實(shí) 例 ： 一 塊 長(zhǎng) 方 形 的 金 屬 板 ， 四 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 坐標(biāo) 是 (1,1)， (5,1)， (1,3)， (5,3) 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn)處 有 一 個(gè) 火 焰 ， 它 使 金 屬 板 受 熱 假 定 板 上任 意 一 點(diǎn) 處 的 溫 度 與 該 點(diǎn) 到 原 點(diǎn) 的 距 離 成 反比 在 (3,2)處 有 一 個(gè) 螞 蟻 ， 問 這 只 螞 蟻 應(yīng) 沿什 么 方 向 爬 行 才 能 最 快 到 達(dá) 較 涼 快 的 地 點(diǎn) ？問 題 的 實(shí) 質(zhì) ： 應(yīng) 沿 由 熱 變 冷 變 化 最 驟 烈 的 方向 （ 即 梯 度 方 向 ） 爬 行 一 、 問 題 的 提 出 討 論 函 數(shù) 在 一 點(diǎn) P沿 某 一 方向 的 變 化 率 問 題 ),( yxfz 二 、 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 o y x lPx y P引 射 線內(nèi) 有 定 義 ， 自 點(diǎn)的 某 一 鄰 域 在 點(diǎn)設(shè) 函 數(shù) lP PUyxP yxfz )(),( ),( ).( ),(, pUPl yyxxP lx 上 的 另 一 點(diǎn) 且為 并 設(shè)為 的 轉(zhuǎn) 角軸 正 向 到 射 線設(shè) （ 如 圖 ） | PP ,)()( 22 yx ),(),( yxfyyxxfz 且 當(dāng) 沿 著 趨 于 時(shí) ，P Pl ),(),(lim0 yxfyyxxf ,z考 慮 是 否 存 在 ？ .),(),(lim0 yxfyyxxflf 沿 著 x軸 負(fù) 向 、 y軸 負(fù) 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 是 yx ff , . 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 沿 方 向則 稱 這 極 限 為 函 數(shù) 在 點(diǎn) 在 ，時(shí) ， 如 果 此 比 的 極 限 存趨 于沿 著當(dāng) 之 比 值 ，兩 點(diǎn) 間 的 距 離 與函 數(shù) 的 增 量定 義 lPPlP yxPP yxfyyxxf 22 )()( ),(),(記 為 定 理 如 果 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( yxP 是 可 微 分的 ， 那 末 函 數(shù) 在 該 點(diǎn) 沿 任 意 方 向 L 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 ， 且 有 sincos yfxflf ， 其 中 為 x 軸 到 方 向 L 的 轉(zhuǎn) 角 證 明 由 于 函 數(shù) 可 微 ， 則 增 量 可 表 示 為 )(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩 邊 同 除 以 , 得 到 cos sin )(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 故 有 方 向 導(dǎo) 數(shù) ),(),(lim0 yxfyyxxf .sincos yfxf lf 例 1 求 函 數(shù) yxez 2 在 點(diǎn) )0,1(P 處 沿 從 點(diǎn) )0,1(P 到 點(diǎn) )1,2( Q 的 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) .解 ;1)0,1(2)0,1( yexz ,22 )0,1(2)0,1( yxeyz 所 求 方 向 導(dǎo) 數(shù) )4sin(2)4cos( lz .22 解 sin)1,1(cos)1,1()1,1( yx fflf 由 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 計(jì) 算 公 式 知 ,sin)2(cos)2( )1,1()1,1( xyyx sincos ),4sin(2 故 （ 1） 當(dāng) 4 時(shí) ， 方 向 導(dǎo) 數(shù) 達(dá) 到 最 大 值 2; （ 2） 當(dāng) 45 時(shí) ， 方 向 導(dǎo) 數(shù) 達(dá) 到 最 小 值 2 ; （ 3） 當(dāng) 43 和 47 時(shí) ， 方 向 導(dǎo) 數(shù) 等 于 0. 對(duì) 于 三 元 函 數(shù) ),( zyxfu ， 它 在 空 間 一 點(diǎn)),( zyxP 沿 著 方 向 L的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 可 定 義 為 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推 廣 可 得 三 元 函 數(shù) 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 （ 其 中 222 )()()( zyx ） 同 理 ： 當(dāng) 函 數(shù) 在 此 點(diǎn) 可 微 時(shí) ， 那 末 函 數(shù) 在 該 點(diǎn)沿 任 意 方 向 L的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 ， 且 有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè) 方 向 L 的 方 向 角 為 ,cosx ,cosy ,cosz 三 、 梯 度 的 概 念 ?: 最 快沿 哪 一 方 向 增 加 的 速 度函 數(shù) 在 點(diǎn)問 題 P sincos yfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),( ,cos|),(| yxgradf 當(dāng) 1),(cos( eyxgradf 時(shí) ， lf 有 最 大 值 . 設(shè) jie sincos 是 方 向 l上 的 單 位 向 量 ，由 方 向 導(dǎo) 數(shù) 公 式 知 函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 的 梯 度 是 這 樣 一 個(gè) 向 量 ， 它 的方 向 與 取 得 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向 一 致 ,而 它 的 模 為 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 梯 度 的 模 為 22|),(| yfxfyxgradf . 結(jié) 論 ),( yxfz 在 幾 何 上 表 示 一 個(gè) 曲 面曲 面 被 平 面 所 截 得cz ,),( cz yxfz所 得 曲 線 在 xoy面 上 投 影 如 圖oy x2),( cyxf 1),( cyxf cyxf ),( 等 高 線),( yxgradf梯 度 為 等 高 線 上 的 法 向 量P 三 元 函 數(shù) ),( zyxfu 在 空 間 區(qū) 域 G 內(nèi) 具 有一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 對(duì) 于 每 一 點(diǎn) GzyxP ),( ， 都 可 定 義 一 個(gè) 向 量 (梯 度 ) .),( kzfjyfixfzyxgradf 類 似 于 二 元 函 數(shù) ， 此 梯 度 也 是 一 個(gè) 向 量 ，其 方 向 與 取 得 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向 一 致 ， 其 模為 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 . 梯 度 的 概 念 可 以 推 廣 到 三 元 函 數(shù) 解 由 梯 度 計(jì) 算 公 式 得 kzujyuixuzyxgradu ),( ,6)24()32( kzjyix 故 .1225)2,1,1( kjigradu 在 )0,21,23(0 P 處 梯 度 為 0. 1、 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念2、 梯 度 的 概 念3、 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 梯 度 的 關(guān) 系（ 注 意 方 向 導(dǎo) 數(shù) 與 一 般 所 說 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 區(qū) 別 ）（ 注 意 梯 度 是 一 個(gè) 向 量 ）四 、 小 結(jié) . ),(最 快 的 方 向 在 這 點(diǎn) 增 長(zhǎng)梯 度 的 方 向 就 是 函 數(shù) yxf 討 論 函 數(shù) 22),( yxyxfz 在 )0,0(點(diǎn) 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 是 否 存 在 ？ 方 向 導(dǎo) 數(shù) 是 否 存 在 ？ 思 考 題 x fxfxz x )0,0()0,(lim0)0,0( .|lim0 xxx 同 理 ： )0,0(yz yyy |lim0 故 兩 個(gè) 偏 導(dǎo) 數(shù) 均 不 存 在 . 思 考 題 解 答 沿 任 意 方 向 , zyxl 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) , )0,0(),(lim0)0,0( fyxflz 1)()( )()(lim 22 220 yx yx 故 沿 任 意 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 均 存 在 且 相 等 . 一 、 填 空 題 :1、 函 數(shù) 22 yxz 在 點(diǎn) )2,1( 處 沿 從 點(diǎn) )2,1( 到 點(diǎn) )32,2( 的 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 _.2、 設(shè) xyzyxzyxf 222 32),( zyx 623 , 則 )0,0,0(gradf _.3、 已 知 場(chǎng) ,),( 222222 czbyaxzyxu 沿則 u 場(chǎng) 的 梯 度 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 是 _.4、 稱 向 量 場(chǎng) a 為 有 勢(shì) 場(chǎng) ,是 指 向 量 a 與 某 個(gè) 函 數(shù) ),( zyxu 的 梯 度 有 關(guān) 系 _. 練 習(xí) 題 三 、 設(shè) vu, 都 是 zyx , 的 函 數(shù) , vu, 的 各 偏 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 且 連 續(xù) ,證 明 : ugradvvgraduuvgrad )( 四 、 求 222222 czbyaxu 在 點(diǎn) ),( 000 zyxM 處 沿 點(diǎn) 的 向 徑 0r 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ,問 cba , 具 有 什 么 關(guān) 系 時(shí) 此 方 向 導(dǎo) 數(shù) 等 于 梯 度 的 模 ? 二 、 求 函 數(shù) )(1 2222 byaxz 在 點(diǎn) )2,2( ba 處 沿 曲 線 12222 byax 在 這 點(diǎn) 的 內(nèi) 法 線 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) . 一 、 1、 321 ； 2、 kji 623 ； 3、 graduczbyax 222222 )2()2()2( ； 4、 gradua .二 、 )(21 22 baab . 四 、 cbazyx zyxuru M ;),(2 202020 0000 . 練 習(xí) 題 答 案