經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)考試要點分析 到現(xiàn)在為止，同學們已經(jīng)把微積分這部分知識學完了。大家在復習這部分知識的同時，可能也想知道歷屆考核這部分知識的要點和題型。下面按各章順序?qū)η皫讓每碱}進行分析，同時也提出一些思路，希望能對同學們有所幫助。 第一章 函數(shù) 歷屆考題要點：定義域、函數(shù)值、已知復合函數(shù)求原來函數(shù)、判斷函數(shù)異同、函數(shù)的奇偶性、平均成本 1、定義域 求定義域時主要圍繞以下幾個方面考慮：有分式時，其分母不能為零；有對數(shù)時，其真數(shù)大于零；偶次方根內(nèi)的式子非負。如（1）若函數(shù) 的定義域為（0，1），則 的定義域為（ ) 分析：由 得)(ufy )(ln xfy 1ln0 x ex1 (2)由解得定義域為（-2，-1） (-1, + ),)2ln( 1 xy 0)2ln(,02 xx (3)若函數(shù) 與 表示同一函數(shù)，則它們的定義域為（ ）分析：從函數(shù)的兩要素去考慮：這兩個函數(shù)的對應法則已相同，現(xiàn)在要尋找使這兩個函數(shù)定義域相同的x的取值范圍。 答案是： ,11)( xxxf 1)( 2 xxg ,1 2、求函數(shù)值 包括初等函數(shù)和分段函數(shù)的函數(shù)值。如（1）則不要寫成 32)( 2 xxxf 0312132)1( 22 xxf 03121)1( 2 f 32)5()2( fff (2)函數(shù) 求分析：看清自變量的取值在哪個區(qū)間。 則 （ ）=3 xx xe xxf x 1,4 10, 0,1)( 2)1(f 214_)1( f 函數(shù)的復合也可理解為函數(shù)值的推廣，如1、設函數(shù) 則分析：xxf 1 1)( _)( xff xx21 )(1 1)( f 2、設函數(shù)則分析：1)(,11)( 2 xxgxxxf _)( xfg 22)1( )1(2 xx 1)11()( 2xxxfg 3由復合函數(shù)求原來函數(shù)，如（1）若 則分析：若把 求出來，那麼 也就得到了。為此，設 則 由 得故)(uf )(xfxxf )1( _)( xf ux 1xu 1 xxf )1( uuf 1)( xxf 1)( x1 （2）若函數(shù)則分析：方法1同前 方法2：特殊解法)1()1( xxxf_)( xf )1( 1)1)(1(1)1( xx xxxf )1( xx 4判斷函數(shù)異同當函數(shù)定義域及對應法則都相同時它們才是相同的。如下列各函數(shù)中（ ）中的兩個函數(shù)相同1g(x)x,cosxsinD.f(x) 2lnxg(x),lnxC.y 1xg(x),1x 1xB.f(x) xg(x),)x(A.f(x) 222 2 2 D 5、函數(shù)的奇偶性 首先要記住定義，并能用它來證明一些簡單的結(jié)論；其次是記住一些常見的奇、偶函數(shù)，并利用奇、偶函數(shù)的四則運算來判斷函數(shù)的奇偶。如 （1）下列函數(shù)中，（ ）是奇函數(shù)xxyD eeyC xxyB xxyA xx cossin. )1ln(. 1sin. 23 分析：用定義判斷A、C、D較容易判斷，且都不是，那麼B是嗎？)()1ln( )1ln(1 1ln 1 )1)(1(ln )1ln()1ln()( 2 122 2 22 22 xfxx xxxx xx xxxx xxxxxf （2）函數(shù) 是（ ）A.偶函數(shù) B. 奇函數(shù) C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù)分析：利用奇偶函數(shù)的四則運算法則來判斷。21cosxxxy B 常見的奇函數(shù)； 常見的偶函數(shù))1ln(, ,cot,tan,sin, 233 xxaa xxxxxx xx )(,cos, 22 xfaaxxc xx 6、經(jīng)濟函數(shù)中的成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)、需求函數(shù)、平均成本函數(shù)等是本課程的重點內(nèi)容，基本初等函數(shù)、復合函數(shù)分解等內(nèi)容也是本課程的重點內(nèi)容，必須切實掌握，只是它們較少單獨命題。 第二章 一元函數(shù)微分學 歷屆考試要點：極限計算，復合函數(shù)求微分，隱函數(shù)求微分，切線方程，切線斜率，導數(shù)定義，無窮小量，導數(shù)值，可導與連續(xù)等。1、極限的計算 每次考試均有一道極限計算題。極限計算首先要考慮極限四則運算的條件，其次要考慮兩個重要極限及其變形，再次要考慮無窮小量的概念及其性質(zhì)，最后要考慮極限存在的充要條件及左、右極限。 A、 類型：通常是化為無窮小量來計算，既有分式時，可考慮分子分母同時除儀以最高冪次；沒有分式時，可通過有理化為分式。如 40 1030 )32( )43()12(lim x xxx 40 1030 )32( )43()12(lim x xxx 1040 1030 )23(2 32 x 22321)231( )211(lim 231 211lim32 12lim)2( eeexx xxxx xxx xxxx )12(lim)3( 22 xxxxx 4232 22 2 22 22 1121 12lim 122lim 12 )1()2(lim xxxx xxxx xx xxx xxxx xxx B、 類型： 當沒有分母或分母的極限不為零時，可利用連續(xù)性，直接將 代入；當分母的極限為零，而分子的極限不為零時，直接得出結(jié)果 ；當分子、分母的極限均為零時，可考慮利用因式分解、有理化或重要極限來計算；當出現(xiàn) 的情形時應先通分。如0 xx 0 x 223lim)1( 221 xx xxx 3122lim )2)(1( )2)(1(lim 11 xx xx xxxx 2111lim 1 )1(2lim)1112(lim)3( 41)11(2 12sin2lim 2sin)11( 1)1(lim2sin 11lim)2( 1 21210 00 x x xxx xxx xx xxxx xxx xx 3、利用無窮小量性質(zhì)極限4、下列極限計算正確的是_21sinlim0 xxx 0 11sinlim. 11sinlim. )1(lim. )11(lim. 0 10 xxD xxC exB exA xx xx xx D 1sinlim11sinlim1sinlim 0 uuxxxx uxx 5、連續(xù)、切線方面：如（1）設 則下列結(jié)論正確的是A . 在 處連續(xù)B. 在 有極限，不連續(xù)C. 在 無極限D(zhuǎn). 在 連續(xù)，無極限,02 01)( xx xexf x)(xf 0 x)(xf )(xf )(xf 0 x 0 x 0 x C （2）曲線 在點（1，1）處的切線方程是 2321. 2321. 2321. 2321. xyc xyC xyB xyA xy 1C 分析：只需把該點處切線的斜率求出， 代入點斜式公式即可。由 得把點和斜率代入點公式斜率即可。21)1( 21)1()( 23 f xxxf 21k （3）無窮小量 要注意與重要極限的區(qū)別，以下幾個結(jié)論要特別注意：,11sinlim,01sinlim 0sinlim,1sinlim 00 xxxx x xx x xx xx 2、復合函數(shù)（或隱函數(shù)）的導數(shù)（或微分）： 計算這部分內(nèi)容是微積分最重要的內(nèi)容，首先要記熟導數(shù)公式與法則，其次是對簡單函數(shù)要會求導數(shù)值、微分及二階導數(shù)。這部分內(nèi)容很重要教材中有大量的例題與習題，這里只舉幾個歷屆考題的例子： （1）設函數(shù)求解：,sin1 xey dy xxx xxxeee eeey sin12 cos sin12 )sin1()sin1( dxeeedy xxx sin12 cos （2）設隱函數(shù) 由方程 確定，求 解：)(xfy xyyx ln2 y12 21)1( 12 2 22 2 yx xyyy xyyyx yyyxxy （3）設 是由方程確定的隱函數(shù)，求解：)(xyy 0sin yxey 00yxdxdy1011cos 0cos 00 yx yy yydxdy xeyedxdy eyxeyy 第2章在歷屆考試中所占比例較重，說明這一章很重要，且這一章中導數(shù)與微分的內(nèi)容是后面第35章的基礎(chǔ)。 第3章導數(shù)與應用 歷屆考題要點有：求最值；如求最大利潤時的產(chǎn)量及最大利潤、求最大收入時的產(chǎn)量及最大收入、求最小成本時的產(chǎn)量及最小成本；需求彈性；單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等。 1、求最值（1）某廠生產(chǎn)某中產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù) (元）問產(chǎn)量為多少時可使平均成本達到最??？此時的成本是多少？解：平均成本函數(shù)為201.020400)( qqqC qooqq qqqC 1.20400001.020400)( 2 01.0400)( 2 qqC 令得到唯一駐點 舍去），因為平均成本存在最小值，所以當產(chǎn)量為200件時可使平均成本達最小.此時的成本是 （元） 001.0400)( 2 qqC 200(200 qq 4800 20001.020020400)200( 2 C （2）設某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元。又已知需求函數(shù)q=2000-4p,其中p為價格，q為產(chǎn)量，問價格為多少時利潤最大？并求最大利潤解： ,25000042400)()()( 42000)42000()( 400250000 )42000(10050000 10050000)( 2 2 pppCpRpL pppppqpR p pqpC 令 L(p)=0 得 p=300該問題確實存在最大值，所以，當價格為300元時，利潤最大。最大利潤 （元）ppL 82400)( 110000 25000030043002400)300( 2 L （3）已知某商品的需求量q=1200-100p(件），其中 p是價格（元/件），求使收入最大的銷售量和相應的最大收入，分析：由 q=1200-100p 得p=(12-0.01q收入函數(shù) 212)( qqpqqR qqR 02.012)( 求最大利潤（最大收入、最小平均成本）時的產(chǎn)量（或小量）是第3章的重點，要求熟練掌握。2、求單調(diào)區(qū)間或給定某區(qū)間時判斷該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。應側(cè)重于較簡單的問題。要會用單調(diào)性作簡單的證明。如（1）下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）),( 分析：正確答案是B（2）函數(shù) 的單調(diào)下降區(qū)間 是分析：正確答案是另外，在切線方面的應用如曲線 在 出的切線方程是分析：正確答案是xDxCeBxA x 3.,.,.,sin. 21)( 2 xxf )0,(2)( xxf 2x 2341 xy 3、需求彈性 主要是記住公式后套用。如（1）若需求函數(shù)q=q(p)（q是需求量，p是彈性），則需求彈性分析：答案_pE )( )(.,)( )(.,)( )(.),( )(. pq pqpDpq pqpCpqp pqBppq pqA C （2）若需求函數(shù) ，當p=5時，需求彈性為（ ）分析：ppq 2100)( 2ln5.,2ln500. ,2ln5.,2ln5. DC BA A2ln5 2ln)2ln2100(2100)()( 2ln2100)( 5 PP ppp pE pppqpq pE pq 4、函數(shù)極值 應側(cè)重駐點、極值點等概念。 要明確經(jīng)濟上的“邊際”就是數(shù)學上的“導數(shù)”，如邊際成本函數(shù)就是成本函數(shù)導數(shù)。 第4章一元函數(shù)積分學 歷屆考試要點：用湊微分法計算積分、抽象函數(shù)的不定積分、廣義積分、原函數(shù)概念、不定積分性質(zhì)、分部積分計算、變上限定積分的導數(shù)或微分、限定積分的導數(shù)等。1、湊微分法（第一換元法）（包括不定積分與定積分）是第4章的重點，要熟練掌握，但不必考慮過難題目。如 求解：dxex 101 1 ee eeddxeedxe x xxxxx 12ln11ln( 1 )1(11 1 10) 101010 ceed e dxeedxedxe xxx x xxx )1ln()1(11 111 11 1 2、 分部積分法如 （1） 計算積分解：原式dxxx20 2sin xxxx 2sin 410 2cos211 2sin4 2sin4142cos212cos21 202020 xxdxxx )2cos21(20 xxd + （2） 求解：原式dxxexx x)( 210 42013 412152 2 1021021025 10 210 23 10 210 e exex dxxedxx dxxedxxx xxx x 分部積分法應圍繞兩種類型考慮：一是形如二是形如基礎(chǔ)差 的學生可用列表法（第一類可將冪函數(shù)求導至0，第二類只能分部一次），而基礎(chǔ)較好的學生最好兩種方法都掌握。axdxxaxdxxdxex nnaxn cos,sin, );2,1()(ln ndxxx na 3、廣義積分 思路：先求定積分再取極限。如若廣義積分則 k=( )分析：210 dxe kx 21.;21.;2.;2. DCBA kek kxdexdedxe kbb bo kxbb kxbkx 1)1(lim1 )(lim)(lim 00 A 4、不定積分的性質(zhì)。如（1）若 則分析：Cxdxxf 2sin)( _)( xf2cos21.;2cos21. ;2sin41.;2sin41. xDxC xBxA B)(cos 21)2(sin xfxcx （2）已知則分析： cxFdxxf )()( _)(cossin dxxxf cxxFDcxFC cxFBxFA )(cossin.;)(cos. )(cos.);(cos. cxFxdxf dxxxf )(cos)(cos)(cos )(cossin C 5、求原函數(shù)，如函數(shù) 的一個原函數(shù)是（ ）分析：這是求誰的導數(shù)等于它。xxf 3)( 3ln3x 6、定積分是一個數(shù)，其導數(shù)必為0；而變上限定積分的導數(shù)等于將上限變量代入被積函數(shù)中的t而得到。如_1110 2 dxxdxd o x tfxfdttfdxd 0 )()()( 第5章 積分應用 歷屆考題 要點：微分方程的求解、可分離變量線性微分方程、線性微分方程的概念、已知邊際函數(shù)求原函數(shù)、齊偶函數(shù)在對稱區(qū)間的積分等。1、微分方程的求解是第5章 的一個重點。對微分方程的階、通解、特解及可分離變量微分方程與線性微分方程等概念要理解其含義。 （1）求微分方程 的通解。解：此方程 為可分離變量的微分方程 ，將方程變量分離兩邊分別積分通解為整理得xx eyye 1dxe edyy x x 11 dxe edyy x x 11 cey x ln)1ln(ln ce yx 1 （2）求微分方程 滿足初始條件 的特解解；因為用公式12 xxyy 47)1( y 1)(,1)( 2 xxQxxp xcxxcxxx cdxexe cdxexey xx dxxdxx 24241 )1( )1( 324 ln2ln 121 由 得所以特解為4712141)1( 3 cy 1cxxxy 1243 2、設邊際收入函數(shù)為則平均收入函數(shù)為分析：先求總收入函數(shù)，再求平均收入函數(shù)。qqR 32)( 2 00 20232 )232()32( )()( qq qqdqq dqqRqR qq q qq qqqqRqR 232232)()( 2 3、求平面圖形如 由連續(xù)曲線與直線圍成的求平面圖形為（ ）.)()(. ;)()(, ;)()(. ;)()(. dxxfxgD dxxfxgC dxxgxfB dxxgxfA babababa D