòng)正向OA m2mlJ mk彈 簧 振 子 lg單 擺 )(sin2121 2222k tAmmE v )(cos2121 222p tkAkxE線 性 回 復(fù) 力 是 保 守 力 ， 作 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 系 統(tǒng) 機(jī) 械 能 守 恒 以 彈 簧 振 子 為 例 )sin( )cos( tA tAxvkxF 22 pk 21 AkAEEE mk /2 （ 振 幅 的 動(dòng) 力 學(xué) 意 義 ） 13-5 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 能 量 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 能 量 圖tx tv 221 kAE 0 tAx cos tA sinvv,x to T 4T 2T 43T能 量 o T t tkAE 22p cos21 tAmE 222k sin21 例 質(zhì) 量 為 的 物 體 ， 以 振 幅 作 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) ， 其 最 大 加 速 度 為 ， 求 ：kg10.0 m100.1 22sm0.4 （ 1） 振 動(dòng) 的 周 期 ； （ 2） 通 過 平 衡 位 置 的 動(dòng) 能 ；（ 3） 總 能 量 ；（ 4） 物 體 在 何 處 其 動(dòng) 能 和 勢(shì) 能 相 等 ？解 （ 1） 2max Aa Aamax 1s20 s314.02 T （ 2） J100.2 3222maxmax,k 2121 AmmE v（ 3） max,kEE J100.2 3（ 4） pk EE 時(shí) ， J100.1 3p E由 222p 2121 xmkxE 2p2 2mEx 24m105.0 cm707.0 x 1 1A1x x0一 兩 個(gè) 同 方 向 同 頻 率 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 合 成21 xxx 2211 2211 coscos sinsintan AA AA )cos(2 12212221 AAAAA )cos( tAx )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx Ax2x2A2 兩 個(gè) 同 方 向 同 頻率 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 合 成后 仍 為 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng)13-6 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 合 成 )cos(2 12212221 AAAAA 1 1A1x x0 Ax2x2A2 cos2 2122212 AAAAA 由 余 弦 定 理 ：由 幾 何 關(guān) 系 ： )( 12 )cos(2 122122212 AAAAA 3） 一 般 情 況 2121 AAAAA 21 AAA 2） 相 位 差1） 相 位 差 21 AAA 212 k )10( ， k相 互 加 強(qiáng)相 互 削 弱)12(12 k )10( ， k 補(bǔ) 充 ： 1 兩 個(gè) 相 互 垂 直 的 同 頻 率 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 合 成 )(sin)cos(2 1221221222212 AAxyAyAx質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡1） 或 2012 xAAy 12 )cos( 11 tAx )cos( 22 tAy y x1A2Ao （ 橢 圓 方 程 ） 討 論 y x1A2Ao2） 12 xAAy 123） 212 1222212 AyAx tAx cos1 ) 2cos(2 tAy )(sin)cos(2 1221221222212 AAxyAyAx xy 1A2Ao 用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差 2 兩 相 互 垂 直 不 同 頻 率 的 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 的 合 成)cos( 111 tAx )cos( 222 tAy nm 21 2,83,4,8,02 01 測(cè) 量 振 動(dòng) 頻 率和 相 位 的 方 法 李 薩 如 圖