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1、第二章利息理論 第一節(jié)利息的基礎(chǔ)知識(shí) 主要內(nèi)容v累積函數(shù)v利息v利率v單利與復(fù)利v現(xiàn)值函數(shù)v一年計(jì)息m次的實(shí)際利率與實(shí)際貼現(xiàn)率 v利息力 1、累積函數(shù)0AAa tt ta0t AA: 或 單位貨幣經(jīng)過t 年后的價(jià)值。A0為本金，At為t年后的價(jià)值。 2、利息v投資獲得的報(bào)酬。v t年內(nèi)的利息為：v第n年的利息為：v )( 00 0aaA AAI ttt )( 10 1 nn nnn aaA AAI 3、利率v單位資本的獲得的利息。 1 11 1 1 121 122 10 011n 1 n nnn nnn a aaA AAi a aaA AAi aA AAi年：第第二年：第一年： 例一v設(shè)：at

2、 =ct2+d (c、d為常數(shù)）， a 5=126 , A0=100v求：A10、 、 i10 解：va0=1 a5=126v得： c=5 d=1v所以：at=5t2+1v A10=A0a10=50100v i10=(a10-a9)/a9=0.233 4、單利與復(fù)利的積累函數(shù)v 1）單利 設(shè)年利率為i ，期初本金為11+i 1+2i 1+it10 1 2 t at=1+it 2）復(fù)利v設(shè)利率為i，期初本金為1。1+i (1+i)2 (1+i)t10 1 2 t at=(1+i)t 5、單利、復(fù)利的比較v（1）單利條件下，每年利息相等，實(shí)際利率減少。v每年的利息：In=An-An-1 =A0(a

3、n-an-1)=A0iv每年的利率： 1 1 n nnn a aai )1(1 ni i （2）、復(fù)利條件下，每年利息增大，實(shí)際利率不變v實(shí)際利息：v實(shí)際利率： iiA iiA aaAI n nnnnn 10 10 10 )1( )1()1( )( ii iia aai n nnn nnn 1 11 1 )1( )1()1( （3）、圖形比較v當(dāng)t(1+i)tv 當(dāng)t1時(shí)：1+it(1+i)t at=1+itat=(1+i)t11 例二v李剛94年1月1日從銀行借款1，000元，假設(shè)年利率為12%，試分別以單利和復(fù)利計(jì)算：v（1）96年1月1日時(shí)，他需還銀行多少錢?v（2）幾年后需還款1，50

4、0元？ 解：v（1）A1=1，000（1+it）v =1，000 （1+0.122）=1，240元v A2=1，000(1+i)2=1，254.4元v（2）1，500=1，000（1+it1）v t1=4.17年v 1，500=1，000(1+i)tv t2=3.58年 6、現(xiàn)值和貼現(xiàn)率v現(xiàn)值函數(shù)。未來t年1單位貨幣在現(xiàn)在的值。v（1）單利：各年1元的現(xiàn)值。 it11 1+i 1+2i 1+it11 1 1 11/1+i1/1+2i ittv 11折現(xiàn)過程0 .v（2）復(fù)利 設(shè)年利率為i ，各年1元的現(xiàn)值。1+i （1+i ）2 （1+i）t11 1 1 1 i11 2)1( 1i ti)1(

5、 1折現(xiàn)過程titv )1( 10 復(fù)利條件下：v折現(xiàn)因子：v折現(xiàn)函數(shù)：iv 11 tt vv 貼現(xiàn)率v 1）計(jì)息的方式。v滯后利息 期初利息 例：購買一年期面值為100元的國債，v第一種方法：一年后還本付息110元； 10元為滯后利息，是期初本金上的增加額。-利息。v第二種方法：購買時(shí)90元，一年后按面值返還。 10元為期初利息，是期末值的減少額。-貼現(xiàn)額。 .v 2）貼現(xiàn)率的定義：單位貨幣在一年內(nèi)的貼現(xiàn)額。v年貼現(xiàn)額=Andn=An-An-1 以An為標(biāo)準(zhǔn)的減少額。v年利息=An-1 in=An-An-1 以A n-1為標(biāo)準(zhǔn)的增加額。nnnnnn aaaAAAnd 11 3）貼現(xiàn)率與利率v

6、或：iii iiaaa n nn nnnd 1)1( )1()1( 11ddi vid 1 4）貼現(xiàn)率與折現(xiàn)因子v公式一v及：v公式二v及：vd 1 dv 1 ttt dvv )1( tt da )1( v例：94年1月1日的積累值為1，000元，d=10%求：1）90年1月1日的現(xiàn)值為多少？ 2）年利率為多少? 3）折現(xiàn)因子為多少？v解：1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) v 3）v=1-d=0.9 %1.111 ddi 7、一年計(jì)息m次的實(shí)際利率與貼現(xiàn)率v例：期初本金為1元，年利率為10%。v如果一年計(jì)息一次，則年末積累值為1.10元。v如果一年計(jì)息兩次，則年末積累值為

7、（1+10%/2）2=1.1025元 即年實(shí)際利率為10.25% 1）實(shí)際利率：每個(gè)度量時(shí)期內(nèi)結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的利率。 名義利率：每個(gè)度量時(shí)期內(nèi)多次結(jié)轉(zhuǎn)利息的利率。v設(shè)年名義利率為i（m），年實(shí)際利率為i。每次計(jì)息的實(shí)際利率為 i（m）/m 。v則：v所以：v或： mmi mi )1(1 )( 1)1( )( mmi mi 1)1( 1)( mimi m 2）實(shí)際貼現(xiàn)率：每個(gè)度量期內(nèi)貼現(xiàn)一次的貼現(xiàn)率。 名義貼現(xiàn)率：每個(gè)度量期內(nèi)多次貼現(xiàn)的貼現(xiàn)率。v設(shè)年名義貼現(xiàn)率為d(m),v實(shí)際貼現(xiàn)率為d，v則：每次的貼現(xiàn)率為v所以：v或：md m )(mmd md )1(1 )( mmd md )1(1 )( )

8、1(1 1)( mdmd m 3）i(m)與d(m) 的關(guān)系 v 1元錢在年末的累積值為：v或：v則：v得：mmmi )1( )( mmd m )1( )( mmmi )1( )( mmd m )1( )( mdmimdmi mmmm )()()()( 一般公式v如果一年結(jié)轉(zhuǎn)m次利息，或一年貼現(xiàn)n次等價(jià)。v則： nndmni nm )1()1( )()( 例（1）求每月結(jié)算的年利率為12%的實(shí)際利率； （2）求每季結(jié)算的年貼現(xiàn)率為10%的實(shí)際貼現(xiàn)率。v解（1）v（2）v結(jié)論：結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)越多，實(shí)際利率越大，實(shí)際貼現(xiàn)率越小。%68.12 1)1( 1212 )12( ii %63.9 )1(1 44

9、 )4( dd 例v2，000元的本金在6%的名義利率下投資，如果每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息，求：v1）2年零6個(gè)月后的積累值；v2）年名義貼現(xiàn)率。 解v 1）共計(jì)息10次v 2）由公式v得：元08.2321 )1(2000 104%6 tA mdmimdmi mmmm )()()()( 05911.0 )4( 4406.04406.0 )4()4( d dd 例:一張尚需6個(gè)月到期的債券，其面值為2，000元，如果名義貼現(xiàn)率為6%，一年貼現(xiàn)4次，求該債券現(xiàn)在的價(jià)格為多少？解：1）P=或：2） 元45.1940)1(2000 2 4%6 元45.1940%)8663.51(2000 %8663.5)1(

10、1 5.04406.0 Pd 8、利息力v瞬時(shí)利率。度量資本在某一時(shí)點(diǎn)上的獲利能力。v 1）常數(shù)利息力v定義 ： )(lim mm i 。1)1(lim 1 mimm 1 11 1 )( 1)1(1)1( limlim mmmm imim )1ln( i )1ln()1(limlim 121 211 )()1)(1ln( ii mm mm miim 或：v所以：a）v b）1 ei vln ev 利息力與累積函數(shù)ttt eia )1( 2）常數(shù)貼現(xiàn)力v當(dāng)m ，期初付與期末付沒有區(qū)別。 v d dmd mm mm ln )1ln( )1(1limlim 1)( 3）利息力的一般式v定義 )( )

11、( ta ta )( )()(0lim tah tahtaht 累積函數(shù)與利息力v由定義式：)(ln tat 兩邊積分)(ln )0(ln)(ln )(ln 00 ta ata dssads tt s t s dseta 0)( 。v當(dāng) 為常數(shù)時(shí)： s teta )( 各年的利息力分別為：時(shí)n 21 , n t dtena 0)( 10 121 21 nn n dtdtdte ne 21 nk ke 1 積累函數(shù)值 第n年的利率為v。11)1( )( nei na nan nk kevn 1 11211 )1()1()1( niii 現(xiàn)值函數(shù)值為： 例：設(shè)某項(xiàng)投資基金的利息力為，其中k為投資年

12、度。求投資者在開始投資多少資金于該基金時(shí)，使得投資在5年末的終值為50，000元。v解：3,2,1,10025 kkk 5150000)0( k kev 元49.2884750000 51 10025 k ke 例：設(shè)v 1）v 4）值。求：dvdii ,08.0 )4()12( 07623.0 )1(1)3 074.0)2 07721.0 )1(1 )4( 441)12( 1212 )4( )12( d ddi i dii i 9259.0)5 07696.0 )1ln( 11 iv i 第二節(jié)、利率問題、時(shí)間問題求解 v利率問題求解v1）解析法v2）線性插值法v3）迭代法 1）解析法1)(

13、 )1( 10 0 ttAA tti iAA 例 ： 期 初 的 2， 000元 本 金 經(jīng) 過 2年 3個(gè)月 之 后 的 累 積 額 為 2， 500元 ， 試 確 定這 筆 投 資 的 收 益 率。v解：%26.10 )1(20002500 25.2 i i 2）線性插值法v設(shè)y=f(i)，在區(qū)間（i1，i2）近似呈線性變化。v且：f(i1)0，f(i0)=0 .v. i1 i 0 i2f(i1) f(i2)y0 x 斜率相等10 1012 12 )()()()( ii ififii ifif 01)()(1 )()( )(1210 0f(i) )()( 12 12 12 1 iifi i

14、iii ifif ii ifif if的解，即所求利率為 例 ： 某 人 現(xiàn) 在 投 資 500元 ， 第 一 年 末投 資 300元 ， 第 二 年 末 再 投 資 150元 ，這 樣 在 第 四 年 末 將 積 累 到 1， 300元 ，求 iv解：500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300v令：vf(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300 由試算得：v f(0.1)=12.85=f(i2)v f(0.09)=-27.49=f(i1)v由線性插值法得： 1604.0)0968.0( 0968.0 )( 1)()(10 12 12

15、 f ifii ifif ii 3）迭代法v多次運(yùn)用線性插值法。v例：用迭代法求上例，要求精確度達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后5位。 解:上例中vf(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300v第一次近似：v f(0.0968)=-0.1604=f(i1)v試算：v f(0.0969)=0.2447=f(i2) 由線性插值法得：096839.0 )(0389.0)09683.0(: )(0016.0)09684.0( 09684.0 )( 0 12 1)()(10 12 12 i iff iff ifii ifif ii由線性插值法：試算由第二次近似得： 時(shí)間問題的求解還款時(shí)間）

16、、加權(quán)算術(shù)平均公式（）規(guī)則（翻番的時(shí)間問題）、解析式)3 722)1 1）解析式)1ln( lnln :)1( 00 i AAt iAA t tt 兩邊取對(duì)數(shù)得 2）72規(guī)則2)1( ti )1ln( 2ln1)1ln( 2ln iiiit 7205.0)1ln( 2ln%,8 iii令：it 72.0 。？試問多長時(shí)間可以翻番元，如果，期初的例）（%,5i0002: 4 年由解析法得948.13)05095.01ln( 2000ln4000ln : t 05095.01)41(: 4)4( ii解 年規(guī)則得由131.1405095.0 72.0 :72 t 3）加權(quán)算術(shù)平均公式v設(shè)在時(shí)間t1

17、 ，t2 ，t3tn 分別需要償還金額x1 ，x2 ，x3xn；如果他希望一次還清總貸款(x1+x2+x3+xn)。v求還款的時(shí)間。 。tntntt vxxxvxvxvx n )( 2121 21 解析式：v xxx vxvxvxt n tntt nlnln : 21 21 21 兩邊取對(duì)數(shù) 近似公式 n nnxxx txtxtxt 21 2211 。應(yīng)在何時(shí)償還這筆款。元還清貸款，他，性支付，如果借款人希望一次為元，貸款利率，元，第四年末償還，第二年末償還元，還的還款計(jì)劃，第一年末例：一筆貸款，按原來00085% 00030003 0002 。46.2 8000300030002000 42

18、 t vvvv t解：解析法5.2 300030002000 430002300012000 t近似公式： 作業(yè)v1、李華90年1月1日在銀行帳戶上有5，000元存款。v1）在每年10%的單利下，求94年1月1日的存款。v2）在每年8%的復(fù)利下，求94年1月1日的存款。 。v2、張軍94年初在銀行帳戶上有10，000元存款。v1）在復(fù)利11%下計(jì)算90年的現(xiàn)值。v2）在11%的貼現(xiàn)率下計(jì)算90年的現(xiàn)值。 習(xí)題v 1、假設(shè)累積函數(shù)a(t)=at2+b，如果期初的100元在3年末可以累積到172元，試計(jì)算在第6年初投資100元，在第10年末可以累積到多少元？v 2、如果A(t)=100+5t，試計(jì)

19、算i5。v 3、如果A(t)=100(1.1)t，試計(jì)算i5。v 4、已知投資3 000元在兩年后的利息是158元，試計(jì)算以相同的復(fù)利利率投資，起初的3 000元在3年半的利息。 5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的現(xiàn)值之和為1元，試計(jì)算(1+i)2n是多少？v 6、如果每季度接轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為6%，試計(jì)算200元本金在3年零4個(gè)月末的值。v 7、如果i(m)=0.179 988 9,d(m)=0.173 734 8試 確定m為多大？v 8、當(dāng)常數(shù)利息力為多大時(shí)，等價(jià)于每月接轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率6%。v 9、如果 v內(nèi)等價(jià)的年實(shí)際利率。2t0,20,01.0 試確定在區(qū)間tt

20、t 10、如果投資者愿意立即投資3 000元，并在第3年末追加一筆投資，希望在第5年末和第6年末個(gè)獲得5 000元，假設(shè)i(4)=5%，試確定投資者應(yīng)該在第3年末追加多少投資？ v 11、有兩筆金額均為3 000元的資金，如果一筆按6%的實(shí)際利率投資，另一筆按4%的實(shí)際利率投資，試計(jì)算經(jīng)過多長時(shí)間以后，前者的累積值是后者的2倍。v 12、一項(xiàng)貸款的年實(shí)際利率為5%，原來的還款計(jì)劃是：第1年末償還5 000元，第2年末償還6 000元，地4年末再償還5 000元正好還清。如果借款人希望一次還清16 000元的貸款，試計(jì)算合理的還款時(shí)間。 。v 13、如果現(xiàn)在投資300元，第1年末投資200元，第2年末投資100元，到第3年末時(shí)將累積到800元，試計(jì)算實(shí)際利率為多少？v 14、廠商向零售商提供了兩種可供選擇的付款方式：（1）立即付款，可以享受20%的價(jià)格折扣；（2）6個(gè)月后付款，可以享受15%的價(jià)格折扣。當(dāng)實(shí)際利率為多少時(shí)，這兩種付款方式對(duì)零售商沒有區(qū)別？vddd 1 )1()1(15 223、證明：為多大？試確定、已知n),51()41(116 )5()4()( iini n