有 限 元 分 析 第 1 章 緒 論1.1 計 算 機 輔 助 工 程 （ CAE） 概 述1.2 有 限 元 法 （ FEM） 的 發(fā) 展 與 現 狀1.3 有 限 元 法 的 基 本 思 想 什 么 是 計 算 機 輔 助 工 程 （ CAE） CAE=在 產 品 的 研 發(fā) 過 程中 ， 利 用 計 算 機 進 行 建模 及 性 能 仿 真 分 析 性 能 仿 真 的 內 容 涉 及 產品 （ 或 系 統 ） 的 力 學 性能 （ 變 形 ， 應 力 ） 、 熱學 性 能 、 流 動 性 能 、 振動 特 性 和 噪 聲 控 制 等 可 替 代 大 多 數 昂 貴 而 費時 的 物 理 樣 機 實 驗 ， 即用 數 字 化 樣 機 取 代 傳 統的 物 理 樣 機 實 驗 廣 泛 應 用 于 各 工 業(yè) 領 域1.1 計 算 機 輔 助 工 程 （ CAE） 概 述 為 什 么 要 采 用 CAE 波 音 7 7 7 的 研 發(fā) 過 程 中 采 用 CAE數 字 化 樣 機 技 術 ， 節(jié) 省 了 大 量 物 理 樣 機 試 飛 次 數 ， 僅 一次 試 飛 即 獲 得 成 功 ， 每 次 物 理 樣 機 實 驗 需 花 費 1 億 美 元 CAE技 術 在 汽 車 工 業(yè) 中 的 應 用 ， 使 新 車 開 發(fā) 周 期 由 原 來 的 5 6 年 縮 減 到 現 在 的 1 2 年 在 機 械 工 程 中 的 應 用齒 輪 在 土 木 工 程 中 的 應 用 在 航 空 工 程 中 的 應 用 在 電 子 工 程 中 的 應 用 在 生 物 工 程 中 的 應 用 CAE方 法 體 系機 械 系 統 物 理 模 型 ：結 構 模 型 ， 機 構 模 型數 學 模 型 ：偏 微 分 方 程 ， 常 微 分 方 程 數 學 模 型 ：物 體 運 動 ： 常 微 分 方 程 ， 鉸 約 束 ： 代 數 方 程解 析 法 ： 材 料 力 學 ，彈 性 力 學 等 數 值 法 解 析 法 ： 理 論 力 學 ，機 械 原 理 等 數 值 法 有 限 差 分 法FDM 有 限 元 法FEM 邊 界 元 法BEM 有 限 體 積 法FVM 無 網 格 法Meshfree 多 體 動 力 學或 虛 擬 樣 機結 構 模 型 機 構 模 型 CAE方 法 體 系 數 值 分 析 工 具 箱“如 果 僅 有 一 把 錘 子 ， 解 決 問 題 的 方 法 只 能 是 用 釘 子 ” 有 限 元 法 ： CAE的 最 主 要 方 法 ， 求 解 問 題 包 羅 萬 象 ， 幾 乎涵 蓋 各 個 學 科 及 各 個 工 程 領 域 。 技 術 最 成 熟 ， 商 業(yè) 軟 件 十分 豐 富 。 如 ANSYS,NASTRAN,MAC,LS-DYNA,ABAQUS,ADINA 與 CAE相 關 的 課 程 材 料 力 學 ， 結 構 力 學 ， 彈 性 力 學 ， 流 體 力 學 ， 熱 力 學 等 理 論 力 學 ， 機 械 原 理 ， 機 械 振 動 計 算 機 三 維 造 型 （ SolidEdge, Pro/E, Solid Work, UG等 軟 件的 使 用 ） 有 限 元 分 析 （ FEM） (有 限 元 理 論 及 軟 件 的 使 用 如 ANSYS, ABAQUS, LS-DYNA) 虛 擬 樣 機 理 論 及 應 用 （ 多 體 系 統 動 力 學 理 論 及 虛 擬 樣 機軟 件 的 使 用 如 ADAMS） 無 網 格 法 理 論 及 應 用 CAE應 用 現 狀 現 有 先 進 產 品 開 發(fā) 技 術 包 括 : CAD /CAE /CAM / PLM ( Product Lifecyele Management ) CAD已 普 及 （ 要 求 每 個 工 程 師 必 須 掌 握 ） CAM /PLM（ PDM） 應 用 較 少 CAE在 發(fā) 達 國 家 及 一 些 大 公 司 中 利 用 CAE技 術 優(yōu) 化 產 品設 計 以 降 低 成 本 ， 縮 短 研 發(fā) 周 期 已 達 8 0 %9 5 % CAE 的 應 用 已 涵 蓋 機 械 工 程 的 各 個 方 面 （ 包 括 運 動 分析 ， 動 力 學 分 析 ， 強 度 及 穩(wěn) 定 性 分 析 ， 液 壓 傳 動 分 析 ，振 動 和 噪 聲 的 控 制 等 ） CAE方 面 的 專 業(yè) 人 才 短 缺 （ 包 括 發(fā) 達 國 家 ） CAE的 未 來 CAD /CAE /CAM /PLM 的 軟 件 被 廣 泛 應 用 ， 其 價 格 低 廉（ “ CAE計 算 器 ” ） 每 個 工 程 師 都 具 備 CAE的 知 識 和 能 力 大 規(guī) 模 、 多 尺 度 、 多 場 耦 合 分 析 ， 虛 擬 工 程 CAE全 球 化 （ 如 中 國 、 印 度 的 工 程 師 承 接 美 國 的 CAE項目 ） 在 線 分 析 ： 基 于 新 一 代 的 高 速 因 特 網 實 現 軟 件 共 享 ，協 同 分 析 打 好 基 礎 ， 做 好 準 備 ， 適 應 未 來 發(fā) 展 的 需 要 1 .2 有 限 元 法 的 發(fā) 展 與 現 狀 有 限 元 法 的 基 本 思 想 源 于 20世 紀 50年 代 中 期 用 于 飛 機 結 構分 析 的 “ 矩 陣 分 析 法 ” 。 有 限 元 法 （ Finite element method）的 名 稱 由 美 國 的 R.W.Clough于 1960年 首 先 提 出 。有 限 元 法 的 應 用 范 圍 :從 開 始 的 桿 、 梁 結 構 發(fā) 展 到 彈 性 力 學 平 面 問 題 、 空 間 問 題 、 板 殼 問 題 ；由 靜 力 學 平 衡 問 題 擴 展 到 動 力 問 題 、 波 動 問 題 和 穩(wěn) 定 問 題 等 ;研 究 對 象 從 彈 性 材 料 擴 展 到 黏 彈 性 、 塑 形 、 黏 塑 形 及 復 合 材 料 等 ;從 固 體 力 學 擴 展 到 流 體 力 學 、 傳 熱 學 及 連 續(xù) 介 質 力 學 各 個 領 域 。 有 限 元 法 的 理 論 也 相 當 完 善 。 科 技 人 員 將 有 限 元 理 論 、 數 值 計 算技 術 和 計 算 機 輔 助 設 計 技 術 等 相 結 合 ， 開 發(fā) 了 一 大 批 通 用 和 專 用有 限 元 軟 件 。國 際 上 大 型 通 用 有 限 元 軟 件 已 經 有 幾 百 種 ， 最 著 名 的 有 ：ANSYS、 ADINA、 MARC、 ALGOR等有 限 元 法 是 綜 合 現 代 數 學 、 力 學 理 論 、 計 算 方 法 、 計 算 機 技 術等 學 科 的 最 新 知 識 發(fā) 展 起 來 的 一 種 新 興 技 術 。 有 限 元 法 的 基 本 思 想 ：1.結 構 的 離 散 化 。 將 連 續(xù) 體 離 散 成 若 干 個單 元 ， 單 元 之 間 通 過 其 邊 界 上 的 節(jié) 點 連 接成 組 合 體 。2.單 元 分 析 。 1 .3 有 限 元 法 的 基 本 思 想有 限 元 法 基 本 采 用 位 移 法 ， 位 移 作 為 求 解 的 基 本 未 知 量 。選 擇 位 移 模 式 ： 單 元 內 任 意 點 的 位 移 隨 位 置 變 化 的 函 數， 近 似 表 達 單 元 內 的 位 移 分 布 。計 算 單 元 剛 度 矩 陣 ： 建 立 單 元 節(jié) 點 力 和 節(jié) 點 位 移 之 間 的關 系 。 運 用 幾 何 方 程 和 物 理 方 程 。計 算 單 元 等 效 節(jié) 點 力 ： 將 作 用 在 彈 性 體 上 的 各 種 力 等 效到 節(jié) 點 上 。 4.引 入 約 束 和 載 荷 條 件 ， 求 解 線 性 方 程 組 ， 得 出 節(jié) 點 位 移5.由 節(jié) 點 位 移 計 算 單 元 的 應 力 和 應 變 。3.單 元 集 成 。把 單 元 剛 度 矩 陣 集 成 起 來 ， 形 成 整 體 剛 度 矩 陣 。 2. FEM的 特 點 （ 1） 具 有 通 用 性 和 靈 活 性 。（ 2） 理 論 基 礎 簡 明 ， 物 理 概 念 清 晰 。 （ 3） 廣 泛 采 用 矩 陣 計 算 ， 最 適 合 于 計 算 機存 儲 ， 便 于 程 序 設 計 。 對 同 一 類 問 題 ， 可 以 編制 出 通 用 程 序 ， 應 用 計 算 機 進 行 計 算 。 1.4 有 限 元 法 在 機 械 工 程 中 的 應 用1.靜 力 學 分 析 。 包 括 機 械 結 構 承 受 靜 載 荷 作 用 下 的 應 力 、 應 變和 變 形 情 況 。2.模 態(tài) 分 析 。 分 析 結 構 的 固 有 頻 率 和 振 型 。3.動 力 學 分 析 。 包 括 諧 響 應 分 析 和 瞬 態(tài) 動 力 學 分 析 ， 用 于 分 析結 構 在 隨 時 間 呈 正 弦 規(guī) 律 或 任 意 規(guī) 律 變 化 是 的 載 荷 作 用 下 的 響 應 。4.熱 應 力 分 析 。 分 析 結 構 因 溫 度 分 布 不 均 而 產 生 的 熱 應 力 。6.其 他 分 析 。 例 如 ： 結 構 -流 體 耦 合 分 析 等 。5.流 體 分 析 。 課 程 內 容彈 性 力 學 的 基 本 知 識平 面 問 題 的 有 限 元 法等 參 數 單 元1 . 有 限 元 基 本 理 論2 . ANSYS上 機 實 習 王 新 榮 陳 永 波 主 編 有 限 元 法 基 礎 及ANSYS應 用 科 學 出 版 社教 材張 力 主 編 ， 有 限 元 法 基 礎 及 ANSYS程 序 應 用 基 礎 ，科 學 出 版 社劉 懷 恒 主 編 ， 結 構 及 彈 性 力 學 有 限 元 法 西 北 工 業(yè) 大 學出 版 社參 考 資 料 第 2 章 彈 性 力 學 的 基 本 知 識2 .1 彈 性 力 學 的 基 本 概 念2 .2 彈 性 力 學 的 基 本 方 程2 .3 彈 性 力 學 的 平 面 問 題 2 .1 彈 性 力 學 的 基 本 概 念有 限 元 的 基 本 理 論 是 建 立 在 彈 性 力 學 有 限 單 元 法 的 基 礎 上 ,在 經 典 彈 性 力 學 的 基 本 概 念 和 基 本 方 程 上 建 立 的 。 研 究 對 象材 料 力 學 研 究 桿 件 (如 桿 、 梁 、柱 和 軸 )的 拉 壓 、 彎 曲 、 剪 切 、 扭轉 和 組 合 變 形 等 。結 構 力 學 在 材 料 力 學 基 礎 上 研 究桿 系 結 構 (如 桁 架 、 剛 架 等 )。 彈 性 力 學 研 究 各 種 形 狀 的 彈 性 體 ， 如 桿 件 、 平 面 體 、 空 間 體 、板 殼 、 薄 壁 結 構 等 問 題 。 研 究 彈 性 體 由 于 受 外 力 、 邊 界 約 束 或 溫 度 改 變 等 原 因 而 發(fā)生 的 應 力 、 形 變 和 位 移 。 桿 系 結 構研 究 彈 性 體 的 力 學 ， 有 材 料 力 學 、 結 構 力 學 、 彈 性 力 學 。 研 究 方 法在 區(qū) 域 V內 嚴 格 考 慮 靜 力 學 、 幾 何 學 和 物 理 學 三 方 面 的 條 件 ，建 立 三 套 方 程 ;在 邊 界 s上 考 慮 受 力 或 約 束 條 件 ， 建 立 應 力 或位 移 邊 界 條 件 ;并 在 邊 界 條 件 下 求 解 上 述 方 程 ， 得 出 較 精 確的 解 答 。也 考 慮 這 幾 方 面 的 條 件 ， 但 不 是 十 分 嚴 格 的 ： 常 常 引 用 近似 的 計 算 假 設 （ 如 平 面 截 面 假 設 ） 來 簡 化 問 題 ， 并 在 許 多方 面 進 行 了 近 似 的 處 理 。因 此 材 料 力 學 建 立 的 是 近 似 理 論 ， 得 出 的 是 近 似 的 解 答 。 從 其 精 度 來 看 ， 材 力 解 法 只 能 適 用 于 桿 件 形 狀 的 結 構 。彈 力 研 究 方 法材 力 研 究 方 法 單 元 體 的 受 力 應 力 理 論 (平 衡方 程 )； 單 元 體 的 變 形 變 形 幾 何 理 論 (幾 何 方 程 ); 單 元 體 受 力 與 變 形 間 的 關 系 本構 理 論 (物 理 方 程 )。 建 立起 普 遍適 用 的理 論 與解 法 。在 受 力 物 體內 任 取 一 點（ 單 元 體 ） 為研 究 對 象 。 彈 塑 性 力 學 研 究 問 題 的 基 本 方 法 彈 性 力 學 的 基 本 假 設（ 1） 連 續(xù) 性 假 設 ： 假 定 物 質 充 滿 了 物 體 所 占 據 的 全 部 空 間 ， 不 留 下 任 何 空 隙 。 這 是 連 續(xù) 介 質 力 學 （ 包 括 彈 塑 性 力 學 ） 的 一 條 基 本 假 設 。 （ 2） 均 勻 性 假 設 ： 假 定 物 體 內 各 點 處 材 料 均 相 同 。 （ 3） 各 向 同 性 假 設 ： 假 定 物 體 內 各 點 處 各 個 方 向 上 的 物 理 性 質 相 同 。 (4)完 全 彈 性 假 設 :胡 可 定 律 （ 5） 幾 何 假 設 小 變 形 假 設 ： 變 形 產 生 的 位 移 與 物 體 的 尺寸 相 比 ,是 微 小 的 。 關 于 外 力 、 應 力 、 應 變 和 位 移 的 定 義 分 為 體 積 力 （ 體 力 ） 和 表 面 力 （ 面 力 ） 兩 類 。有 限 元 分 析 也 使 用 集 中 力 這 一 概 念 。 1.外 力 （ 定 義 ） 分 布 在 物 體 體 積 內 的 力 ， 如 重 力 、 慣 性 力 等 。 （ 表 示 ） 以 單 位 體 積 內 所 受 的 力 來 量 度 ， Px， Py， Pz（ 單 位 ） 力 長 度 -3（ 符 號 ） 坐 標 正 向 為 正 。（ 定 義 ） 分 布 于 物 體 表 面 上 的 力 ， 如 接 觸 力 ， 壓 力 容 器所 受 內 壓 等 。 （ 表 示 ） 以 單 位 面 積 所 受 的 力 來 量 度 ， q x qy qz （ 單 位 ） 力 長 度 -2 , Pa 、 MPa（ 符 號 ） 坐 標 正 向 為 正 。面 力 體 力 2 . 應 力假 想 切 開 物 體 ， 截 面 兩 邊 互相 作 用 的 力 （ 合 力 和 合 力 矩 )，稱 為 內 力 。 應 力 ： 受 力 物 體 內 某 點 某 微截 面 上 內 力 的 分 布 集 度 。 SAF lim A0 （ 量 綱 ） 力 長 度 -2 ,(表 示 ） x x面 上 沿 x向 正 應 力 ， xy x面 上 沿 y向 切 應 力 。 （ 符 號 ） 應 力 成 對 出 現 ， 坐 標 面 上 的 應力 的 方 向 以 正 面 正 向 ， 負 面 負 向 為 正 。根 據 剪 應 力 互 等 定 理 知 共 計 六 個 獨 立 的 應 力 分 量 。 Tzxyzxyzyx 應 力 列 陣一 點 的 應 力 狀 態(tài)圍 繞 一 點 p做 出 正 六 面 體六 個 面 ： 正 面 ， 負 面 物 體 形 狀 的 改 變 可 以 用 它 各 部 分 的 長 度 改 變 和 角 度 改 變 來 表 示 。 切 應 變 xy,yz ,zx 以 直 角 減 小 為 正 ,用 弧 度 表 示 。 3.應 變 正 應 變 和 切 應 變 都 是 無 因 次 的 量 Tzxyzxyzyx 應 變 列 陣正 應 變 x， y， z以 伸 長 為 正 。 在 P點 沿 x、 y、 z三 個 正 方 向 取 微 線 段 PA、 PB、 PC。 變 形 后 ，這 三 條 線 段 的 長 度 和 它 們 之 間 的 直 角 都 會 有 所 改 變 。以 通 過 一 點 的 沿 坐 標 正 向 微 分 線 段 的正 應 變 和 切 （ 剪 ） 應 變 來 表 示 。 4.位 移 剛 性 位 移 ： 反 映 物 體 整 體 位 置 的 變 動 ；變 形 位 移 ： 反 映 物 體 的 形 狀 和 尺 寸 發(fā) 生 變 化 。 研 究 物 體 在 外 力 作 用 下 的 變 形 規(guī) 律 ， 只 需 研 究 物 體內 各 點 的 相 對 位 置 變 動 情 況 ， 即 研 究 變 形 位 移 。位 移 列 陣 Twvu zuxwzw ywzvyv xvyuxu zxz yzy xyx ,一 、 幾 何 方 程 2 .2 彈 性 力 學 基 本 方 程應 變 分 量 和 位 移 分 量 的 關 系 二 、 物 理 方 程若 彈 性 體 只 有 單 向 拉 伸 或 壓 縮 時 ,根 據 材 料力 學 胡 克 定 律 : Exx / X方 向 拉 伸 時 ,y和 z方 向 必 然 伴 隨 橫 向 收 縮 ,則E xxzy / 剪 應 力 與 對 應 的 剪 應 變 之 比/GG、 E和 的 關 系 : )1(2 EG 在 三 維 情 況 下 ,由 應 變 求 應 力的 方 程 : 寫 成 矩 陣 形 式 := 簡 寫 為 : =D 其 中 :D稱 為 彈 性 矩 陣 zxzxyxzz yzyzxzyy xyxyzyxx EE EE EE )1(2),(1 )1(2),(1 )1(2),(1 由 應 力 求 應 變 的 彈 性 方 程 : 寫 成 矩 陣 形 式 := =顯 然 :=D -1 三 、 平 衡 方 程彈 性 體 中 任 一 點 滿 足 平 衡 方 程 ,在 給 定 邊 界 上 滿足 應 力 邊 界 條 件 。 由 微 分 體 的 平 衡 條 件 ， 建 立 平 衡 微 分 方 程 ；由 微 分 線 段 上 應 變 與 位 移 的 幾 何 關 系 ， 建 立 幾 何 方 程 ； 由 應 力 與 形 變 之 間 的 物 理 關 系 ,建 立 物 理 方 程 ； 在 給 定 面 力 的 邊 界 S上 ， 建 立 應 力 邊 界 條 件 ;在 給 定 約 束 的 邊 界 Su上 ， 建 立 位 移 邊 界 條 件 。 彈 力 的 研 究 方 法在 邊 界 S面 上在 邊 界 條 件 下 求 解 上 述 方 程 ， 15個 未 知 量 ， 15個 方 程 ， 得 出應 力 、 應 變 和 位 移 。在 體 積 V內 2 .3 彈 性 力 學 的 平 面 問 題彈 性 力 學 可 分 為 空 間 問 題 和 平 面 問 題 。當 彈 性 體 具 有 某 種 特 殊 形 狀 ， 并 且 承 受 的 是 某 種 特 殊 外力 時 ， 空 間 問 題 可 能 會 近 似 地 簡 化 為 平 面 問 題 。這 樣 處 理 ， 分 析 和 計 算 的 工 作 量 會 大 大 減 少 。平 面 問 題 可 分 為 平 面 應 力 問 題 和 平 面 應 變 問 題 。 一 、 平 面 應 力 問 題厚 度 遠 小 于 其 他 兩 方 向 尺 寸 的 一 等 厚 薄 平 板 。取 平 分 厚 度 的 平 面 （ 稱 為 中 面 ） 作 為 xOy坐 標 面 。設 在 板 面 上 不 受 任 何 外 力 ， 全 部 面 力 和 體 力 都 平 行 于 中 面 ， 且 沿 厚 度 不 變 。在 平 面 應 力 問 題 中 ， 雖 有 ，但 0 。Txyyx )( 0 zxyzz 二 、 平 面 應 變 問 題設 有 一 等 截 面 的 無 限 長 柱 體 ， 其 受 力 特 點 是 所 有 面 力 和 體 力 都平 行 于 橫 截 面 ， 且 沿 其 長 度 方 向 不 變 。若 其 端 部 因 受 約 束 而 在 z軸 方 向 不 能 移 動 ， 則 每 個 橫 截 面 上 各點 Z向 位 移 分 量 W均 為 零 ， 且 位 移 分 量 u與 v僅 是 坐 標 x、 y的 函 數 。 Txyyx )( 0 zxyzz 物 理 方 程 : FEM中 應 用 的 方 程 ： 幾 何 方 程 :其 中 D為 彈 性 矩 陣 ， 對 于 平 面 應 力 問 題 是 : xvyu yvxuxyyx D )1(2 2100 01-1 0-112-11 -1 ） （ ）（ED對 于 平 面 應 變 問 題 ： 將 上 式 彈 性 矩 陣 中 的 E換 成 換 成 )1( 2E)1( 00 yxyy xyxx Pxy Pyx 平 衡 方 程8個 未 知 量 ， 8個 方 程 。 第 3 章 平 面 問 題 的 有 限 元 法3 .1 結 構 的 離 散 化3 .2 三 角 形 常 應 變 單 元 的 位 移 模 式 和 形 函 數3 .5 整 體 分 析3 .6 等 效 節(jié) 點 載 荷 計 算3 .8 有 限 元 分 析 的 實 例3 .3 單 元 剛 度 矩 陣3 .4 單 元 位 移 函 數 的 選 擇 原 則3 .7 約 束 條 件 的 處 理 v 將 連 續(xù) 體 變 換 為 離 散 化 結 構 將 連 續(xù) 體 劃 分 為 有 限 多 個 、 有 限 大 小 的 單 元 ， 并 使 這 些 單 元 僅 在 節(jié) 點 處 連 結 起 來 ， 構 成 所 謂“離 散 化 結 構 ” 。 (c) 深 梁 （ 離 散 化 結 構 ）3 .1 結 構 的 離 散 化 離 散 化 要 注 意 :1.單 元 形 狀 的 選 擇 : 平 面 問 題 的 單 元 ， 按 其 幾 何特 性 可 分 為 兩 類 ：以 三 節(jié) 點 三 角 形 為 基 礎 ；以 任 意 四 邊 形 為 基 礎 。 較 高 精 度 的 三 角 形 等 參 數 單 元 ； 運 用 非 常 廣 泛 的 四 邊 形 等 參 數 單 元 。這 兩 類 都 可 以 增 加 節(jié) 點 也 構 成 一 系 列 單 元 ：首 選 三 角 形 單 元 和 等 參 數 單 元 。 2.對 稱 性 的 利 用 利 用 結 構 和 載 荷 的 對 稱 性 ： 如 結 構 和 載 荷 都 對 于 某 軸 對 稱 ，可 以 取 一 半 來 分 析 ； 若 對 于 x軸 和 y軸 都 對 稱 ， 可 以 取 四 分 之一 來 分 析 。3.單 元 的 劃 分 原 則 通 常 集 中 載 荷 的 作 用 點 、 分 布 載 荷 強 度 的 突 變 點 、 分 布 載 荷 與 自 由 邊 界 的 分 界 點 ， 支 承 點 都 應 取 為 節(jié) 點 單 元 的 形 狀 和 尺 寸 可 以 根 據 要 求 進 行 調 整 。 對 于 重 要 或 應力 變 化 急 劇 的 部 位 ， 單 元 應 劃 分 得 小 些 ； 對 于 次 要 和 應 力 變化 緩 慢 的 部 位 ， 單 元 可 劃 分 得 大 些 ； 中 間 地 帶 以 大 小 逐 漸 變化 的 單 元 來 過 渡 。單 元 的 劃 分 原 則 單 元 數 量 要 根 據 計 算 精 度 和 計 算 機 的 容 量 來 決 定 。 在 保證 精 度 的 前 提 下 ， 盡 可 能 減 少 單 元 數 量 。不 要 把 不 同 厚 度 或 不 同 材 料 的 區(qū) 域 劃 分 在 一 個 單 元 里 。 單 元 的 劃 分 原 則 根 據 誤 差 分 析 ， 應 力 及 位 移 的 誤 差 都 和 單 元 的 最 小 內 角正 弦 成 反 比 ， 所 以 單 元 的 邊 長 力 求 接 近 相 等 。 即 單 元 的 三（ 四 ） 條 邊 長 盡 量 不 要 懸 殊 太 大 。 4.節(jié) 點 的 編 號應 盡 量 使 同 一 單 元 的 節(jié) 點 編 號 相 差 小 些 ， 以 減 少 整 體剛 度 矩 陣 的 半 帶 寬 ， 節(jié) 約 計 算 機 存 儲 。上 圖 ， 節(jié) 點 順 短 邊 編 號 為 好 。 3 .2 三 角 形 常 應 變 單 元 的 位 移 模 式 和 形 函 數首 先 以 平 面 單 元 中 最 基 本 的 三 節(jié) 點 三 角 形 單 元 為 例 ， 介 紹有 限 元 法 。單 元 分 析 的 步 驟 可 表 示 如 下 ：節(jié) 點 位 移 內 部 各 點位 移 應 變 應 力 節(jié) 點 力 單 元 分 析分 為 四 步 求 出 相 鄰 各 量 之 間 的 轉 換 關 系 ,綜 合 起 來 ,得 出 由節(jié) 點 位 移 求 節(jié) 點 力 的 轉 換 關 系 : eee kF ek 單 元 剛 度 矩 陣 位 移 模 式 1.位 移 模 式 Tiiie wvu .單 元 的 若 干 個 節(jié) 點 有 基 本 未 知 量 ， 即位 移 模 式 : 單 元 內 任 一 點 的 位 移 表 達 式 ， 假 定 為 坐 標 的 簡單 函 數 。反 映 單 元 的 位 移 分 布 形 態(tài) ， 是 單 元 內 的 插 值 函 數 。在 節(jié) 點 處 等 于 該 節(jié) 點 位 移 。位 移 模 式 可 表 示 為 ： eNf N為 形 態(tài) 矩 陣 （ 形 函 數 矩 陣 ） 平 面 問 題 每 個 節(jié) 點 位 移 分 量 有 兩 個 ， 所 以 整 個 單 元 有 6個 節(jié) 點 位 移 分 量 ， 即 6個 自 由 度 。單 元 節(jié) 點 位 移 列 陣 : T mmjjii TmTjTie vuvuvu 三 角 形 單 元 有 6個 自 由 度 ， 內 部 任 一 點 的 位 移 是 由 6個 節(jié) 點位 移 分 量 完 全 確 定 的 ， 位 移 模 式 中 應 含 有 6個 待 定 系 數 ，所 以 位 移 模 式 可 取 為 ： ayxv yxu 。654 321 , 位 移 函 數 一 般 用 多 項 式 來 構 造 。位 移 模 式 : 單 元 內 任 一 點 的 位 移 表 達 式 ， 假 定 為 坐 標 的 簡 單函 數 。反 映 單 元 的 位 移 分 布 形 態(tài) 。 在 彈 性 體 內 ， 位 移 變 化 非 常 復 雜 。 有 限 元 法 將 整 個 彈 性 體分 割 成 許 多 小 單 元 ， 在 每 個 單 元 內 采 用 簡 單 的 函 數 來 近 似表 達 單 元 的 真 實 位 移 ， 將 各 單 元 連 接 起 來 ， 便 可 近 似 表 達整 個 彈 性 體 的 真 實 位 移 函 數 。這 種 化 整 為 零 、 化 繁 為 簡 的 方 法 ， 正 是 有 限 元 法 的 精 華 。 假 設 節(jié) 點 i， j， m 的 坐 標 分 別 為 (xi,yi),(xj,yj),(xm ,ym )2.形 函 數 聯 立 求 解 左 邊 3個 方 程 ， 得 ： 其 中 A為 三 角 形 單 元 的 面 積注 意 ： 為 了 使 得 出 的 面 積 值 不 為 負 值 ， 節(jié) 點 i,j,m的 次 序 必 須 是 逆 時 針 。 至 于 將 那 個 節(jié) 點 作 為 起 始 點 i則 沒 有 關 系 。 同 理 ， 求 解 右 邊 的 三 個 方 程 ， 得 到 a4， a5， a6， 解 得 ： mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv 21 mjimjimm jji xxcyybyx yxa 11,11, 式 中 ： i， j， m 輪 換 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu 21整 理 后 得 ： )m,(A21 輪 換令 jiycxbaN iiii iimmjjii iimjjii vNvNvNvNv uNuNuNuNu m其 中 Ni， Nj， Nm 是 坐 標 的 線 性 函 數 ， 反 應 了 單 元 的 位 移 形 態(tài)， 稱 為 形 （ 狀 ） 函 數 。 eekji NINININ 寫 成 矩 陣 形 式式 中 ： I 二 階 單 位 陣 ， N 形 函 數 矩 陣f 3.三 角 形 面 積 坐 標定 義 ： 在 三 角 形 內 任 一 點 P， 向 三 個角 點 （ 節(jié) 點 ） 連 線 ， 將 原 三 角 形 分 割成 三 個 子 三 角 形 ， 設 子 三 角 形 的 面 積分 別 是 ： Ai， Aj， Am， 則 ：AAL ii AAL jj AAL mm 即 面 積 坐 標 定 義 為 子 三 角 形 與 原 三 角 形 面 積 之 比 ；記 為 ： P（ Li， Lj， Lm） 。 面 積 坐 標 的 性 質 ：AAAA mji 1. 1 mji LLLLi， Lj， Lm中 只 有 兩 個 是 獨 立 的 。2.三 角 形 三 個 角 點 處)0,0,1(i )1,0,0(m)0,1,0(j3.三 條 邊 上i-j:L m=0 j-m:Li=0 m-i:Lj=0 形 心 處 ： 31 mji LLL推 論 ： 三 角 形 內 一 條 平 行 于 三 角 形 任 一 邊 的 直 線上 的 各 點 ， 具 有 相 同 的 與 該 邊 對 應 的 坐 標 值 。iii HhL 面 積 坐 標 與 直 角 坐 標 的 轉 換 ：)(2111121 ycxbayx yx yxA iiimm jji （ i,j,m )(21 ycxbaAAAL iiiii (i,j,m )因 此 ： ii NL mm NL jj NL 即 三 角 形 面 積 坐 標 就 是 三 角 形 相 應 的 形 函 數 。mm jj ii yx yx yxA 11121 所 以 ， 位 移 模 式 也 可 以 用 面 積 坐 標 表 示 為 ： iimmjjii iimjjii vLvLvLvLv uLuLuLuLu m )(21 ycxbaAAAL iiiii (i,j,m )將 面 積 坐 標 的 表 達 式 ：寫 成 矩 陣 形 式 ： yxcba cba cbaALLL mmm jjj iiimji 121求 逆 得 ： mjimji mji LLLyyy xxxyx 1111第 1行 展 開 為 面 積 坐 標 性 質 1， 第 2行 和 第 3行 展 開 即 為 局 部 的 面 積 坐 標和 整 體 直 角 坐 標 的 關 系 ： iimmjjii iimjjii yLyLyLyLv xLxLxLxLx m 例 題下 圖 為 一 平 面 應 力 的 直 角 三 角 形 單 元 ， 直 角 邊 長 均 為 a,厚 度 為 t， 彈 性 模 量 為 E,泊 松 比 =0.3,求 形 函 數 。 1.單 元 應 變 emmjjii mji mjixyyx bcbcbc ccc bbbAxvyu yvxu 000 00021 eB ),(0 021 mjibc cbAB ii iii mji BBBB應 變 矩 陣應 變 矩 陣 為 常 量 ， 單 元 內 應 變 是 常 數 3 .3 單 元 剛 度 矩 陣 ee SDBD mjimji SSSBBBDDBS 2.單 元 應 力 S稱 為 應 力 轉 換 矩 陣 )(),(2121)1(2 2 fmjibc cb cbAE ii ii ii 。 ii DBS應 用 平 面 應 力 問 題 的 彈 性 矩 陣 ： 2100 01 011 2 ED 陣 ：平 面 應 力 問 題 ， 彈 性 矩 應 變 矩 陣 為 常 量 ， 單 元 內 應 力 也 是 常 數 ， 相 鄰 單元 的 應 變 與 應 力 將 產 生 突 變 ， 但 位 移 是 連 續(xù) 的 。 )1(2 2100 01-1 0-112-11 -1 ） （ ）（ 陣 ：平 面 應 變 問 題 ， 彈 性 矩ED 能 量 轉 換 與 守 恒 定 律 ， 是 自 然 界 基 本 的 運 動 規(guī) 律 之 一 。實 功 原 理 ： 處 于 平 衡 狀 態(tài) 的 可 變 形 固 體 ， 在 受 外 力 作 用而 變 形 時 外 力 對 其 相 應 的 位 移 所 做 的 功 （ 實 功 ） ， 等 于積 蓄 在 物 體 中 的 應 變 能 （ 實 應 變 能 ） 。能 量 法 的 優(yōu) 點 ： 與 坐 標 系 的 選 擇 無 關 ， 因 而 應 用 極 為 廣 泛 。能 量 法 與 數 學 工 具 變 分 法 的 結 合 ， 導 出 虛 位 移 （ 虛 功） 原 理 ， 使 得 用 數 學 分 析 的 方 法 解 決 力 學 問 題 的 理 論 得到 發(fā) 展 而 更 趨 完 善 。3.虛 位 移 （ 功 ） 原 理 Tmmjjiie vuvuvu Tymxmyjxjyixie FFFFFFF 單 元 節(jié) 點 力 列 陣 ：單 元 節(jié) 點 虛 位 移 列 陣 ：節(jié) 點 力 在 虛 位 移 所 做 的 功 ： ymmyjjxjjyiixii FuFvFuFvFuW eTe FW 簡 寫 為 ： 4.單 元 剛 度 矩 陣 eB 單 元 虛 應 變 ：單 元 內 應 力 在 虛 應 變 上 所 做 的 功 （ 虛 應 變 能 ） ：tdxdyU xyxyyyA xx )( 其 中 ： t為 單 元 厚 度 ee SDBD 單 元 應 力 ： eTATeTA tdxdyDBBtdxdy UW 虛 功 原 理 eeeeTe kFtdxdyDBBF tdxdyDBBk Te 為 單 元 面 積A單 元 剛 度 矩 陣 ke取 決 于 單 元 的 大 小 、 方 向 和 彈 性 常 數 ， 而與 單 元 的 位 置 無 關 ， 即 不 隨 單 元 或 坐 標 軸 的 平 行 移 動 而 改變 。對 于 三 角 形 常 應 變 單 元 ： tADBBk Te 單 元 剛 度 矩 陣 為 對 稱 矩 陣 。 mmmjmi jmjjji imijiimjiTmTjTie kkk kkk kkkBBBDBBBk srsrsrsr srsrsrsrrs bbcccbbc bccbccbbAEtk 2121 2121)1(4 2 對 于 平 面 應 力 問 題 ： mjismjir ,;, 其 中例 題下 圖 為 一 平 面 應 力 的 直 角 三 角 形 單 元 ， 直角 邊 長 均 為 a,厚 度 為 t， 彈 性 模 量 為 E,泊 松比 =0.3,求 單 元 剛 度 矩 陣 。 理 論 力 學 中 質 點 、 質 點 系 （ 剛 體 ） 的 虛 位 移 原 理 ；材 料 力 學 中 桿 件 的 虛 位 移 原 理 。彈 性 力 學 中 的 虛 位 移 （ 虛 功 ） 原 理 ：在 外 力 作 用 下 處 于 平 衡 狀 態(tài) 的 變 形 體 ， 當 給 與 該 物 體 微 小位 移 時 ， 外 力 總 虛 功 在 數 值 上 等 于 變 形 體 的 總 虛 應 變 能 。虛 ： 微 小 的 、 任 意 的 、 可 能 的 ， 變 分 的 思 路實 功 是 力 在 自 己 產 生 位 移 上 所 做 的 功 ， 虛 功 是 力 在 別 的（ 人 為 的 ） 因 素 產 生 的 位 移 上 做 的 功 。 所 謂 ” 虛 “ 并 不是 虛 無 ， 而 是 可 能 、 虛 設 的 意 思 ?！疤?” 的 表 達 ： l虛 位 移 （ 虛 功 ） 原 理 ： 3 .4 單 元 位 移 函 數 的 選 擇 原 則三 角 形 常 應 變 單 元 簡 單 ， 精 度 較 差 ， 要 提 高 精 度 ：1.增 加 單 元 數 目 和 節(jié) 點 數 目 ；2.采 用 更 高 精 度 的 單 元 。FEM中 的 一 系 列 工 作 ， 都 是 以 位 移 模 式 為 基 礎 的 。 所 以 當 單 元 趨 于 很 小 時 ，即 x, y0 時 ， 為 了 使 FEM之 解 逼 近 于 真 解 ， 即 為 了 保 證 FEM收 斂 性 ,位 移 模式 應 滿 足 下 列 條 件 ： 1 . 位 移 模 式 必 須 能 反 映 單 元 的 剛 體 位 移 。單 元 位 移 包 含 兩 部 分 ： 本 單 元 的 形 變 引 起 的 位 移 ； 其 他 單 元 的 形 變 引 起的 位 移 ， 即 剛 體 位 移 。 在 位 移 函 數 中 ， 常 數 項 即 提 供 剛 體 位 移 。2 . 位 移 模 式 必 須 能 反 映 單 元 的 常 量 應 變 。單 元 應 變 包 含 兩 部 分 ： 變 量 應 變 和 常 量 應 變 。 位 移 函 數 的 一 次 項 提 供 常 量 應 變 。當 單 元 0 時 ， 單 元 中 的 位 移 和 應 變 都 趨 近 于 基 本 量 剛 體 位 移 和 常 量 位 移。 3 . 位 移 模 式 應 盡 可 能 反 映 位 移 的 連 續(xù) 性l 使 相 鄰 單 元 之 間 的 位 移 保 持 連 續(xù) ， 即 受 力 后 ， 相 鄰 單 元 在公 共 邊 界 上 ， 即 既 不 互 相 脫 離 ， 也 不 互 相 嵌 入 。使 相 鄰 單 元 在 公 共 節(jié) 點 處 具 有 相 同 的 位 移 。l使 單 元 內 部 的 位 移 保 持 連 續(xù) 。 位 移 函數 取 坐 標 的 單 值 連 續(xù) 函 數 。滿 足 條 件 1、 2的 單 元 ， 稱 為 完 備 單 元 ； 滿 足 條 件 3的 單 元 ，稱 為 協 調 單 元 。 常 采 用 “ 帕 斯 卡 三 角 形 ” 來 選 取 位 移 模 式 代 數 多 項 式 的 形 式 。 按 照 帕 斯 卡 三 角 形 選 擇 位 移 模 式 的 原 則 ：1.多 項 式 的 階 次 及 項 數 ， 由 單 元 的 節(jié) 點 數 目 和 自 由 度 數 目來 決 定 。 保 證 多 項 式 中 的 待 定 系 數 同 單 元 的 自 由 度 數 目 相一 致 ， 以 避 免 在 確 定 待 定 系 數 時 增 加 困 難 。2.當 高 次 多 項 式 只 選 取 一 部 分 項 時 ， 應 遵 循 “ 對 稱 性 ” 原則 ， 即 取 其 最 高 次 中 的 位 置 對 稱 的 相 應 項 ， 以 保 證 在 各 坐標 軸 方 向 上 具 有 相 同 的 精 度 。3.應 滿 足 完 備 性 和 協 調性 要 求 。 3節(jié) 點 三 角 形 單 元 ： yaxaav yaxaau 654 321 6節(jié) 點 三 角 形 單 元 ： 21211210987 26524321 yaxyaxayaxaav yaxyaxayaxaau 4節(jié) 點 四 邊 形 單 元 ： xyayaxaav xyayaxaau 8765 4321 3 .5 整 體 分 析 結 構 的 整 體 分 析 是 將 離 散 后 的 所 有 單 元 通 過 節(jié) 點 連接 成 原 結 構 ， 進 行 分 析 。 分 析 過 程 是 將 所 有 單 元 平 衡 方 程 組 集 成 整 體 平 衡 方程 ， 引 進 邊 界 條 件 后 求 解 整 體 節(jié) 點 位 移 向 量 。整 體 平 衡 方 程 ： F=KK為 整 體 剛 度 矩 陣 TTnTTn TTnTTn FFFF 2112 2112 設 彈 性 體 被 劃 分 為 N個 三 角 形 單 元 和 n個 節(jié) 點 ， 則 結 構 就有 2n個 自 由 度 。 K2n 2n 整 體 剛 度 矩 陣 的 組 裝 ：例 ： 求 下 面 結 構 的 整 體 剛 度 矩 陣解 ： 1） 結 構 離 散 ， 單 元 和 節(jié) 點 編 碼用 三 角 形 單 元 把 該 結 構 分 成 4個 單 元 ， 6個 節(jié) 點節(jié) 點 兩 種 編 碼 ： 一 是 節(jié) 點 總 碼 ； 二 是 節(jié) 點 局 部 碼 ， 每 個 三 角形 單 元 的 三 個 節(jié) 點 按 逆 時 針 方 向 的 順 序 各 自 編 碼 為 i， j,m。單 元 1： 節(jié) 點 號 碼 1， 2， 3單 元 2： 節(jié) 點 號 碼 2， 5， 3單 元 3： 節(jié) 點 號 碼 5， 6， 3單 元 4： 節(jié) 點 號 碼 2， 4， 5 2） 分 別 寫 出 各 個 單 元 的 分 塊 剛 度 矩 陣 ： 111 11221 11311211 333231 232111 kkk kkk kkkk 22232 22552 2232252222 3335 5352 kkk kkk kkkk單 元 1： 節(jié) 點 號 碼 1， 2， 3 單 元 2： 節(jié) 點 號 碼 2， 5， 3單 元 3： 節(jié) 點 號 碼 5， 6， 3 單 元 4： 節(jié) 點 號 碼 2， 4， 5 333 3366365 3533563553 333635 63kkk kkk kkkk 4454452 4444442 4254244224 5545kkk kkk kkkk3） 組 裝 整 體 剛 度 矩 陣利 用 單 元 分 塊 矩 陣 中 ， 各 子 塊 的 節(jié) 點和 單 元 信 息 ， 直 接 把 單 元 剛 度 的 各 元素 送 入 總 體 剛 度 矩 陣 的 相 應 行 列 上 ，并 同 總 體 剛 度 矩 陣 該 元 素 的 已 有 值 相加 。 “ 對 號 入 座 ” 組 裝 一 般 規(guī) 則 ：1)當 Krs中 r=s時 ， 該 點 被 哪 幾 個 單 元 所 共 有， 則 整 體 剛 度 矩 陣 中 的 子 矩 陣 Krs就 是 這 幾個 單 元 的 剛 度 矩 陣 中 的 子 矩 陣 Krse的 相 加 。2)當 Krs中 r s時 ， 若 rs邊 是 組 合 體 的 內 邊 ， 則整 體 剛 度 矩 陣 中 的 子 矩 陣 Krs就 是 共 用 該 邊 的 兩相 鄰 單 元 剛 度 矩 陣 中 的 子 矩 陣 Krse的 相 加 。3)當 Krs中 r和 s不 同 屬 于 任 何 單 元 時 ， 整 體 剛 度 矩 陣 中的 子 矩 陣 Krs=0 。 366365363 356455355255454353253452252 445444442 336335235333233133232132131 425225424223123422222122121 113112111 0000 000 0 0000 kkk kkkkkkkkk kkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkK 整 體 剛 度 矩 陣 的 性 質 ：1） 整 體 剛 度 矩 陣 是 對 稱 矩 陣 。2） 整 體 剛 度 矩 陣 每 一 個 元 素 的 物 理 意 義 ：3） 整 體 剛 度 矩 陣 的 主 對 角 線 上 的 元 素 總 是 正 的 。4） 整 體 剛 度 矩 陣 是 一 個 奇 異 陣 。 只 有 排 除 剛 體 位 移 后， K才 是 正 定 的 ， 其 逆 矩 陣 才 存 在 。在 F=K 中 ， 令 節(jié) 點 1在 x方 向 的 位 移 u1=1， 而 其 余節(jié) 點 位 移 均 為 0， 則 ： 1)2(1)12(41312111 2211 nnynxnyxyx KKKKKK FFFFFF 5） 整 體 剛 度 矩 陣 是 一 個 稀 疏 陣 。離 散 后 結 構 的 任 一 節(jié) 點 ， 只 和 與 它 相 連 的 元 素 發(fā) 生 聯系 ， 所 以 K存 在 大 量 的 零 元 素 ， 而 非 零 元 素 往 往 分 布 在主 對 角 線 的 附 近 。帶 形 矩 陣半 帶 寬 ： 在 半 個 斜 帶 形 區(qū) 域 內 ， 每行 具 有 的 元 素 個 數 ， 用 d表 示 。半 帶 寬 d=（ 相 鄰 節(jié) 點 碼 的 最 大 差 值 +1） 2 半 帶 存 儲 ： 利 用 帶 形 矩 陣 的 特 點 和 矩 陣 的 對 稱 性 ， 計 算機 中 可 以 只 存 儲 上 半 帶 的 元 素 。在 同 一 網 格 中 ， 如 果 采 用 不 同 的 編 碼 方 式 ， 則 相 應 的 半帶 寬 也 可 能 不 同 。應 采 取 合 理 的 節(jié) 點 編 碼 方 式 （ 使 相 鄰 節(jié) 點 碼 盡 可 能 小 ）， 以 便 得 到 最 小 的 半 帶 寬 ， 從 而 節(jié) 約 計 算 機 存 儲 容 量 。不 同 的 編 碼 方 式 ， 相 鄰節(jié) 點 的 最 大 差 值 分 別 為 4， 6， 8， 半 帶 寬 分 別 為10， 14， 18。 3 .6 等 效 節(jié) 點 載 荷 計 算根 據 有 限 元 法 的 思 想 ， 所 有 有 關 的 量 都 要 轉 換 為 節(jié) 點 的 量 。結 構 所 受 的 載 荷 也 必 須 轉 換 為 等 效 的 節(jié) 點 載 荷 。整 體 剛 度 方 程 中 的 載 荷 列 陣 F， 是 由 彈 性 體 全 部 單 元 等效 節(jié) 點 力 集 合 而 成 ， 而 單 元 的 等 效 節(jié) 點 力 ， 是 由 作 用 在單 元 上 的 集 中 力 、 表 面 力 和 體 積 力 分 別 移 植 到 節(jié) 點 上 ，再 逐 點 加 以 合 成 求 得 。 ptdxdyfqtdlfGfF TTTeTe eeee PQRF 做 虛 功 。虛 功 等 于 單 元 上 外 力 所單 元 等 效 節(jié) 點 力 所 做 的 eNf 單 元 內 虛 位 移 ptdxdyNqtdlNGNF TTTTeeTe ptdxdyNP qtdlNQ GNR Te Te Te體 積 力 等 效 節(jié) 點 力表 面 力 等 效 節(jié) 點 力集 中 力 等 效 節(jié) 點 力 1.單 元 自 重 ：下 面 用 上 述 公 式 計 算 幾 種 常 用 載 荷 作 用 下 的 等 效 節(jié) 點 力 。三 角 形 單 元 i,j,m的 厚 度 為 t， 重 度 為 ， 面 積 為 A， 則體 積 力 ： 0Vp節(jié) 點 力 為 ： dxdyNNNNNtP Tmmjjie V 00 00 00 0Ni由 形 函 數 的 性 質 得 ：3NA Adxdyi 則 ： TTAAA AAAe tAtPV 10101031 0000 000 333 333 受 自 重 載 荷 作 用 下 的 等 效 節(jié)點 力 為 單 元 重 量 的 1/3。 ptdxdyNP Te 2.均 布 面 力 ：三 角 形 單 元 i,j,m的 ij邊 上 作 用 有 均 勻 的 分 布 力 ， 集 度 為 ： sysxs qqq單 元 節(jié) 點 力 為 ： dlqqNNN NNNt sysxTmji mjies 000 000Q由 形 函 數 性 質 ： T002Q sysxsysxe qqqqtls 把 作 用 于 ij邊 上 的 均 布 面 力 按 靜 力 等 效 平 均 分 配 到 該 邊兩 端 的 節(jié) 點 上 。 qtdlNQ TeijdlNij i 21 3.線 性 分 布 面 力 ：三 角 形 單 元 i,j,m的 ij邊 上 作 用 有 三 角 形 分 布 表 面 力設 j點 表 面 力 為 0， i點 集 度 為 ： sysxqq T31313232 002Q sysxsysxe qqqqtl s 4.集 中 力 ：集 中 力 G作 用 與 ij邊 上 作 用 Te 00R 2211 yllxllyllxll PPPP總 載 荷 的 2/3分 配 給 i點 ，1/3分 配 給 j點 。 整 體 剛 度 矩 陣 的 奇 異 性 ， 可 以 通 過 引 入 邊 界 約 束 條 件 來 排 除 彈 性 體 的 剛體 位 移 ， 以 達 到 求 解 的 目 的 。 引 用 邊 界 條 件 后 ， 待 求 節(jié) 點 未 知 量 的 數 目和 方 程 的 數 目 可 相 應 的 減 少 。3 .7 約 束 條 件 的 處 理引 入 節(jié) 點 位 移 最 常 用 的 方 法 有 以 下 兩 種 ：計 算 機 常 用 的 方 法 是 ， 以 某 種 方 法 引 入 已 知 的 節(jié) 點 位 移 （ 包括 零 約 束 位 移 ） ， 而 保 持 非 常 原 有 的 數 目 不 變 ， 只 是 修 正 K和 F中 的 某 些 元 素 ， 以 避 免 計 算 機 存 儲 做 大 的 變 動 。 22112