第一章 靜力學基本概念與物體受力分析 第二章 匯交力系 第三章 力偶系 第四章 平面任意力系 第五章 空間任意力系 第六章 靜力學專題 桁架、摩擦、重心 第一篇 靜力學 靜力學主要研究： 物體的受力分析； 力系的簡化； 力系的平衡條件及其應用。 引 言 靜力學是 研究物體在力系作用下平衡規(guī)律的科學。 11 靜力學基本概念 12 靜力學公理 13 約束與約束反力 14 物體的受力分析與受力圖 第一章 靜力學基本概念與物體受力分析 第一章 靜力學基本概念與物體受力分析 1-1 靜力學基本概念 是指物體相對于慣性參考系保持靜止或作勻速直線運動 的狀態(tài)。 一 .剛體 就是在力的作用下，大小和形狀都不變的物體。 二 .平衡 4.力的單位： 國際單位制：牛頓 (N) 千牛頓 (kN) 三、力的概念 1定義 ： 2. 力的效應： 運動效應 (外效應 ) 變形效應 (內效應 )。 3. 力的三要素： 大小，方向，作用點 A F 力是物體間的相互機械作用 。 5. 力系： 是指作用在物體上的一群力。 6. 等效力系： 兩個力系的作用效果完全相同。 7. 力系的簡化： 用一個簡單力系等效代替一個 復雜力系。 8. 合力： 如果一個力與一個力系等效，則稱這 個力為力系的合力。 9. 平衡力系： 物體在力系作用下處于平衡，我 們稱這個力系為平衡力系。 F1 A B C F2 F3 1-2 靜力學基本公理 是人類經(jīng)過長期實踐和經(jīng)驗而得到的結論，它被反復的實 踐所驗證，是無須證明而為人們所公認的結論。 公理 1 二力平衡公理 作用于剛體上的兩個力，使剛體平衡的必要與充分條件是： 這兩個力 大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 = F2 作用在同一直線上， 作用于同一個物體上。 剛體 F1 F2 公理 ： 說明 ： 對剛體來說，上面的條件是充要的。 二力體 ：只在兩個力作用下平衡的剛體叫二力體。 對變形體 (或多體中 )來說，上面的條件只是必要條件。 二力桿 在已知力系上加上或減去任意一個平衡力系，并不改變原 力系對剛體的作用。 作用于剛體上的力可沿其作用線移到同一剛體內的任一 點，而不改變該力對剛體的效應。 因此，對剛體來說，力作用三要素為： 大小，方向，作用線。 公理 2 加減平衡力系原理 推論 1：力的可傳性原理 公理 3 力的平行四邊形法則 作用于物體上同一點的兩個力可合成一個合力，此合力 也作用于該點，合力的大小和方向由以原兩力矢為鄰邊所構 成的平行四邊形的對角線來表示。 21 FFF R 力的三角形法則 FR FR 剛體受三力作用而平衡 ， 若其中兩 力作用線匯交于一點 ， 則另一力的作 用線必匯交于同一點 ， 且三力的作用 線共面 。 （ 必共面 ， 在特殊情況下 ， 力在無窮遠處匯交 平行力系 。 ） 推論 2： 三力平衡匯交定理 三力 必匯交，且共面。 321 , , FFF 321 , , FFF 證 為平衡力系， 3R , FF 也為平衡力系。 又 二力平衡必等值、反向、共線， FR 公理 4 作用力和反作用力定律 等值、反向、共線、異體、且同時存在。 例 吊燈 公理 5 剛化原理 變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體變成 剛體（剛化為剛體），則平衡狀態(tài)保持不變。 公理 5告訴我們：處于平衡 狀態(tài)的變形體，可用剛體靜 力學的平衡理論。 1-3 約束與約束反力 一、概念 位移不受限制的物體叫自由體。 自由體： 位移受限制的物體叫非自由體。 非自由體： 大小常常是未知的； 方向總是與約束限制的物體的位移方向相反； 作用點在物體與約束相接觸的那一點。 約束力 特點： G 約束力： 約束與非自由體接觸相互產(chǎn)生了作用力，約束作用于 非自由體上的力叫約束力或稱為約束反力。 約束： 對非自由體的某些位移預先施加的限制條件稱為約束。 （這里，約束是名詞，而不是動詞的約束。） F G FN1 FN2 二、約束類型和確定約束反力方向的方法： 1. 柔索：由柔軟的繩索、鏈條或皮帶構成的約束 繩索類 只能受拉 ， 約束反力 作用在接觸點 ， 方向 沿繩索背離物體 。 T F1 F2 約束力方向與所能限制的物體運動方向相反 。 A 約束力方向與所能限制的物體運動方向相反 。 F1 F2 柔繩約束 膠帶構成的約束 柔索約束 柔繩約束 鏈條構成的約束 約束力方向與所能限制的物體運動方向相反 。 繩索、鏈條、皮帶 柔 索 約束力方向與所能限制的物體運動方向相反 。 約束反力 作用在接觸點處 ， 方向 沿公法線，指向受力物體 2 光滑支承面約束 P N N P NA NB N N N 凸輪頂桿機構 固定鉸支座： 物體與固定在地基或機架上的支座 有相同直徑的孔，用一圓柱形銷釘聯(lián)結起來，這 種構造稱為固定鉸支座。 中間鉸： 如果兩個有孔物體用銷釘連接 軸承： 3 光滑圓柱鉸鏈約束 光滑圓柱鉸鏈約束 圓柱鉸鏈 A A XA YA A FN F N FN Fx Fy 約束反力過鉸鏈中心，用 XA、 YA表示 固定鉸支座 上擺 銷釘 下擺 固定鉸支座 鉸 固定鉸支座 固定鉸支座 中間鉸 鉸 銷釘 中間鉸 簡化表示： 約束力表示： 4 活動鉸支座 （ 輥軸支座） 在固定鉸鏈支座的底部安裝一排滾輪，可使 支座沿固定支承面滾動。 上擺 銷釘 底板 滾輪 活動鉸支座 活動鉸支座 其它表示 FA A FB FC B C A FA B FB C FC 活動鉸支座 光滑圓柱鉸鏈約束實例 固定鉸鏈支座 活動鉸鏈支座 40 A 空間 5 光滑球鉸鏈 反力是過球鉸中心的 FAx、 FAy、 FAz三個分力。 FAz FAy FAx 6 二力構件 二力構件 二力構件的約束力 沿連桿兩端鉸鏈的 連線，指向不定， 通常假設受拉。 翻斗車 二力構件 7 、其它約束 滑道 滑塊 導軌 滑套 約束反力垂直于滑道、導軌，指向亦待定。 滑道 、 導軌 ： FN FN 解決力學問題時，首先要 選定需要進行研究的物體 ，即 選 擇研究對象 ；然后根據(jù)已知條件，約束類型并結合基本概念和 公理分析它的受力情況，這個過程稱為物體的 受力分析 。 1-4 物體的受力分析和受力圖 作用在物體上的力有：一類是主動力： 如重力 ,風力 ,氣體壓力等。 二類是被動力：即約束反力。 一、受力分析 補：解除約束原理 當受約束的物體在某些主動力的作用下處于平衡，若將其部 分或全部的約束除去，代之以相應的約束反力，則物體的平 衡不受影響。 意義： 在解決實際物體的平衡問題時，可以將該物體所受的 各種約束解除，而用相應的約束反力去代替它們對于物體的 作用。這時，物體在所有主動力和約束力作用下，仍然保持 平衡，但物體已經(jīng)被抽象成為一個不受任何約束作用的自由 體了，因而就可利用靜力學所得出的關于自由剛體的平衡條 件來解決受有各種不同約束的物體的平衡問題。 畫物體受力圖主要步驟為 ： 選研究對象； 去約束，取分離體； 畫上主動力； 畫出約束反力。 二、受力圖 例 1 O W FD FE FAx FAy FB DF FA FB A B D A B D DF G 例 2 畫出下列各構件的受力圖 Q A O B C D E Q F O F F1 FO F1 C FC F2 A C D B E FA FB FC 例 2 畫出下列各構件的受力圖 Q A O B C D E A C D B E FA FB FA A D C FD D E FE C B E FB FC FE FD FC1 FC2 C FC1 FC2 FC C B D D E 例 3 畫出下列各構件的受力圖 說明： 三力平衡必匯交 當三力平行時，在無限 遠處匯交，它是一種特 殊情況 。 FA FB Q F D FE FC A B FB FD 例 4 尖點問題 Q FC FA FB Q FC FB B 例 5 畫出下列各構件的受力圖 W FT FBx FH FBy FH FD FC C D C B A FAx FAy FD FT FAx FAy FH FC FBy FBx P A B C B P A C CF BF AF 例題： 如圖所示，重物重 G = 20 kN,用鋼絲繩掛在支架的滑輪 B上，鋼絲繩的 另一端繞在鉸車 D上。桿 AB與 BC鉸接，并以鉸鏈 A， C與墻連接。如兩桿與 滑輪的自重不計并忽略摩擦和滑輪的大小，試畫出桿 AB和 BC以及滑輪 B的 受力圖。 A B D C G 30o 60o 1. 桿 AB的受力圖。 2. 桿 BC 的受力圖。 FAB FBA FCB FBC A B B C F2 F1 F2 F1 3. 滑輪 B ( 不帶銷釘）的受力圖。 4. 滑輪 B ( 帶銷釘）的受力圖。 FBA 30o FBC 60o B B 三、畫受力圖應注意的問題 除重力、電磁力外，物體之間只有通過接觸才 有相互機械作用力，要分清研究對象（受力體） 都與周圍哪些物體（施力體）相接觸，接觸處 必有力，力的方向由約束類型而定。 2、不要多畫力 要注意力是物體之間的相互機械作用。因此對 于受力體所受的每一個力，都應能明確地指出 它是哪一個施力體施加的。 1、不要漏畫力 解除約束后，才能畫約束力！ 約束反力的方向必須嚴格地按照約束的類型來畫，不 能單憑直觀或根據(jù)主動力的方向來簡單推想。在分析 兩物體之間的作用力與反作用力時，要注意，作用力 的方向一旦確定，反作用力的方向一定要與之相反， 不要把箭頭方向畫錯。 3、不要畫錯力的方向 即受力圖一定要畫在分離體上。 4、受力圖上不能再帶約束。 一個力，屬于外力還是內力，因研究對象的不同，有 可能不同。當物體系統(tǒng)拆開來分析時，原系統(tǒng)的部分 內力，就成為新研究對象的外力。 對于某一處的約束反力的方向一旦設定，在整體、局 部或單個物體的受力圖上要與之保持一致。 5、受力圖上只畫外力，不畫內力。 6 、同一系統(tǒng)各研究對象的受力圖必須整體與局部一致，相 互協(xié)調，不能相互矛盾。 7 、正確判斷二力構件。 1 3 1 4 1 5 61 62 匯交力系 ： 各力的作用線匯交于一點的力系。 引 言 匯交力系 力系 力偶系 一般力系 (任意力系 ) 研究方法：幾何法，解析法。 例：起重機的掛鉤。 力系分為：平面力系、空間力系 F F1 F2 63 21 匯交力系合成和平衡的幾何法 22 匯交力系合成和平衡的解析法 第二章 匯交力系 64 2-1 匯交力系合成與平衡的幾何法 一、合成的幾何法 c o s2 212221 FFFFF R )1 8 0s i n (s i n 1 o RFF 1.兩個共點力的合成 合力方向可應用正弦定理確定： 由余弦定理： c o s)180c o s ( 力的平行四邊形法則 力的三角形法則 FR FR 65 FR 2. 任意個共點力的合成 力多邊形法則 即：匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 線通過各力的匯交點。 即： FF R 結論： 4321 FFFFF R FR 66 二、匯交力系平衡的幾何條件 在幾何法求力系的合力中，合 力為零意味著力多邊形自行封閉。 匯交力系平衡的充要條件是： 0FF R 力多邊形自行封閉。 或： 力系中各力的矢量和等于零。 匯交力系平衡的必要與充分的 幾何條件是： FR FR 67 例 1 已知壓路機碾子重 P=20kN, r=60cm, 欲拉過 h=8cm的障礙 物。 求：在中心作用的水平力 F的大小和碾子對障礙物的壓力。 選碾子為研究對象 取分離體畫受力圖 解： r F NA FB F 68 5 77.0)(tg 22 hr hrr 又由幾何關系： 當碾子剛離地面時 FA=0 拉力 F、 自重 P 及支反力 FB 構成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故 tg PF c o s PF B 由作用力和反作用力的關系， 碾子對障礙物的壓力等于 23.1kN。 F=11.5kN , FB=23.1kN 所以 FB FB 69 例 2 求當 F力達到多大時，球離開地面？已知 P、 R、 h 解： FB=0 時為球離開地面 研究球，受力如圖： 作力三角形 解力三角形： s i n1 FP R hR si n又 hR PRPF s i n1 FB F2 F1 F1 F2 70 時球方能離開地面當 hR hRhPF )2( 研究塊，受力如圖， 作力三角形 解力三角形： c o s1FF )2(1)(c o s 22 hRhRR hRR R hRhFF )2(1 hR PRF 1 N F3 F1 NF1 F3 71 幾何法解題步驟：選研究對象； 畫出受力圖； 作力多邊形； 求出未知數(shù)。 幾何法解題不足： 計算繁 ； 不能表達各個量之間的函數(shù)關系。 72 b g q Fxy O 力的三要素： 大小、方向、作用點 (線 ) 大?。?作用點 ： 與物體的接觸點 方向 ： 由 、 b、 g三個方向角確定 由仰角 q 與俯角 來確定。 FF 一、力在空間的表示 ： 2-2 匯交力系合成與平衡的解析法 73 1、一次投影法（直接投影法） c o s FF x 二、力在空間直角坐標軸上的投影 b c os FF y g c o s FF z g c o ss i n FF x g s i ns i n FF y gc o s FF z 2、二次投影法（間接投影法） Fx Fy Fz gs in FF yx 74 F F xc o s 22 yx FFF 3、力在平面坐標軸上的投影 Fx=Fcos Fy=Fsin A B y x Fx Fy F o 說明： （ 1） Fx的指向與 x 軸一致，為正，否則為負； （ 2）力在坐標軸上的投影為標量。 75 若以 表示力沿直角 坐標軸的正交分量，則： 321 , FFF 321 FFFF 222 zyx FFFF F F F F F F zyx gb c o s,c o s,c o s kFFjFFiFF zyx 111 , 而： kFjFiFF zyx 所以： F1 F2 F3 三、力的解析表達式 ： 76 四 、合力投影定理 由圖可看出，各分力在 x 軸和在 y軸投影的和分別為： xxxxxRx FFFFFF 4321 yyyyyRy FFFFFF 4321 yRy FF xRx FF 合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。 1F 2F 3F 4F RF FRx F2x F1x F3x F4x x y o 77 RF 合力的大小： Rx Ry F Fqtg x y Rx Ry F F F F 11 t ant anq 為該力系的匯交點 方向： 作用點： 五、匯交力系合成的解析法 x y yRy FF xRx FF q 1、平面匯交力系 2222R Rx Ry x yF F F F F 78 即：合力等于各分力的矢量和。 inR FFFFFF 321 2、空間匯交力系的合成 ： kFjFiFF ziyixii kFjFiFF ziyixiR xiF 為合力在 x軸的投影 222222 )()()(: zyxRzRyRxR FFFFFFF合力 R Rz R Ry R Rx F F F F F F gb c o s,c o s,c o s xiRx FF yiRy FF ziRz FF 79 六、匯交力系平衡的解析法 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。 0 0 yRy xRx FF FF 平面匯交力系平衡的解析條件 平面匯交力系的平衡方程。 說明： 兩個方程可求解兩個未知量； 投影軸可任意選擇。 解題步驟： 選擇研究對象 畫出研究對象的受力圖（取分離體） 列平衡方程（選投影軸） 1、平面匯交力系的平衡 0RF 22 0R x R yFF 80 2、空間匯交力系的平衡： 空間匯交力系平衡的充要條件是： 力系的合力為零， 即： 0)()()( 222222 zyxRzRyRxR FFFFFFF 0 0 0 zRz yRy xRx FF FF FF 空間匯交力系的平衡方程 說明：空間匯交力系只有 三個獨立平衡方程，只能求解三 個未知量。 上式中三個投影軸可以任取，只要不共面、其中任 何兩軸不相互平行。 81 解：研究 C 0 xF 0 yF 0c o sc o s ACBC FF 0s i ns i n PFF BCAC 例 3 已知 AC=BC= l , h , P . 求 : FAC , FBC 畫出受力圖 列平衡方程 A B C h P ACBC FF h PlPFF BCAC 2s i n2 P x y F AC FBC h 82 A B C h P h PlPFF BCAC 2s i n2 P x y F AC FBC 83 解：研究 AB桿 畫出受力圖 列平衡方程 0 xF 0 yF 045c o sc o s 0 CDA FF 045s i ns i n 0 CDA FFP 例 4 已知 P=2kN 求 FCD , FA FA FCD 84 解平衡方程 由 EB=BC=0.4m， 95.0c os AEAB 解得： kN 24.445 c o sc o s 0 ACD FF kN 16.3s in c o s PF A 045c o sc o s 0 CDA FF 045s i ns i n 0 CDA FFP FA FCD 32.0s in AEBE mAE 2649.16.1 85 例 5 已知如圖 P、 Q， 求平衡時 =？ 地面的反力 FD=？ 解：研究球： 060 2 1 2c o s 2 1 P P F F T T 0 xF 0c o s 12 TT FF 0 yF 0Qs i n2 DT FF PP- FF TD 3Q60s i n2Q s i n-Q 0 2 FD FT1 FT2 86 例 6 已知： AB=3m, AE=AF=4m, Q=20kN; 求 ： 繩 BE、 BF的拉力和桿 AB的內力 0yF 由 C點： 解：分別研究 C點和 B點 ,s ins in 045151 QT )kN(6.541 T 5 3 s i n 5 4 43 4 c o s 22 q q 87 由 B點： 045 45 0 32 c o sc o sc o sc o s, qq TTF x )kN( 0.23 , )kN( 9.41 232 NTT 045 45 60 0 321 c o sc o sc o sc o ss i n, qq TTTF y 0 60 0 3212 qq s i ns i nc o s, TTTNF z 88 0 xF 以 A 為研究對象 例 7 2-9 解： 045c o s45c o s oABoAC FF 60o 45o 45o x y z A F F AB FAD FAC ABAC FF 0 yF 060c o s oADFF kNF AD 2.1 0 zF 060s i n45s i n45s i n oADoABoAC FFF kNFF ABAC 735.0 89 1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用 幾 何法（解力三角形）比較簡便。 解題技巧及說明： 3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個 未知數(shù)。 2、一般對于受多個力作用的物體，用解析法。 5、解析法解題時，力的方向可以任意設，如果求出負值，說 明力方向與假設相反。對于二力構件，一般先設為拉力， 如果求出負值，說明物體受壓力。 4、對力的方向判定不準的，一般用解析法。 90 2-6 2-8 2-10 91 92 F F 力偶 ：大小相等、方向相反且作用線不重合的兩個力組成 的力系叫力偶。 用 （ F， F）表示 d 力偶的作 用面 力偶臂 力偶系 ：作用在剛體上的一群力偶。 力偶的作用效應 ：使剛體轉動（由兩個力共同作用引起）。 移動效應 -取決于力的大小、方向； 轉動效應 -取決于力矩的大小、方向。 力的作用效應 ： 93 31 力對點之矩 32 力對軸之矩 33 力偶矩矢 34 力偶的等效條件和性質 35 力偶系的合成與平衡 第三章 力偶系 94 31 力對點之矩 一、平面中力對點的矩 O F A B h 力臂 矩心 FhFM O )( 平面內力對點之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關，且與矩心位置有關。 當 F=0 或 h=0 時， =0。 )(FM O 說明： 力對點之矩不因力的作用線移動而改變。 互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零。 ABOO SFM 2)( 95 31 力對點之矩 二、力對點的矩矢 O F A B h FrFM O )( ABOO SFhFM 2)( )(FM O r 力對點之矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢 量積。 力對點之矩矢是過矩心 O的定位矢量。 力對點之矩矢服從矢量的合成法則。 力 F對剛體產(chǎn)生繞 O點轉動效應取決于： 轉動效應的強度 轉動軸的方位（力 F與矩心 O所在平面法向） 使剛體繞轉動軸轉動的方向 96 31 力對點之矩 二、力對點的矩矢 FrFM O )( kFjFiFF zyx kzjyixr zyx O FFF zyx kji FrFM )( kyFxFjxFzFizFyF xyzxyz )()()( x x y y z z F A Fxi Fyj Fzk O xyzOzxyOyzxO yFxFFMxFzFFMzFyFFM )(,)(,)( r 97 31 力對點之矩 三、合力矩定理 定理 ： 合力對任一點之矩矢，等于所有各分力對同一點之 矩矢的矢量和（平面力系內為代數(shù)和）。 已知：力系（ F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成為一個合力 FR iR FF 則： )()( iORO FMFM 平面力系： )()( iORO FMFM 98 F Fx Fy O x y x y )()()( yOxOO FMFMFM xy yFxF nR FFFF 21 n i xiiyiiRO FyFxFM 1 )()( jFiFF yxi 平面內力矩的解析表達式 99 解 ：用力對點的矩法 例 1 已知：如圖 F、 Q、 l, 求： 和 )(FM O )(QM O s in)( lFdFFM O lQQM O )( c o t)( lFlFFM yxO lQQM o )( 應用合力矩定理 c o tc o ss i n)( lFlFFM O s in)( FlFM O 100 解 ： 例 2 已知：如圖 F、 R、 r, , 求： )(FM A )()()( yAxAA FMFMFM 應用合力矩定理 R F r Fx Fy s i n)c o s()( rFrRFFM yxA s i ns i n)c o s(c o s)( rFrRFFM A FrRFFM A c o s)( 101 解 ： 例 3 已知：如圖 q、 l, 求：合力的大小和作用線位置。 xqdxQxQM l CA 0 )( xC l A B q Q=ql C x dx qdx 2 2ql q l x C 2 lx C 102 解 ： 例 4 已知：如圖 q、 l, 求：合力的大小和作用線位置。 l dxqQ 0 xC l A B q Q C x dx qdx 32 2 0 2 qldxx l qxql l C 3 2 lx C xdxqQxQM l CA 0 )( l xdxlq 0 2 qlQ 103 3-2 力對軸之矩 一、力對軸之矩的概念與計算 104 定義： )()( xyOz FMFM 力對軸之矩是代數(shù)量。 符號規(guī)定：右手法則。 力對平行它的軸之矩為零。 當力通過軸時，力對軸之矩為零。 即力 F與軸共面時，力對軸之矩為零。 2 )( BOA xyz S dFFM 105 力對軸之矩是力使剛體繞該軸轉動效應的度量，是代數(shù) 量，其大小等于在垂直于轉軸的平面內的分量的大小和它與 轉軸間垂直距離的乘積，其正負號按右手規(guī)則確定。 106 故： )(c o s)( FMFM zO g )()( FMFM zzO 二、力對點之矩與力對通過該點的軸之矩的關系 A O BO SFM 2)(:由于 2)()( BOAxyOz SFMFM 通過 O點作任一軸 z，則： c o s BOAO A B SS g 由幾何關系： )()( FMFM zzO )()( FMFM xxO )()( FMFM yyO )(FMO )(FMz 107 定理： 力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該 軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。 )( )(c o s, )( )(c o s, )( )(c o s FM FM FM FM FM FM O z O y O x gb 222 )()()()( FMFMFMFM zyxO kFMjFMiFMFM zOyOxOO )()()()( kFMjFMiFM zyx )()()( 又由于 所以力對點 O的矩為： 108 )()()()()( iznzzzRz FMFMFMFMFM 21 即：空間力系的合力對某一軸的矩，等于力系中所 有各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。 三、 合力矩定理 109 例 4 已知： P=2000N, C點在 Oxy平面內。 求：力 P 對三個坐標軸的矩。 45s inPP z 解： 45c osPP xy 60s i n45c o sPP x 60c os45c osPP y )()()()( zzyzxzz PMPMPMPM 60c o s45c o s560s i n45c o s6 PP xP 6 0)5( yP )mN(2.38 110 zzxyxxxx PPMPMPMPM 600 )()()()( )()()()( zyyyxyy PMPMPMPM zP500 45s in5 P )mN(7.70 )mN(8.8445s i n6 P 111 33 力偶矩矢 一、力偶效應的度量 x y z O A F B F 設在剛體上作用有力偶（ F， F ）， 現(xiàn)研究它對 O點的轉動效應。 力偶（ F， F ）對 O點的轉動效應可 用一矩矢 M 來度量。 )()( FMFMM OO FOBOA FOBFOA FOBFOAM FBAM M 力偶矩矢 力偶矩矢 M 與 O點位置 無關， 是自由矢量。 力偶矩矢由其模、方位 和指向確定。 112 33 力偶矩矢 二、力偶矩矢的確定 x y z O A F B F FBAM M 力偶矩矢 d 力偶矩矢的模（大?。?FdFBAM 力偶矩矢的方位： 沿力偶作用面的法向（表示力偶作用面的方位） 力偶矩矢的指向： 按右手法則確定（表示力偶的轉向） 力偶矩矢的三要素：力偶矩的大小、作用面的方位和轉向。 113 三、平面力偶（代數(shù)量） F F d 力偶的作 用面 力偶臂 力偶矩： m= Fd + 四、空間力偶（矢量） x y zM M i M j M k 114 34 力偶的等效條件和性質 一、力偶的等效條件 x y z O A F B F M 力偶矩矢 d 性質 1： 力偶無合力，本身又不平衡，是一個基本力學量。 力偶只能和力偶平衡，而不能和一個力平衡。 兩個力偶等效 力偶矩矢相等 二、力偶的性質 115 二、力偶的性質 性質 2： 力偶中兩個力在任意坐標軸上投影之代數(shù)和為零。 性質 3： 力偶中兩力對任一點取矩之和恒等于力偶矩，而與 矩心的位置無關。 性質 4： 力偶可以在其作用面內任意移動或轉動，或移到另 一平行平面，而不影響它對剛體的作用效應。 F F M F F M F F M 116 6N 6N 4m 8N 8N 3m 3N 3N 8m 24Nm 24Nm 性質 5： 只要保持力偶矩大小和轉向不變，可以任意改變力 偶中力的大小和相應力偶臂的長短，而不改變它對 剛體的作用效應。 117 21 MM 、 21 MMM 合力偶矩矢 3-5 力偶系的合成與平衡 設有兩個力偶 由于力偶矩矢是自由矢量，可任意平行移動，故可將其 按照矢量合成的方法進行合成。 21 MM A B 21 MM A B M 一、力偶系的合成 118 n i inR MMMMM 1 21 合力偶矩矢： 對于 n 個 力偶組成的力偶系： 對于 n 個 力偶組成的平面力偶系： n i iR MM 1 合力偶矩： 平面力偶系合成結果是一個合力偶 ,其力偶矩為各力偶 矩的代數(shù)和 。 一、力偶系的合成 119 力偶系平衡的充要條件是 : 合力偶矩矢等于零，即所有各力偶矩矢的矢量和等于零。 即 0 1 n i iM 平面力偶系平衡的充要條件是 : 合力偶矩等于零，即所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。 0 1 n i iR MM 0 0 0 z y x M M M 力偶系的平衡方程 二、力偶系的平衡 120 例 5 在一鉆床上水平放置工件 ,在工件上同時鉆四個等直徑 的孔 ,每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和 A 、 B端水平反力 ? mN154321 mmmm 4321 mmmmM 解 : 各力偶的合力偶距為 mN60)15(4 n i iMM 1 121 02.0 4321 mmmmN B N3002.060 BN N 300 BA NN 根據(jù)平面力偶系平衡方程有 : 由力偶只能與力偶平衡的性 質，力 NA與力 NB組成一力偶。 0 1 n i iM 122 例 6 已知： M1 1kNm， l 1m， 求平衡時 M2 ? 01 MlF E 解 : kNlMF E 11 0 1 n i iM AB: CD: 0 1 n i iM 02 MlF E k N mlFM E 12 B C l A D 45o E M1 M2 FE FA FC FE M2 E C l E A B M1 123 x y 例 7 已知： M1 3m/2， M2 m/2， CD=l ， 求： AB、 AC 桿所受力。 021 MMlF C c o s 解 : c osl mF C 0 1 n i iM CD: C: 0yF 0 BCC FF c o s lmFBC F AC FC C B C D M1 M2 A M1 M2 D C FD FC FBC 0 xF 0 ACC FF s in ta nlmF AC 124 3 2 3 5 3 8 125 126 第四章 平面任意力系 平面任意力系： 各力的作用線在同一平面內，既不匯交為一點 又不相互平行的力系叫平面任意力系 。 平面任意力系 F1 F2 F3 F4 Fn 平面力偶系 平面匯交力系 合成 平衡 合成 平衡 FR=Fi M=Mi Mi =0 Fx=0 Fy =0 力線平移定理 例 F Ay FAx F FN 127 第四章 平面任意力系 41 力線平移定理 42 平面任意力系的簡化 43 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 44 平面平行力系的平衡方程 45 靜定與靜不定問題 物體系統(tǒng)的平衡 128 4-1 力線平移定理 力線平移定理 ： F 證 ）F，F(xiàn)（F 偶 力 力F力 F,F,F 力系 但必須同時附加一個力偶。這個力偶的力偶矩等于原來的力 F作用在剛體上點 A的力 ， 可以平行移到剛體上任一點 B， 對新作用點 B的矩。 M M 129 力平移的條件是附加一個力偶 M，且 M與 d有關， M=Fd 力線平移定理揭示了力與力偶的關系： 力 力 +力偶 力線平移定理的逆定理成立。 力 力 +力偶 力線平移定理是力系簡化的理論基礎。 力線平移定理可將平面任意力系轉化為平面匯交力系和平面 力偶系進行研究。 說明 ： 130 力系的主矢： 力系中各力的矢量和 。 的主矢為：力系 , 321 nFFFF xiRx FF yiRy FF ziRz FF 222 RzRyRxR FFFF 1F 2F 3F nF 1F 2F 3F nF RF iR FF kFjFiFF ziyixii 222 )()()( ziyixi FFF R zi R yi R xi F F F F F F gb c o s,c o s,c o s n i inR FFFFFF 1 321 131 222222 ziyixiO MMMMMMM ozoyox 力系的主矩： 力系中各力對任一點取矩的矢量和。 nFFFF , 321力系 中各力的作用點分別為： P1， P2， ， Pn， 選定矩心 O點，各力作用點對于矩心的矢 徑分別為： r1， r2， ， rn 。則該力系對 O點的主矩為： OiiOiiO MFMFrM xixOixiiOx MMFrM yiOy MM ziOz MM 132 力系等效定理： 兩個力系相互等效的充分與必要條件是主矢量相等，對任 一點的主矩相等。 適用范圍：剛體。 應用：力系的簡化。 零力系 ：力系的主矢量和對任一點的主矩均等于零。 133 4-2 平面任意力系向一點簡化 平面任意力系 （未知力系） 平面力偶系 （已知力系） 平面匯交力系： （已知力系） 力（主矢量）： 力偶（主矩）： FR=F Mo=M 向任一點 O簡化 (作用在簡化中心 ) (作用在該平面上 ) FR M1 M2 M3 134 主矢 RF iFFFFF 321R :主矢 321 MMMM O主矩： 2222 )()( yxRyRxR FFFFF x y Rx Ry F F F F 11 t ant an（移動效應） 大小 ： 方向 ： 簡化中心 (與簡化中心位置無關 ) 因主矢等于各力的矢量和 )()()( iOOO FMFMFM 21 一般情況： 135 主矩 MO )( iOO FMM （ 轉動效應 ） 固定端（插入端）約束 雨 搭 車 刀 大小 ： 方向 ： 方向規(guī)定 + 簡化中心 ： (與簡化中心有關 ) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和） 136 FRA 固定端（插入端）約束的約束反力： 認為 Fi這群力在同一平面內 ; FAx FAy FAx, FAy 限制物體平動 , MA為限制轉動。 FAx, FAy, MA為固定端約束反力 ; FRA方向不定可用正交 分力 FAx, FAy表示 ; 將 Fi向 A點簡化得一力和一力偶 ; 137 簡化結果分析 合力矩定理 簡化結果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分別討論 。 RF =0， MO =0，則力系平衡 ,下節(jié)專門討論。 RF =0, MO 0， 即簡化結果為一合力偶 , M=MO 此時 剛體等效于只有一個力偶的作用 ， （ 因為力偶可以在剛 體平面內任意移動 ， 故這時 ， 主矩與簡化中心 O無關 。 ） RF 0, MO =0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時， 簡化結果就是合力（這個力系的合力） , 。 （此時 與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零） RR FF RF 138 RF RF RF R O F Md 合力的大小等于原力系的主矢 合力的作用線位置 平面任意力系的簡化結果 ：合力偶 MO ； 合力 RF 結論 ： 0, MO 0, 為最任意的情況。此種情況還 可以繼續(xù) 簡化為一個合力 。 RF RF RF FFF RR RF dFM FFF R RRR 0 139 dFM FFF R RRR 0RF RF RF RF RF )( n i iOO FMM 1 )()( 主矩ORRO MdFFM )()( n i iORO FMFM 1 合力矩定理： 平面任意力系的合力對作用面內任一點之矩等于 力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。 合力矩定理 ： 由于主矩 而合力對 O點的矩 合力矩定理 由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義 140 4-3 平面任意力系的平衡條件與平衡方程 平面任意力系平衡的充要條件為 ： 0)()( 22 yxR FFF 0 )( iOO FMM =0， MO =0，力系平衡 RF 0 xF 0 yF 0 )( iO FM 平面任意力系 的平衡方程 =0 為力平衡 MO =0 為力偶也平衡 R F 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零 RF 141 例 1 已知： q=4kN/m, F=5kN , l=3m ,=25o , 求： A點的支座反力？ 解 ：（ 1） 選 AB梁為研究對象。 0 )( iA FM 02c o s AMlqllF 0 xF 0s in FF Ax 0 yF 0c os qlFF Ay （ 2）畫受力圖 （ 3） 列平衡方程，求未知量。 q F l A B MA FAx FAy K N mqlFlM A 6.312c o s 2 kNFF Ax 1.2s in kNqlFF Ay 5.16c o s 142 例 2 已知： Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求： BC桿拉力和鉸 A處的支座反力？ 解 ：（ 1） 選 AB梁為研究對象。 （ 2）畫受力圖 FAx FAy FBC A Q l B P a l/2 Q l A B P a l/2 C 143 例 2 已知： Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求： BC桿拉力和鉸 A處 的支座反力？ 0 )( iA FM 02s i n QalPlF BC 0 xF 0c o s BCAx FF 0 yF 0s i n QPFF BCAy （ 3） 列平衡方程，求未知量。 kNlQaPlF BC 2.13)s i n/()2/( kNFF BCAx 4.11c o s kNFQPF BCAy 1.2s in Q l A B FAx FAy FBC P a l/2 144 例 2 已知： Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求： BC桿拉力和鉸 A處 的支座反力？ 0 )( iA FM 02s i n QalPlF BC 0 xF 0c o s BCAx FF 0)(2 alQlPlF Ay （ 3） 列平衡方程，求未知量。 KNF BC 2.13 kNF Ax 4.11 kNF Ay 1.20 )( iB FM Q l A B FAx FAy FBC P a l/2 145 0 )( iA FM 02s i n QalPlF BC 02 QalPtglF Ax 0)(2 alQlPlF Ay （ 3） 列平衡方程，求未知量。 KNF BC 2.13 kNF Ax 4.11 kNF Ay 1.2 0 )( iB FM 0 )( iC FM Q l A B FAx FAy FBC P a l/2 C 146 0 xF 0 )( iA FM 0 )( iB FM 二矩式 條件： x 軸不 垂直 于 AB連線 0 )( iA FM 0 )( iB FM 0 )( iC FM 三矩式 條件： A,B,C不在 同一直線上 只有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。 投影軸和矩心是任意選取的，一般先取矩。 矩心選 擇在多個未知力的交點上；投影軸盡量與未知力垂 直或平行。 0 xF 0 yF 0 )( iO FM 基本式（一矩式） 平面任意力系的平衡方程 : 147 例 3 已知： q， a , P=qa, M=Pa， 求： A、 B兩點的支座反力？ 解： 選 AB梁為研究對象。 0 )( iA FM 0322 aFMaaqaP B 0 xF 0AxF 0 yF 34 ,02 qaFqaPFF AyAyB 畫受力圖 列平衡方程，求未知量。 FAx FAy FB q 2a a M P A B B A 3 5 qaF B q M P 148 FF R主矢 iiiOO xFFMM )( 主矩 F xF F Mx ii R O R 平衡的充要條件為： 主矢 FR =0 主矩 MO =0 4-4 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系 :各力的作用線在同一平面內且相互平行的力系。 設有 F1, F2 Fn 為一平行力系， 向 O點簡化得： 合力作用線的位置為： F1 F2 Fn x1 x2 xn o y Mo FR xR FR 149 平面平行力系的平衡方程為： 0 )( iA FM 0 )( iB FM 二矩式 條件： AB連線不能平行 于力的作用線 0 yF 0 )( iO FM 一矩式 平面平行力系中各力在 x 軸上 的投影恒等于零，即： 0 xF F1 F2 Fn x1 x2 xn o y Mo FR xR FR 平面平行力系只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知數(shù)。 150 ;)( 0 FM A 0 yF 0 PqaFF BA PaMqaF B 22 BA FqaPF 例 4 已知： P=20kN, M=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求： A、 B的支反力。 解：研究 AB梁 022 aPMaaqaF B 2028.0162 8.020 )kN(12 )kN(24 128.02020 q a a M P A B a FB FA 151 例 5 已知：塔式起重機 P=700kN, W=200kN (最大起重 量 )，尺寸如圖。 求：保證滿載和空載時不致 翻倒，平衡塊 Q=？ 當 Q=180kN時，求滿載 時軌道 A、 B給起重機輪子的反 力？ 分析： Q過大，空載時有向左傾翻的趨勢。 Q過小，滿載時有向右傾翻的趨勢。 A B 152 0)( FM B 0)22()212(2)26( AFWPQ 0AF kN 75Q 限制條件 ： 解： 首先考慮滿載時，起 重機不向右翻倒的最小 Q為： 空載時， W=0 由 0)( Fm A 0)22(2)26( BFPQ 限制條件為： 0 BF 解得： kN 350Q 因此保證空、滿載均不倒 Q應滿足如下關系 ： kN 3 5 0kN 75 Q 當 W=400kN時， Q的范圍？ 解得： kN 3 5 0kN 3 2 5 Q FA FB 153 04)212(2)26( BFWPQ 0)( FM A ,0 yF 0 BA FFWPQ kN 870 ,kN 210 B A F F 求當 Q=180kN，滿載 W=200kN時， FA ,FB為多少？ 解得： 由平面平行力系的平衡方程可得： FA FB 154 4-5 靜定與靜不定問題 物體系統(tǒng)的平衡 一、靜定與靜不定問題的概念 0 0 y x F F平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。 0iM平面力偶系 一個獨立方程，只能求一個獨立未知數(shù)。 平面平行力系 兩個獨立方程，只能求兩個獨立未知數(shù)。 00ioy FMF 平面任意力系 三個獨立方程，只能求三個獨立未知數(shù)。 0 0 0 FM F F o x x 155 獨立方程數(shù)目 未知數(shù)數(shù)目時，是靜不定問題（超靜定問題） 靜定（未知數(shù)三個） 獨立方程數(shù)目 未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題（可求解） 靜不定（未知數(shù)四個） 靜不定問題在材料力學 ,結構力學 ,彈性力學中 用變形協(xié)調條件來求解 。 FAx FAy FBy FBx FAx FAy FB 156 例 二、物體系統(tǒng)的平衡問題 外力 ：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。 內力 ：系統(tǒng)內部各物體之間的相互作用力叫內力。 物體系統(tǒng)（ 物系 ）： 由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng) 。 157 物系平衡問題的特點： 物體系統(tǒng)平衡，物系中每個單體也是平衡的。 每個單體可列 3個（平面任意力系）平衡方程，整個系統(tǒng) 可列 3n個方程（設物系中有 n個物體）。 整體 解物系問題的一般方法： 機構問題： 個體 個體 個體 各個擊破” 結構問題： 有固定端： 無固定端： 個體 個體（整體） 個體 （不帶固定端） 個體 （組合體） 個體（整體） （帶固定端） 158 解題步驟 選 研究對象 畫 受力圖（受力分析） 選坐標、取矩點、 列 平衡方程。 解 方程求出未知數(shù) 坐標軸最好選在與未知力垂直或平行的投影軸上； 矩心最好選在未知力的交叉點上； 注意判斷二力桿；運用合力矩定理等。 先取矩，后投影，列一個平衡方程求一個未知力。 解題技巧 解題步驟與技巧： 159 例 1 已知： OA=R, AB= l , 當 OA水平時，沖壓力為 P時， 求： M=？ O點的約束反力？ AB桿內力？ 沖頭給導軌的側壓力？ 0 xF 0s i n BN FF 0 yF 0c o s BFP c o s PF B 解 ： 以 B為研究對象： nt aPF N FB FN 160 0 )( FM O 0c o s MRF A 0 xF 0s i n Aox FF 0 yF 0c os oyA FF PRM PF oy t a n PF ox 負號表示力的方向與圖中所設方向相反 再以輪 O為研究對象： FB FN FA Fox Foy 161 q 例 2 已知： M=10KNm, q= 2KN/m , 求： A、 C 處的反力。 0 xF 01 qFF CBy0 yF 0212 2 qF C 解 ： 以 BC為研究對象： KNF C 5.0 q 1m A B 1m 1m 1m C M C B FBx FBy F C 0 )( FM B 0BxF KNF By 5.1 162 例 2 已知： M=10kNm, q= 2kN/m , 求： A、 C 處的反力。 0 xF 01 qFF ByAy0 yF 05112 ABy MMqF . 以 AB為研究對象： k N mM A 4 MA FAx FAy q 1m A B 1m 1m 1m C M q C B FBx FBy F C 0 )( FM A 0 BxAx FF kNF Ay 5.3 B A FBx FBy q M 163 例 3 已知： M=40KNm,P=100KN, q= 50KN/m , 求： A處的反力。 025.13 PF B 以 BC為研究對象： kNF B 7.70250 0 )( FM C FCx FCy FB 解 ： q 1.5m A B C M 2m D E 1m 3m P 1.5m B E P C 164 q 1.5m A B C M 2m D E 1m 3m P 1.5m 以整體為研究對象： FAx FAy MA FB 0 xF 0 )( FM A 0445c o s qPF oAx 04551455385 ooBA PPMqFM c o s.s i n. K N mM A 9.227 045s i n oByAy PFF0 yF 0AyF KNF Ax 3.129 165 例 4 已知： P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求： A、 B 處的反力 及 BC桿對鉸 C的約束力 。 以整體為研究對象： 解 ： 0)( Fm B 0s i n62 33 221 AFmqPP kNF A 2.2 6 0 4 0 xF kNFPF ABx 5.5 6 2c o s1 03s i n 2 qPFF ABy 0 yF 3m 3m 4m A C B P1 1m P2 q m FBx FBy FA kNF By 7.29 166 例 4 已知： P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求： A、 B 處的反力 及 BC桿對鉸 C的約束力 。 以 C為研究對象： 解 ： kNFF AC 2.2604 0 xF kNFF CCx 5.1 5 6 2c o s 0s i n 2 PFF CCy 0 yF 3m 3m 4m A C B P1 1m P2 q m FCx FCy FC kNF Cy 36.83 P2 C 167 1m 1m 2m P A C B D 例 5 已知： P=2kN, B、 D兩輪半徑均為 R= 0.3m , 求： A、 C 處的反力。 以整體為研究對象： 解 ： FAx FAy FCx FCy 0)( Fm A 03.22 PF Cx kNFCx 3.2 0 xF kNFF CxAx 3.2 ( 1) 0 PFF CyAy0 yF 168 以 BC為研究對象： FCx FCy 0)( Fm B 03.122 ECCx FyFF PFE kNFCy 1 ( 1) 0 PFF CyAy 03.122 PFF CyCx kNFAy 1 1m 1m 2m P A C B D E FE C E B F Bx FBy 169 例 6 已知： m=30kNm,P=10kN, q= 5kN/m